Théorème fondamental

5. Théorème. 1°. Une proposition de propriété B, d'ordre p est vraie; et la connaissance de p permet de fabriquer sa démonstration.

— 113 — Chapitre 5 MP5:

2. Si l'on a une proposition vraie dont on a la démonstration, on peut déduire de l'examen de celle-ci un nombre p tel que la proposition ait la propriété B d'ordre p.

On peut dire: la condition nécessaire et suffisante pour qu'une proposition soit vraie est qu'elle ait la propriété B.

5.1. Lemme 1. Une proposition P de propriété C a la propriété À.

Il suffit d'indiquer le type, le schème et les égalités associées (se reporter au $ 2).

Supposons que P ait une forme normale sans variables réélles et la propriété C d'ordre p; soit N le nombre des éléments de C, (même notation qu’en 3.21).

Prenons la propriété C sous la forme de (3.4.).

Fabriquons un schème associé à P (2.2), tel qu'avant chaque variable restreinte, il y ait une accolade comprenant N lignes; nous dirons que la variable restreinte qui est à la i-ème ligne de l’accolade est attachée à a. Dans une ligne quelconque du schème, chaque variable restreinte est donc attachée à à un a; avec i << N.

Nous allons maintenant définir une correspondance entre les éléments des champs, et les variables générales (ou fonctions descriptives de variables générales), du schème. Nous conviendrons que chaque variable générale y correspondra à l'élément qui est valeur de fo (a; CAREET RE d;,a,-..a, étant les éléments attachés aux variables restreintes de la même ligne que y et à sa gauche, et e la fonction d'indice de y. Aux éléments de C,;, nous ferons correspondre des variables générales ,fictives” (au sens de 2.1); enfin, à tout élément des champs, nous ferons correspondre soit une variable générale, selon la loi précédente, soit une fonction descriptive de variables générales, en convenant que si js Ge. Qi, correspondent aux variables générales ou aux fonctions de variables générales w,,%,,...#%, la valeur de f(a; a,...a;) correspond à la fonction f(#,%,...#,) (f étant une fonction descriptive). On voit aisément qu’ainsi, à chaque élément des champs, correspond une variable générale, ou une fonction de variables générales, et une seule.

Appelons ordre d’une ligne, le plus grand des ordres des champs des éléments correspondant aux variables restreintes de

cette ligne. 8