La notion générale de théorie mathématique

1.1. Nous avons étudié jusqu'ici les règles logiques pour obtenir des propositions vraies; pour obtenir des théories mathématiques, il suffira, en principe, de considérer certaines propositions déterminées comme vraies; une proposition quelconque sera alors considérée comme vraie, si on peut la déduire de ces propositions par les règles du raisonnement. Mais ceci n’est que le cas

1) I suffit de faire ®,a; de même valeur logique que la somme logique des À,, a; contenant dans leur produit ®, a; et non © D, a; :

2) Über Erfüllbarkeit gewisser Zählausdriücke, Math. Annalen, T. 100.

5) Zum Entscheidungsproblem der Mathematischen Logik, Math. Annalen T. 99, p. 342,

— 55 — Chapitre 3. 1.1.

le plus simple; nous allons indiquer un schéma assez général de théorie, qui peut engendrer, semble-t-il (voir l'introduction) la plupart des théories mathématiques (ou logiques) connues.

Dans ce qui suit, nous appellerons ,lettre”, non seulement les lettres de l'alphabet, mais également tout autre signe, dont on sera convenu d'avance qu'il faut le considérer comme une lettre. C’est ainsi que, comme au chapitre précédent, des lettres comme x, x», affectées d'indices différents seront considérées comme différentes.

Nous appellerons désormais, par définition, une fhéorie tout système de signes satisfaisant à la description que nous allons faire.

1.11. 1° Les lettres minuscules désigneront, comme précédemment, des variables; mais il faudra les considérer comme étant de plusieurs sortes; on pourra même avoir un nombre indé'ini (voir plus loin, en 1.2) de sortes de lettres, les lettres des différentes sortes étant distinguées par la forme des signes qui les représentent, que l’on pourra, par exemple, affecter d'indices. Chaque sorte de lettres s’appellera, suivant une terminologie due à Russell, un ,fype” de variables.

1.12. 20 On pourra avoir un certain nombre (ou même un nombre indéfini) de lettres différentes (que l’on pourra distinguer par des indices, dans le cas où il y en a un nombre indéfini) dont l'emploi sera le même que celui des variables, à cela près qu’elles ne pourront figurer dans les symboles de variables apparentes. Chacune de ces lettres sera considérée comme d’un type déterminé.

Ces lettres seront appelées ,constantes”. Nous dirons que ce sont les constantes fondamentales.

1.13. 3% On aura un certain nombre (ou même un nombre indéfini) de signes différents, que l’on appellera ; fonctions descriptives”. Il est nécessaire, à leur sujet, d'introduire la notion d'individus d’un type déterminé. Une fonction descriptive devra toujours être accompagnée d’un nombre déterminé d'individus, dits ses arguments de types déterminés, dans un ordre déterminé et sera considérée elle-même comme étant d’un type déterminé. Les combinaisons de signes que l’on appellera individus, seront définies comme suit:

ù a) Les constantes fondamentales et les variables d’un type déterminé seront des individus de ce type.