Chapitre

2.13. Un exemple général d'identité normale est fourni par les identités de première éspèce n'ayant qu’une occurrence de chaque signe, quand on y remplace les propositions éléments par des propositions non élémentaires: il suffit, pour le voir, de se reporter à la démonstration de la vérité de ces propositions. (Ch. 2, $ 4).

2.2. Nous emploierons désormais la notation suivante: M (xs X»5-..,x,) étant une proposition élémentaire (en général la matrice d’une proposition), une substitution sur les x, (c’està-dire le fait de remplacer x,,x2...x, par d’autres lettres y,,y2...y,) sera désigné par une lettre telle que S affectée ou non d'indices; et le résultat de cette substitution, à savoir: M(ÿ:,y2,...,y,) par MS).

Considérons alors un schème tel que chacune de ses lignes soit d'un type semblable (1.1) à un type attaché à P. Pour chaque ligne du schème, faisons correspondre la'k*" lettre de la ligne, à la &Ÿ"° lettre du type attaché à P. Le remplacement des lettres figurant les variables apparentes de P par les lettres correspondantes d’une ligne du schème définissent une substitution; il y a autant de substitutions que de lignes. Appelons S,,5:,...,5, ces substitutions, M étant la matrice de P, T un type déduit du schème la proposition.

est dite une proposition dérivée de P.

On voit sans difficulté que cette proposition ne dépend pas du type particulier 7 qu’on a choisi. (Ceci est d’ailleurs sans importance pour la suite).

Le schème considéré sera dit ,engendrer” la proposition dérivée, et cette proposition sera dite ,, dériver” de P par ce schème.

Par exemple, soit la proposition:

(4x) (y) Mxy

M x y étant élémentaire; soit le schème:

1e di (ns On en déduit une proposition dérivée:

(— x) (+ yz)MxyvMxz On voit bien aisément que, pour passer d’une proposition à une proposition dérivée de celle-là, il faut effectuer plusieurs

— 93 — Chapitre 5. 2.2.

fois l'opération suivante:

CR ER) MX... X.

étant une forme normale de la proposition P, remplacer une proposition dérivée de forme:

par une autre de forme:

CR ne) Axe. x (x... x) Mai... x ie. Ju