Un théoreme de non-contradiction
2. Nous allons démontrer la non-contradiction (Ch. 3, 2.1) de cette théorie. À toute proposition P de cette théorie, nous en faisons correspondre une autre en y remplaçant chacune des variables par 0; toutes les propositions-éléments figurant dans cette nouvelle proposition seront de la forme a—b, a et b étant des chiffres. Nous attribuerons à cette proposition-élément la valeur logique vrai ou faux, selon que les chiffres a et b sont identiques ou différents. À la proposition P correspondra alors une valeur logique déterminée; montrons que si P est vraie, cette valeur logique est le vrai.
D'une part, en effet, on constate immédiatement, comme au chapitre 1, $ 3, que si à P et à P )Q correspond la valeur logique vrai, il en est de même pour Q. D'autre part, pour constater qu’à toute proposition primitive correspond la valeur logique vrai, il suffit de chercher cette valeur logique en prenant succesivement tous les cas possibles selon que les chiffres obtenus en y remplaçant dans x, y, z les variables par 0, sont identiques ou non.
GAL + es Chapitre 4. 2,
Or, à P et à © P ne peuvent correspondre simultanément les valeurs logique ,, vrai”; donc, ils ne peuvent être simultanément vrais dans la théorie considérée.
2.1. Remarquons de plus que, pour une proposition qui ne contient pas de variables, ce critère est suffisant; il suffit en effet de démontrer que si une proposition P ne contient pas de variables, elle est vraie ou sa négation est vraie, selon que sa valeur logique est le vrai ou le faux.
Nous le démontrerons par récurrence sur la construction de P.
Pour les propositions-éléments, cela résulte de (1.31) et (1.32).
On voit alors immédiatement que si c’est vrai pour P et Q, cela l’est pour © P et pour PvQ.
Nous pourrons donc désormais parler sans ambiguité de la vérité et de la fausseté d’une proposition sans variables, dans la théorie considérée: car toute proposition non vraie a sa négation vraie.
