Chapitre

Nous fabriquons ainsi Cu Core. Cor enfin, si b est la hauteur de la proposition P, nous fabriquons C,,,....C,:,,, (en n’y mettant pas, si nous voulons, les éléments correspondant aux fonctions d'indice. On s’assurera que rien n’est changé dans ce qui suivra).

Soient en général a, ,...a dit l’ordre de C,. Posons N—n,.

Remarquons avant de continuer que C, contient les valeurs de toutes les fonctions de hauteur k— 1 à arguments pris dans C..

On pourrait fabriquer de tels champs en partant de n’importe quelles fonctions descriptives ou d'indice, et non de celles que nous a fournies la proposition P. Ces fonctions sont dites »engendrer” ces champs.

3.211. Quand dans les champs C;, Ces C, nous dirons que nous égalons (3.11) deux éléments, nous voulons dire que nous les égalons dans le champ résultant de la réunion des précédents; en utilisant la convention de la fin de 3.11, on voit que chaque champ €, est remplacé par un champ l; qui est composé d'éléments de C;.

3.12. Nous dirons que nous avons un système de valeurs logiques dans ces champs quand nous aurons donné une valeur logique à toute proposition obtenue en remplaçant les arguments d’une proposition-élément de P par ces éléments des champs. On en déduit la valeur logique de propositions sans variables apparentes ni fonctions descriptives, ne contenant comme variables réelles que les éléments des champs.

3.22. Fabriquons maintenant les propositions suivantes: appelons partie d’une proposition, ou proposition partielle, toute proposition comprise à l’intérieur de celle-là (c’est-à-dire toute proposition dont la première est une fonction propositionnelle: c'est toujours l’étendue d’un signe logique). À chaque partie de la proposition P, nous faisons correspondre une réduite (Ch. 2, 8) suivant les règles suivantes:

1% La réduite d’une proposition-élément est cette propo-

F les éléments de C. k sera

sition elle-même.

2 Si la réduite de À est a, celle de © À est wa.

3°, Si celle de B est b, celle de AvB est avb.

4%. Si la réduite de © x est vx, celle de (+ x).®x est Df.(y1y:...y,) dans le cas où x est une variable générale

— 101 — Chapitre 5. 3.22.

COMARSTO1) LC pe »,Y,) étant la fonction d'indice correspondante à x (y,,y:...y, sont donc des variables réelles de ® x).

5°. Au contraire, la réduite de (-- x). x, si cette proposition partielle est dans une occurrence positive (Ch. 2, 3.102), sera:

PaVPa...veay

et la réduite de (-x).® x, si cette proposition partielle est dans une occurrence négative, sera:

Pa -P Are. P Aye

Ces lois permettent de faire correspondre à la proposition supposée sans variables réelles, une réduite. Remplaçons toutes les fonctions qui y figurent par leur valeur, de manière qu’il ne reste plus de fonctions dans cette réduite; c’est évidemment possible, en introduisant des éléments des champs CC Cr on arrive à une proposition Il. Sila proposition [Il est une identité de première espèce, nous dirons que P a la propriété B d'ordre p.

Recommençons les mêmes opérations, mais en supposant maintenant que les fonctions d'indice par lesquelles on remplace les variables générales ont comme arguments, non plus les variables dominant celle-là, mais les variables supérieures à celles-la (1.41). Si la proposition Il ainsi obtenue est une identité, nous dirons que P a la propriété C d'ordre p.

3.221. On voit immédiatement que si on part d’une proposition à variables réelles, les propriétés B et C ne dépendent pas de l’ordre dans lequel on généralise, comme il est dit en 3.2 ces variables (donc du fait de savoir qu’elles sont celles de ces variables qui dominent une variable donnée): les fonctions d'indice à O0 argument correspondant aux variables réelles ont leur valeur dans C:, et ne servent plus dans la construction des champs suivants.

On voit que la propriété B et la propriété C sont identiques, si la proposition est mise sous forme canonique (1.2 et 1.41).

3.3. Lemme. Quand une proposition possède la propriété B (ou la propriété C) d'ordre p, toute proposition déduite de celle-là par les règles de passage possède la même propriété avec le même ordre, le champ C; étant le même dans les deux cas,