Les descriptions incomplètes

3.1. Considérons une théorie mathématique sans règle particulière de raisonnement.

Soit À x une fonction propositionnelle de x, qui peut contenir des constantes, mais aucune variable réelle autre que x.

Supposons vraies les propositions suivantes :

Er Ada (2)

pour toutes les constantes fondamentales a du même type que

l'argument de A; ((1) se déduit d’ailleurs de (2), s’il y a des constantes).

-:Ay1.4y2...Ay,. 7. A[f(y132...7,)] (3)

peur toutes les fonctions descriptives fondamentales f du même type que l'argument de À.

On voit aisément que, pour toute constante a, la proposition (2) et que pour toute fonction descriptive, f, la proposition (3), sont vraies.

Nous dirons alors que Ax est une description incompléte de x. À toute proposition, la description Àx va faire correspondre une réduite (Ch. 2, 8), par les règles suivantes: les réduites de propositions éléments sont ces propositions ellesmêmes. Si la réduite de Dxyiy:...y, est Yxy:1y:...y,, celle de (4x). Pxyiy:...y, sera: (4x). Ax.pxy1y:...y. De plus, comme toujours, si la réduite de P est p, celle de &P sera

— 63 — Chapitre 3. 3.2.

p; si les réduites de P et Q sont p et q, celle de PvQ sera pV q-

Nous supposons en outre que les réduites des hypothèses (supposées sans variables réelles) sont vraies.

3.2. Théorème 1. Dans ces conditions, si Dy;y2...y, est vraie, la réduite de (y:1....y,).Dy;y2...y, est vraie.

Ce théorème revient à dire qu’en peut restreindre les individus du type de x, à ceux pour lesquels Àx est vrai On remarquera son analogie avec les critères de champ (Ch. 2, 8.1).

Nous omettrons ici sà démonstration, qui se fait sans aucune difficulté par récurrence sur la démonstration de ®y,y:...y., dans la méthode du Ch. 2, 62.

3.21. On voit aisément qu’on peut le généraliser légèrement en utilisant plusieurs descriptions incomplètes À x, l’argument de chacune étant d’un type différent, de manière à imposer des descriptions aux individus de différents types.

3.3. Théorème 2. La condition nécessaire et suffisante pour que, en ajoutant (x).Ax aux hypothèses, ® y:y2...y, devienne vraie, est que la réduite de (yiy»...y,).®yiy»...y, soit vraie.

1. Cette condition est suffisante, car l’hypothèse (x).A x entraîne l’équivalence de (4 x). A x.® x et de (4x) ® x; d’où on déduit (en raisonnant par récurrence sur la construction de la proposition), l'équivalence de la proposition et de sa réduite.

2. Montrons qu’elle est nécessaire; si dy; y2...y, est vrai quand on ajoute (x).Ax aux hypothèses, la remarque (2.43) montre que :

Give y): CG) A x), D ppp est vraie avec les hypothèses primitives.

Donc sa réduite est vraie; or, la réduite de (x). A x est une proposition vraie; on en déduit que la réduite de (vire. y) Dyiv:...y, est: vraie,

3.31. Corollaire. Sous les conditions énoncées au début, en (3.1) on voit que si une théorie est non-contradictoire, elle le reste quand on ajoute l'hypothèse :

- : (x). À x car la réduite d’une proposition de forme p.p sans variables réelles, est fausse.