Chapitre

ia in = pepe re Va Va + D DA RVLPS PNA PAYS Tape

À chacune de ces extensions, s’introduisent de nouveaux axiomes, qui vont résulter de l’axiome d’induction totale, quand on y utilise des fonctions propositionnelles ® x contenant les nouvelles fonctions descriptives employées.

La non-contradiction de cette nouvelle extension n’a pas encore été démontrée (Hilbert a indiqué qu'il en possédait une démonstration, mais ne l’a jamais publiée). Nous ne la démontrerons au Chapitre suivant que sous certaines restrictions que nous y indiquerons.

8.6. La méthode employée dans ce chapitre est susceptible d’autres applications; elle fournit toujours en même temps que la non-contradiction de la théorie étudiée, sa résolubilité (Ch. 3, 2.1). Il nous semble que son principe doit être applicable dans toutes les théories, où l’on a une méthode pour reconnaître la vérité des propositions (il faut alors bien faire attention au fait que ce n’est qu’à la condition que la théorie soit non-contradictoire, que cette méthode donnera: sa résolubilité). Le fait que nous ayons eu affaire à des hypothèses sans variables apparentes est secondaire (on peut toujours supposer qu’il en est ainsi; voir le Ch. 5); par contre l’utilisation d'individus déterminés, ici les chiffres, pour effectuer les démonstrations, est essentielle, mais on pourra toujours fabriquer de semblables individus dans toute théorie mathématique, en introduisant s’il le faut des corstantes, et en utilisant les fonctions descriptives.

Nous avons vérifié que cette méthode permettait de démontrer la non-contradiction d’une théorie un peu plus générale que celle considérée dans ce chapitre, avec deux fonctions propositionnelles x —y et x<y, et deux fonctions descriptives x +1 et x— 1; et les axiomes qu'il est aisé d'imaginer pour aboutir à une théorie traduisant l’arithmétique des nombres entiers positifs et négatifs. Il nous paraît probable qu’elle permettrait également d'arriver à la non-contradiction de la théorie des corps réels et »réellement fermés” !); mais les méthodes du Chapitre suivant nous y conduiraient plus aisément.

1) reel abgeschlossen”; cf. Artin und Schreier, Abhandlungen der Math. Sem. der Hamb. Univ., Band. 5.

Ut ad Chapitre 5, 1.