Chapitre

Pour ces valeurs, appelons x (x) la réduite de p dans P;; soit à l'indice de l’a, qui est tel que la valeur des f, (a; dre. a;) soit la même que celle des f,(a; a, ...a; a;); la réduite de p dans P, sera alors, on le voit aisément x (a).

Donc dans P;,, la réduite de (4x) ®,.vp est:

PHVPAV...VPayeVT(a) (1) Dans P,, celle de (4x).® xvp est:

pavr(a).v.pavr(a).v.:...v.payvz(ay) (2)

Le système de valeurs logiques considéré peut donner à la proposition (2):

1% Soit la valeur logique , vrai”; alors, ou bien c’est un des Ya; qui a cette valeur logique; et on fait

j, (a; CHÈEE a;) = f, (a; dire a ai)

ou bien un des x (a), soit x(a,), a cette valeur logique; alors on fait:

6 (a, SEA PS ai) ni. (a, CA LE ce y) 2% Soit la valeur logique , faux”; alors on fait f,(a,a,...a)=f,(a, a... a. FA

On voit qu’alors (1) et (2) auront même valeur logique. Le procédé indiqué donne donc bien à Il, et Il,’ la même valeur logique.

c) Passage de (x)Dx.vp à (x).®xvp, ef passage inverse, dans une occurrence négative.

On raisonne de la même manière qu’en b). Seule, la fin est un peu modifiée. Il faut considérer.

Pa. PA LAN VT (1) et pavr(a).Pa;vr(a)....vayvr(a,) (2) Le système de valeurs logiques considéré peut donner à la proposition (2):

1% Soit la valeur logique , vrai”, auquel cas, ou bien tous les + a; ont une valeur logique, et on fait:

fla,a...a,)=f, (a a...a a)

— 105 — Chapitre 5.3.3.

ou bien un #(a;), soit x(a,), a cette valeur logique, et on fait: fa; a... a; )= f(a a. a; Qy)

1°. Soit la valeur logique , faux”; auquel cas un x (a;) soit t(a,) a cette même valeur logique, et on fait:

fa, a-..a,)=f,(a; a,..; a)

La fin du raisonnement est alors inchangée.

3.31. Corollaire. Les propriétés B et C d'ordre p étant identiques pour une proposition de forme canonique (3.221), on en déduit que ces deux propriétés sont toujours équivalentes.

3.4. En mettant les propositions sous une forme normale (Ch. 2, 3.101) on peut mettre la propriété B sous une forme simple: prenons les champs C; de 3.21 engendrées par les fonctions d’indice des variables générales ayant les variables dominantes comme arguments, et les fonctions descriptives élémentaires.

Dans la matrice de P, remplaçons les variables restreintes par des éléments pris dans Ci, C:,..., ou C, d’une manière quelconque; puis chaque variable générale y par la valeur de la fonction d'indice correspondante f, (aa, ...a;), les arguments Gi Q-..a,, étant les éléments par lesquels on a remplacé les variables restreintes dominant y. Dans la proposition ainsi obtenue, on s'arrange enfin pour qu'il ne figure aucun fonction descriptive, en remplaçant chaque fonction descriptive f(a;s CREER) par sa valeur.

Formons la disjonction de toutes les propositions élémentaires ainsi obtenues en remplaçant les variables restreintes de toutes les manières possibles; dire que P possède la propriété B d'ordre p revient à dire que cette disjonction est une identité: il suffit en effet de se reporter à la définition de cette propriété, et de l'appliquer à la forme normale de P (Ch. 2, 3.101), pour s’en convaincre. Cette proposition sera désormais appellée la première disjonction d'ordre p associée à P.

Pour exprimer que P a la propriété C, on fabriquerait de même les champs engendrés par les fonctions d'indice ayant comme arguments les variables supérieures et les fonctions descriptives; et on ferait sur P les même opérations que ci-dessus, mais en remplaçant cette fois-ci chaque variable générale y, par