n g Æ"— cos ^ yQ"^ (sin j8" ^ -f- e 57 * cos 7r

Pour trouver les valeurs de sin - /S" et cos^/3", nous aurons recours à

l’équation cos 7 rfi"z= , elle donne

cos* ^ fi" — sin* ^ /3" -f cos* ^ fi" -f- sin* ^ /3"=+1

cos* ^ fi" + sin* ï /3" — cos* | /3" + sin* = i —

(v -vy ( =y -F') a

V + * 2 ' n,; B .;fl» = w e

2 cos - (6 — , 2 sin a P e W' +e -

et par conséquent

cos ~/ 3 " = rh

sin-/ 3 r, ==h -

11 y a quatre combinaisons possibles entre les signes attribués aux valeurs de sin^ / 3 " et cos ^ /S"; mais ici, à cause de sin rtfi" positif, il faut prendre à la fois sin^/ 3 " et cos ^fi" positifs ou négatifs.

Le premier cas a lieu si fi ''= ^’ 1 ^ —. Les figures nodales correspondantes sont composées de 4 n-\-i lignes de repos. On a alors

cos J fi" -f- sin ^ fi" = -

cos - fi" — sin - fi" = - - 2 ■ ■— »

2 2 / 2 Çe^'+i)

si /3 f/ = — - , les signes sont contraires; les figures nodales correspon¬

dantes sont composées de 4^ + 3 lignes de repos, et on a

cos I fi» + sin l fi" -T^ -- 26 ^* ,

cos Z fi"— sin lfi' , =-' 77=7

/aCe^'+O '

en réunissant les deux cas dont on vient de parler, on trouve donc ^sin ^ / 3 "+cos^ /S") ( cos tt/ 3 " ^ — e**" sin rtfi"^) rf-(sin^ jS"—cos^ / 3 ")( sin 7 rfi" e**"cosrffi" j)

====(cos sin Ttfi" 0

fsin7r/3" ^ + e** cos 7T/3" ^ (e W '-+-i) V A kJ

? sin 7 r@'

= rp sin tt[ 3 " ^ ,

et la substitution de cette valeur donne

(H') r=... [e’ “ (e”'’*’— e A ) qsV^a (e w '+ i) sin ir/ 3 "^],

équation dans laquelle il faut prendre le signe supérieur quand la valeur

de /3" est de la forme —■> et le sigue inférieur lorsque /2" est de la

forme -.

L’intégrale (I) s’applique aux cas où / 3 " est de l’une ou l’autre des formes suivantes : / 3 " = ( 3 " = ^ n ^ . Pour la première,Mes figures

nodales sont composées de 4^4- 2 lignes de repos, et pour la seconde, les figures nodales présentent 4^ + 4 lignes de repos.

On a, dans le premier cas, sin | /S"-h cos|/ 3 " = —— sin - jS" — cos - /3" =

et dans le second.......... sin ^cos^/ 3 " =

sin - / 3 " — cos - / 3 " = —

En faisant ici des substitutions semblables à celles qui ont été pratiquées plus haut, l’équation (!) devient

r—G '+ e A )=F \ / 2(«” r *+ i)cossr/S" j].

Le signe supe'rieur appartient au cas où fi" est de la forme —^ et le

signe inférieur convient à celui où fi" est de la forme . Dans ces deux

cas, la ligne nodale de limite, qui, lorsque fi" est de la forme est

située au milieu de la longueur de la lame, est remplacée par une ligne de limite qui participe au mouvement.

A l’aide des équations (H') et (I'), il sera facile d’apprécier l’influence de la courbure sur la situation des lignes nodales, et de voir aussi celle de la valeur de fi" sur le nombre de ces lignes.

22. Le premier cas de vibration est celui qui donne lieu à la formation de deux lignes nodales; on a alors / 3 " = ?. Celte valeur de fi" appartient à la forme Ainsi, nous commencerons par nous occuper de

l’équation

va. ' — va. -r-

-et [ TTC*. —

— V 2 (e 2T *"-f- I ) cos 7 T t

— cos^'l)].

A cause de

V/ COS 7rfi"

on peut écrire

2 COS ?r/3"A\

y COS 9T/3" /

'= o, donne /•=... 2e 1 (\ -

9 L \ vc'**n v r

.— V „ et" O. —,

rn , a." et" —1

. fi • L \ V COâsr/SVj

c ' 2 (^~f QA r

V cos îr/3'7.J

enfin.

9 rcA

S? ( ri+r~r.

L \ \/ cos 7T/3 "/J

L \ \/ 2 {/cos ît/3"/J

On a ici 2(/z-f-ï) valeurs de s', qui donnent alternativement des signes différens à la valeur de/*; entre chacune de ces valeurs de s', il y en a nécessairement une qui satisfait à la condition r= o. Il y a donc toujours 2n-f- 1 lignes de repos situées dans une des moitiés de la lame, et par conséquent, quelle que soit la courbure de la lame, les figures nodales sont composées de 4 n ~\~ 2 lignes de repos.

Soit s' = y la valeur de s' qui donne lieu à la formation de la ligne nodale la plus voisine du milieu de la lame. J' sera une quantité fractionnaire <^î car s donne pour r une valeur positive, savoir. ..

ir „f 7T*." 7rx"\

On aura l’équation