Chapitre

La hauteur d'une proposition sera par définition, la hauteur des fonctions descriptives de hauteur maximum qui y figurent.

À certains systèmes formés d’une fonction élémentaire f (1x2... x.) et d’un certain nombre de lettres du champ js pere) A, en nombre égal à celui des arguments de la fonction, et prises dans un ordre déterminé, nous ferons correspondre un autre élément du champ, qui sera dit la valeur de la fonction pour ces valeurs des arguments, ou la valeur de f{a; COREETC RL On définit la valeur des fonctions non élémentaires, quand elle existe, à partir de celle des fonctions élémentaires, en disant que, si pour les valeurs considérées des arguments de f(#,%,...0),®,,%,...,0 ont respectivement pour valeurs a,,a,,...,a;, f(?1#%...6 ©.) a la même valeur que f(a; a, ...a;).

Nous re aussi des fonctions de 0 argument; nous y ferons correspondre un élément fixe du champ, leur valeur. Ces fonctions seront analogues à des constantes (Ch. 3, 1.12).

Les fonctions qui auront une valeur dans le champ seront dites attachées au champ.

3.11. Souvent, dans ce qui suit, nous aurons à ,égaler” deux éléments d’un champ. Définissons cette opération.

Partons d’un champ C, dont les éléments sont a; A2 +3 An égaler a, à a, dans ce champ C consiste à le remplacer par un autre champ L' avec les mêmes fonctions attachées, de la manière suivante: b:50»,...,b, étant les éléments de l', à tout élément de C correspond un élément et un seul de l'; à tout élément de 1’, un ou plusieurs éléments de C; tous les a, correspondant à un b, sont les valeurs d'individus tels que l’on puisse passer de l’un à l’autre en remplaçant en un ou plusieurs endroits de leur expression à partir des fonctions élémentaires attachées au champ, a, par a, où a, par a; et réciproquement deux tels a; Se au même b;. C'est ainsi que a, et ag corresre à un même b,; que si f(x) est une fonction attachée au champ, f(a,) et f (ae) correspondent au même b,.

f(xixs...x,) étant une fonction attachée au champ C, la valeur de f(6, b, «.b;) sera l'élément de L' correspondant à f(a; a, ed; D ai en à b,.. On voit immédiatement

ne définition fournit cette lens univoquement.

— 99 — Chapitre 5. 3.11.

Elle permet de prendre pour la lettre B, la lettre représentant un des éléments correspondants de C, par exemple celui de plus petit indice; l' devient alors une partie de C; et les valeurs des fonctions attachées sont les mêmes dans les deux champs. C’est ce que nous ferons désormais.

3.2. Nous considérons désormais une proposition P, dans laquelle pourront figurer des fonctions descriptives (et même des variables de différents types, si l’on veut: on voit aisément que rien d'essentiel n’est changé dans ce qui suivra; nous supposerons toujours, pour simplifier les notations, qu'il n’y a qu’un type). Nous nous ramènerons toujours au cas où P n’a pas de varia-

bles réelles; (si P avait les variables réelles Bec CH InOUS la remplacerions par: (x, x:...x,). P; voir Ch. 2, 4.7; nous verrons en 3.221 que l’ordre dans lequel on prend x;,x:,...,x, est

indifférent pour les considérations qui suivent).

Faisons d’abord correspondre à toute variable générale y une fonction d'indice, dont les arguments soient les variables restreintes dominant celle-là (1.41). Aux variables réelles en particulier correspondent des fonctions à 0 argument (des ,,constantes”).

3.21. Considérons alors un champ C;, composé des lettres: ds... a, Nous le prendrons fixe dans ce qui suit; nous

verrons plus loin qu'on peut prendre n'importe quel champ C; (voir 3.54).

Puis un champ C:, obtenu comme suit: à chaque fonction élémentaire (fonction d'indice ou fonction descriptive) et à chaque système d’arguments pris dans C;, nous faisons correspondre une lettre de C; qui sera la valeur de la fonction pour ce système d'arguments, de manière que chaque lettre de C; ne soit la valeur que d’une seule fonction, et cela, pour un seul système d'arguments.

Soient: a, je... a, les éléments de C2.

Nous fabriquons, en général, C, à partir de C C:...C,:, en faisant correspondre une lettre de C, à toute fonction élémentaire, d'arguments pris dans Ci, C:,... Ci; dont la valeur n’ait pas encore été donnée (tel donc qu’un au moins des arguments figure dans C,,), et cela, de telle manière que chaque élément de C, ne corresponde qu’à un seul tel système. La lettre sera la valeur de la fonction pour ce système d’arguments.