Chapitre

3.4. La théorie précédente va nous permettre de ramener des théories contenant des types différents à des théories contenant un seul type.

Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait un nombre déterminé, n, de types (le même procédé conviendrait s'il y en avait un nombre indéfini). Nous numéroterons les types de 1 à n. Introduisons n fonctions propositionnelles ®, x, P,x,...®, x, dx, ayant üun argument du i°"° type.

Considérons une théorie nouvelle qu’on obtiendra à partir de l’ancienne:

1%. En remplaçant ses hypothèses (supposées sans variables réelles) par leurs réduites, obtenues par les descriptions incomplètes (3.21): ®, x sur le premier type, d,x sur le deuxième, He ® x.sur le n°.

2% En ajoutant aux hypothèses les propositions des formes 1,2 et 3 de 3.1, correspondant aux descriptions incomplètes Pix; Porx,..., D x.

3°. En supposant qu'il n’y a plus qu'un type.

Nous appellerons désormais P* la réduite d’une proposition P par les descriptions x, D, x,...,® x.

Alors, on a le théorème:

3.41. Théorème. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une proposition P supposée sans variables réelles, soit vraie dans l'ancienne théorie, est que sa réduite P* soit vraie dans la nouvelle.

19. Si P est vrai dans l’ancienne théorie, il y a un produit H d’hypothèses tel que H )P soit une identité, d’après 2.4. Toutes les conditions de validité du théorème 3.2 étant vérifiées dans la nouvelle théorie, H* )P*, réduite de H )P, est vraie dans cette théorie, donc P* l’est aussi.

2, Supposons que P* soit vrai dans la nouvelle théorie. Il y a un certain produit d’hypothèse de cette théorie, comprenant donc des réduites d’hypothèses de l’ancienne théorie, et des -propositions de la forme 1,2 et 3 de 3.1), que nous désignerons par M, tel que M )P* soit une identité.

On voit immédiatement qu’en remplaçant tous les ®,x par des identités (par exemple de forme pvp), une réduite A* devient équivalente à À (car D,x.Qx devient équivalent à Q x, quelque soit Q x).

— 65 — Chapiire 3. 3,41.

Cette opération transforme M en une proposition équivalente, soit à un produit d’hypothèse de l’ancienne théorie, soit à une identité (car les hypothèses de la forme 1, 2 et 3 de 3.1, deviennent des identités); soit N cette proposition. D’après la règle de substitution (Ch. 2, 5.1), N)P est une identité, et donc P est vrai dans l’ancienne théorie.

3.42. Le théorème précédent donne le moyen de remplacer l'étude d'une théorie où il y a plusieurs types, par celle d’une théorie où il n’y a qu’un type.

En tenant compte du théorème 2.4, et du résultat sur lequel nous reviendrons au dernier chapitre, que l’on peut toujours supposer qu’il n’y a pas de fonctions descriptives, ni de constantes, on voit que le problème consistant à reconnaître si une proposition donnée est vraie dans une théorie à un nombre fini d’hypothèses, se ramène à l’Entscheidungsproblem, comme il se posait au Chapitre 2 (2.1).