Cas de la propriété C

Pour les règles de passage relatives au signe +, cela résulte de Ch. 1, 3.42.

Considérons les règles de passage relatives au signe v.

a) Passage de (+ x).® x.vp à Œa): Dxvp (x géné-. rale) et passage inverse.

Il suffit de remarquer que les réduites Le ces deux propositions partielles sont les mêmes.

b) Passage de (4x).® x.vp à (4x).®D xvp, et passage inverse dans le cas où x est restreinte (donc l'occurrence positive). Sous la première forme, P s’écrira P, sous la deuxième P;. Dans P;, les fonctions d'indice des variables générales de p dépendent d’x; y étant une variable générale de p, soient X1X2...x, les variables restreintes supérieures à x, ee (xis &2cx, x) la fonction d'indice de v dans P,, f,(x;...x,) cette fonction dans P,.

Les fonctions descriptives et d'indice fournies par P, vont engendrer à partir de C; des champs Cf{?, C{),...; celles fournies par P:, qui n’en différent que par ce que les f,(x; x...x,) sont remplacés par les f,(x:x:...x,x), vont engendrer de même à partir de C; les champs CP), CP),

1°. Remarquons que l’on peut passer des C!? aux C!) en égalant (3.211) tous les éléments qui sont valeurs de fonctions f,(&1x2...x,x), à un d’entre eux, f(x; x...x,a1), pour chaque système donné d'éléments x,,x4»,...,x, y des CP), a, étant un élément quelconque des Cl. Les champs C{) peuvent alors être considérés comme une partie des champs C{).

On voit dès lors que l’on peut passer de la réduite de P, à une proposition équivalente à celle de P,, en y remplaçant, pour chaque système donné de valeurs de XL) Lo Ÿ

tous les f,(x1x:...x, x) pour toutes les valeurs de x, par celui d'entre eux qui est dans les champs C!).

Donc, si la réduite de P, est une identité, celle de P, en est aussi une.

2°. Si la réduite Il, de P, n’est pas une identité, il y a un système de valeurs logiques (3.212) la rendant fausse, (d’après Ch. 1, 5.21); montrons qu'il en est de même de celle de P, que nous appellerons Il.

Remplaçons pour cela la réduite de P, par une autre, obtenue comme suit: Ai An... an étant les éléments des champs Ci”,...,C; on définira dans ces champs f,(x,...x,) comme étant f,(x,...x,a;) pour un i que nous choisirons tout à l'heure et qui dépendra de x,...x. (Ceci conduirait à prendre une partie de ces champs comme champs Ci. La modification que nous voulons faire va consister à calculer la réduite de P, comme celle de P,, en utilisant tous les NV éléments des C2).

Autrement dit, des 5 règles énoncées en 3.22, la cinquième seule subira la modification suivante: à;,a:,...,a, y désigneront les éléments des champs Ci, C!?,..., e et non plus ceux des champs CCE... CL et les transformations décrites à la fin de 3.22 seront évidemment effectuées dans les premiers champs et non dans les derniers.

On fabrique ainsi une réduite Il;’.

IT suffit de remarquer que

Pa vPav...VPa, ).?dVP AV. ..VEAN 1 2 et

Aie P Gps... Ÿ Age) Pepe P a

sont des identités, et d'appliquer le théorème du Ch. 2, (3.2) pour conclure que Il, )Il;’ est une identité. Donc si il;" n’est pas une identité, Il, n’en sera pas une non plus.

Montrons qu'avec un système de valeurs logiques rendant II, faux, on a, en choisissant convenablement les f,(&x2...x,) un système de valeurs logiques rendant Il; faux.

Les réduites des propositions partielles (4x) x.vp et (4x).Pzxvp dépendent des variables x:,4:...x, Supérieures à x; mais nous ne les considèrerons que pour des valeurs données de ces variables, soient a; a, ...a;; ces réduites n’ont alors

qu’une occurrence dans Il, et Il; comme on s’en assure aisément.