Étude élémentaire des théories mathématiques

2.1. Def. 1. Une théorie sera dite non-confradictoire, quand il n'y a pas de proposition p telle que p et ©p soient vraies simultanément.

Remarquons que dans une théorie contradictoire, toute proposition q est vraie; car si p et ©p sont vraies, p et p)q (qui n’est autre que ©pvq) sont vraies; donc q est vraie.

Def. 2. Une théorie sera dite à complète détermination, quand pour toute proposition p sans variables réélles, p ou ©p est vraie !).

Def. 3, Nous dirons qu’une théorie est résoluble, quand on a un moyen permettant d'y reconnaitre si une proposition y est vraie ou non, et dans le premier cas d’en fournir la démonstration.

On peut donc considérer qu’une théorie non-contradictoire, à complète détermination et résoluble est parfaitement connue, et que son étude est achevée au point de vue mathématique. Nous en verrons un exemple plus loin.

1) Avec la terminologie ordinaire, c'est une théorie où le principe du tiers exclus est vrai; nous ne répéterons pas ici ce que nous disions dans l'introduction à propos de la distinction entre l'emploi mathématique des termes (qui pour le tiers exclus est toujours légitime), et leur emploi métamathématique (qui correspond ici à une propriété nullement essentielle, et au reste sans doute rarement vérifiée, des théories).