La propriété A

2. Nous allons étudier, dans ce qui suit, les propriétés suffisantes les plus générales pour la vérité d’une proposition; nous verrons, dans les paragraphes suivants, que ces propriétés sont aussi nécessaires.

Supposons d’abord, pour simplifier, qu'il n'y a pas de fonctions descriptives dans les propositions étudiées.

2.1. Commençons par définir ce que nous appellerons une identité normale: soit une proposition P qu’on a mise, grâce aux règles de passage, sous la forme normale (Ch. 2, 3.1).

Ge SR EM sen

Considérons la matrice M de cette proposition, et remplaçons-y chaque variable restreinte, soit par une variable réelle de P (on peut même supposer que cette variable ne figure pas effectivement dans P; on la dira alors fictive, comme en 1.2), soit par une variable générale supérieure (1.41) dans la forme normale de la proposition, c’est-à-dire dont le symbole est situé à gauche du sien dans le type de la proposition mise sous cette forme.

Nous dirons que la proposition est une identité normale si la proposition élémentaire II ainsi obtenue est une identité de

— 91 — Chapitre 5. 2.1.

première espèce en ses propositions éléments. Nous disons que cette identité est associée à la proposition, et que le type CPE x,) est un fype normal.

Par exemple:

(x)P xv (y) 9 y est normale, car on peut l'écrire:

(x) y). Pzxve dy et en remplaçant y par x, on a ® y y ® y qui est une identité. 2.11. On voit que pour passer d’une proposition P à l’identité associée II, il faut répéter plusieurs fois l’une ou l’autre des opérations suivantes:

1°. Enlever un symbole de variable générale, de manière à rendre cette variable réelle.

2°. Enlever une symbole de variable restreinte, et remplacer cette variable restreinte par une variable réelle, c'est-à-dire, passer d’une proposition de forme: (4x).® xy à la proposition D yy. Dans l'exemple ci-dessus, on remplacerait la proposition

successivement par:

(y) Pxveby et PrxvooPx.

On voit aisément qu’une identité normale est toujours vraie; car dans chacune des deux opérations ci-dessus indiquées, la vérité de la deuxième proposition entraîne celle de la première, grâce aux règles de généralisation.

On peut toujours effectivement reconnaître si une proposition est normale (on prend tous les types attachés à cette proposition, et on essaie de toutes les manières possibles de remplacer les variables restreintes par des variables générales situées à leur gauche; le critère du Ch. 1, 5.21 permet alors de reconnaître si une de ces propositions est une identité: on n’a qu’un nombre fini d’essais à faire).

2.12. D'une proposition normale, on déduit d’autres propositions normales (équivalentes à la première, d’après Ch. 2, 4.6), en permutant dans le type normal deux symboles consécutifs de variables restreintes, ou de variables générales; on déduit d’autres propositions norinales (impliquées par la première) en reculant dans le type normal, un symbole de variable restreinte vers la droite; ou de variable générale vers la gauche.