Examinons à présent l’équation cos7r
—„ à laquelle
nous sommes parvenus dans le numéro précédent.
Le second membre de cette équation est nécessairement positif; il faut donc que costt/B" soit aussi positif. On satisfera à celte condition
en prenant fi" == - - -J- £. n représente un nombre entier quelconque et ef une fraction plus petite que
On aura cos [j( 4?i =fc i) + tt/J = sin nt£z= —" + La fraction
sera donc d’autant plus petite, que la quantité a" sera plus grande.
L’équation a ,,a — /3" a == ^ montre que pour une valeur donnée de fi\
est d’autant plus grand que d , c’est-à-dire, le nombre de degrés contenus dans l’arc A, est plus grand. La fraction S' sera donc d’autant plus petite que la courbure sera plus grande.
Dans le cas dune lame droite, Euler a trouvé que, même pour le premier cas de vibration, qui est évidemment celui auquel répond la plus petite valeur de a", la fraction cT est négligeable. Quand la lame est droite, on a <t r, = /3". Si donc la fraction ^ est alors négligeable, elle le sera à plus forte raison quand on aura a" > fi", c’est-à-dire , lorsque la lame sera courbe. Si l’on met successivement dans l’équation
fi" = — pour n , les nombres entiers contenus dans la série des
nombres naturels, on aura autant de valeurs différentes de 0"; chacune de ces valeurs appartiendra à un cas particulier de vibration de la lame, et devra être regardée comme indépendante de la courbure de cette
Les cas de vibration auxquels appartient l’intégrale (H) sont ceux dans lesquels on a jS 1 '—car alors sin-rr/S" est positif.
• ' /Qf/ ^
L'intégrale (I) s'applique au contraire au cas ou on a p = parce qu’alors sin 7 r/ 3 " est négatif.
Lorsque /S" est de la forme ^±2, la figure nodale qui accompagne
chacun des sons qui correspondent aux différentes valeurs de 0", est composée d’un nombre impair de lignes de repos.
Au contraire, quand / 3 " est de la forme — J 1 --, chacune des figures nodales auxquelles donnent lieu les différentes valeurs de » est composée d’un nombre pair de lignes de repos.
Quelle que soit la courbure de la lame, dans tous les cas de vibration qui appartiennent à l’intégrale (l), la figure nodale présentera une ligne de repos au milieu de la longueur de cette lame.
En effet, si dans l’équation (I) on prend « = -, elle devient
/•=.... G 5 ” — «***'+ (i 4- e**) sin (I — **) cos J 7T0")
= [(i 4-sin ~' 7 tP , + (t — e**") cos \ tt/S"].
L’équation cos 7r/S J/ =, à laquelle nous sommes parvenus, n°19,donne
cos 4 \ 7T[ 3 " — sin 4 i TTfi" =
f e '**"+i)cos % { 7 rP'--(e*'*'+ i)sin >± 7 rp' == 2e»-"(sin a j7r/3"+ cos**w 0''), —2C ,rfit -{- 1) cos a ^T/ 3 f/ = (e' l7tx " 4* 2^* 4~ 1 ) s * n * ï ? — 1 ) cos 7 TT fi" = 4: (e ï5r4t " 4“ 1 ) s * n 7
A cause de sin tt/3" positif, le signe inférieur du second membre de la dernière équation est celui qui convient au casprésent; nous aurons donc
r = ...[( 1 4- e™”) sin 7 itÿ' 4- ( 1 — à*') cos \ tt/ 3 "] = <>•
La ligne nodale qui est située au milieu de la longueur de la lame, est la seule dont position soit indépendante du plus ou moins de courbure
de la pièce.
Un seul exemple suffira pour prouver qu’ainsi qu’il a été dit plus liant, la valeur de /3" détermine le nombre des lignes, et que celle de a", n’influe que sur la situation des mêmes lignes.
Soit j 0 "=-, l’équation (I) deviendra
r = ... [/“ A + /‘^ A ^+(t—e™")s' n ^-X+( I + eT ‘") C0S T - xl'
Je dis d’abord que, quelle que soit la valeur de et', la figure nodale sera composée de deux lignes de repos.
En effet, 5 = 0, donne 2(1 + e™"),
La première valeur de r est évidemment positive. Il est facile de voir que la seconde est négative ; pour s’en convaincre, il faut observer qu’on a à la fois e > 2, Ç a" et ^ a" > 1; qu’ainsi, la somme des deux quanta »
tités e T oc" et fi* et", qui sont l’une et l’autre plus grandes que le nombre 2, est moins grande que leur produit e augmenté de l’unité.
La troisième valeur de r est positive et égale à la première. Il résulte
de là que, quelle que soit la valeur de et ", il y aura entre s=o et s= —g, une valeur de 5, qui donnera 7 =0, et qu’on trouvera également entre s — — et s = A, une valeur de s, qui donnera aussi r = o.
Si l’on venta présent que ^ = -5—«PA soit la valeur de s, comprise eutre .s = o et 5 = y, qui donne r = o, on aura l’équation
/*" CM +(l e w') dùfe<T-(. -H^)co»Ç/= o;
et cette équation montre qu’il existe une dépendance nécessaire entre la valeur de et" et celle qu’on peut attribuer à cT.
21. Pour trouver dans chaque cas les valeurs des, qui donnent /• = o.
j'aurai recours à une transformation semblable a celle qu’a employe'e Giordano Ricati, lorsqu’il a voulu déterminer la position des lignes de repos qui appartiennent aux différens cas de vibration de la lame droite libre. Delle vibrazioni sonore dei cilindri, tom. I des Memorie di Mate matica e Fisica délia Società italiana.
J’observerai donc que si, au lieu de prendre pour origine des coordonnées l’extrémité s =■ o, on transporte cette origine au centre de la
lame, et qu’on mette ^ A — s r au lieu de dans l’équation (H),
un aura
r=....| e —a + (i -|-e’ r *")sin'7rj3 ,/ -|--j-(i—e jr «")cos'7r/3 ,, ~
" ( a— \ „ r a+is' \
^ 2A * — r ^ aA > siairjS"Q—0
h- (« «”') cos Q — x)]
=•••{ + sin ^Q-^ + cos^Q -0
+ e **" [ sin ^" G-x)- cos ^"G-ï)] 1 -
En mettant pour sin rfj 3 " Q — et cos 7T/3" Q — leurs valeurs en
sin - / 3 ", cos ^ fi" et sin 7r/3" j, cos 7t@' on trouve
sin G ~ z) +cos G—s) + D in ^G - x)- cos ^'G-x)]
— sin - fi" cos 7rfi~ — cos - fi" sin nfi" ~r + cos ~ fi ' cos 7rfi" — —f- sin — fi" sin nfi" ~
-4- e rA ' (s\n ^fi" cos zrfi" S -r — cos- fi" sin nfi" ~—cos - fi" cos v fi" - sin-fi" sin tt fi"
= sin ^ /3" £ COS 7ffi" J + sin w/8" L -\-e x (cos 7ry8" — sin vfi"
+ cos ^ /S" ^cos 7Ty3" ^ — sin ÎT/S" ^ — é* x ' (cos 7rfi" ~ + sin %fi"
= (sin ^yS" -f cos ^ fi" ^ (cos TTyS" i- — e** sin ^
