Chapitre

2.2. On démontre sans aucune difficulté que l’on peut modifier une théorie mathématique en y introduisant des constantes, des types ou des fonctions nouvelles, sans qu'il y ait dans la théorie ainsi modifiée de proposition vraie qui ne le soit dans la théorie primitive. Ces modifications peuvent être cependant utiles pour obtenir des séries de théorèmes vrais en tenant compte de la remarque suivante: quand des fonctions propositionnelles éléments, ou des fonctions descriptives fondamentales ne figurent pas dans les hypothèses d’une théorie, les règles de substitution (Ch. 2, 5.1; Ch. 3, 1.4) sont applicables à ces fonctions. :

2.3. Il est essentiel de distinguer les théories où il y a un nombre fini et déterminé d’hypothèses, de celles qui en ont un nombre indéfini. Voici un exemple de ce dernier cas, qui nous fournit le cas le plus simple de ,théorie des ensembles”: on a deux types, celui des éléments, et celui des classes, ét une fonction propositionnelle élément xe4, de variables x (du type des éléments), et à (du type des classes); les hypothèses sont toutes les propositions obtenues en remplaçant dans la suivante:

(Ha)(x).xesa= D x

® x par une fonction propositionnelle quelconque de x. On montre aisément que cette théorie est non-contradictoire, car ses hypothèses sont vraies dans un champ fini (Ch. 3, 1.42). On peut de manière analogue, ,axiomatiser” la théorie employée par Russell et Whitehead dans les Principia Mathematiéa (on a alors un nombre indéfini de types); on peut également montrer sa noncontradiction, même quand on ajoute aux hypothèses les axiomes multiplicatifs pour chaque type (qui correspondent au classique axiome de choix) !).

Il faut bien remarquer que dans une théorie qui a un nombre indéfini d’hypothèses, on ne se sert jamais que d’un nombre fini et déterminé de ces hypothèses dans la démonstration d’un théorème déterminé; mais on ne sait pas lesquelles; aussi ces théories présentent-elles des difficultés spéciales. Il est d’ailleurs remarquable que toutes les théories des ensembles qui ont permis de fonder l’analyse mathématique classique ont une infinité

1) Voir à ce sujet notre note aux , Comptes Rendus de l’Ac. des Se.”,