Chapitre

b) Une fonction descriptive d’un type déterminé, accompagnée d'individus de la manière requise, est elle-même un individu de ce type.

On voit, en définitive, que les individus sont formés par l’itération des fonctions descriptives, à partir des constantes et des variables.

Nous appellerons fonctions descriptives élémentaires celles dont on vient de parler; et d'une manière générale, tout individu représenté par un ensemble de signes contenant les variables Xi, #2... x, Sera dit de même une fonction descriptive (ou simplement une fonction) de ces variables, qui seront dites ses arguments.

Une fonction descriptive de constantes fondamentales sera dite une ;,çconstante”. |

On peut toujours considérer une constante comme une fonction descriptive à O0 argument; c’est ce que nous ferons désormais.

Dans les mathématiques ordinaires, les différents types correspondront aux différentes sortes d'objets envisagées; les fonctions. descriptives, aux fonctions ordinaires à une ou plusieurs variables. (D'une maniere générale un individu y est une fonction des individus x,,4»,...,x, Si, à tout systeme Xxi,æ»,...,X,, COrrespond un individu y et un seul).

1.14. 4°. On aura un certain nombre de signes différents (ou même un nombre indéfini). Chacun de ces signes ne pourra intervenir qu'accompagné d’un certain nombre d'individus de type déterminé dans un ordre déterminé, et sera dit une fonction propositionnelle élément de ces individus). Il faudra les considérer dans les raisonnements comme des propositions.

Comme au Chapitre 2, toutes les autres propositions se fabriqueront à partir de celles-là. Les variables réelles d’une proposition seront toujours dites ses ,arguments”, et la proposition une fonction propositionnelle” de ces variables.

Les fonctions propositionnelles éléments traduiront les relations fondamentales pouvant exister entre les objets de la théorie considérée; celles qui n’ont qu’un argument traduiront les propriétés fondamentales que peuvent posséder ces. objets.

1.15. 5° On aura un certain nombre de propositions (ou un nombre indéterminé), que l’on considérera comme vraies. On les appellera les ,Hypothèses”, ou les ,axiomes”, ou les »propositions primitives” de la théorie. Parmi elles, devront figurer les propositions primitives envisagées au début du cha-

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pitre 2 (les identités de première espèce portant sur des propositions élémentaires); elles seront toujours sous-entendues.

1.16. 6°. On peut avoir aussi des règles de raisonnement spéciales à une théorie. Nous en verrons un exemple au début du Ch. 4.

Mais ceci est un cas exceptionnel; sauf indication formelle, nous supposerons qu'il n’en est pas ainsi.

1.17. Une proposition sera dite vraie, dans cette théorie, ou sera dite un fhéorème de cette théorie, si on peut la déduire des hypothèses par les règles de raisonnement du chapitre 2, complétées comme on va l'indiquer en 1.4, et les règles dont on vient de parler.

Nous indiquerons encore qu’une proposition est vraie (dans une théorie déterminée) en la faisant précéder du signe +.

1.2. Remarquons tout de suite que, quand nous parlons d'un nombre indéfini de signes où d’hypothèses, nous voulons dire que l’on aura une loi déterminée, permettant d’en écrire toujours de nouveaux. Dans un raisonnement déterminé, on n’en utilisera jamais qu’un nombre déterminé, mais il est essentiel de remarquer que ce nombre dépend du raisonnement énvisagé. Une proposition déterminée ne comprendra de même jamais qu’un nombre déterminé de signes différents.

1.3. Nous verrons plus loin plusieurs exemples de théories mathématiques; par exemple l’arithmétique, où il n’y a qu’un type, une seule fonction descriptive fondamentale: a-f1, une seule fonction propositionnelle élément: a—b, et une seule constante fondamentale: 0; ou bien la théorie de Russell et Whitehead où il y a une infinité de types. Remarquons que, généralement, une théorie a un nombre indéfini d’'hypothèses, souvent de la forme suivante: pour toute fonction propositionnelle déterminée ® x, x:...x,, la proposition A[ x; x,...x,] est vraie, A(p) étant une fonction propositionnelle (Ch. 2, 1.41) de p.

L'exemple le plus simple de théorie mathématique est la théorie où il n’y a ni constantes, ni fonctions descriptives, ni hypothèses; et où il y a un nombre indéfini de fonctions propositionnelles et un seul type: c’est la théorie étudiée au chapitre 2.

1.4. Supposons maintenant que l’on considère la théorie mathématique déduite de la précédente par l’adjonction d’un nombre indéterminé de fonctions descriptives et de constantes. Nous supposons aussi, pour plus de généralité, qu'il y a un