X . ^ \Fa (X) + X . tg*] =X.Ftt'(X)+X. tg*t

de sorte qu'elles aussi paraissent allongées de X . tga. De même un impôt de consommation tgz raccourcit de À" . Igi les ordonnées de la courbe totale de l'utilité ON et de sa dérivée ON', de sorte que, dans ces deux cas, l'écart vertical de la courbe originaire et de la courbe dérivée reste le même.

11 en est tout à fait de même pour le tracé des courbes individuelles du coût (Oa) et de l'utilité (On) (flg. G et 7) et pour leur rapport avec leur dérivée respective.

Afin de nous rendre compte de la combinaison des courbes individuelles en courbes totales (fig. 8 et 9), nous désignons par a\ , x2 , . . . . xn , les abscisses des courbes individuelles du coût ou de l'utilité à combiner et nous appelons leurs ordonnées fl (xA, /ä (xa), . . . . fn (xn) ; nommons enfin X et F (X) les abscisses et les ordonnées des courbes totales du coût ou de l'utilité provenant de la combinaison. On a alors

A = [xt -+• x% 4- . . . . + xn] et F (A) = | /, (*,) + /, (xA + ....+/„ (x,,)} et, par conséquent,

*" (X) = //(*,) . ^ + /,'(*,) . j§ + + U{xn) ■ j§ .

Nous avons maintenant dans les points de prix i • — a 1 des courbes individuelles

donc

F (X) = //(s,) . dx> + **■ +x ' ' • + ^ = //(st), et aussi

F(Z) = //(*,) = /,'(*,) = ....= /„'(*„). De plus, on peut poser

d'où il résulte que la seconde dérivée de la courbe totale et sa courbure en chaque point est beaucoup plus faible qu'au point de prix égal de chaque courbe individuelle ; en effet

(toj dx.2 dxn

dX' dX dX'

sont toujours de véritables fractions.

Si nous désignons maintenant par x les abscisses de la courbe de la jouissance gagn d'un individu déterminé, relative à l'article A, x peut aussi être négatif, car il y a des quantités du dit article que l'individu achète ou vend pour l'année considérée. Appelons

les ordonnées de cette courbe et supposons que dans l'établissement de celle-ci, comme pour les courbes dont nous avons parlé jusqu'ici, toutes ces quantités soient éliminées, dont l'achat ou la vente n'était avantageux pour aucun prix donné de A. La seconde dérivée

est alors constamment négative. De plus nous pouvons désigner par

les ordonnées de la courbe du coût et de l'utilité aOn, et par

les ordonnées de sa dérivée, c'est-à-dire de la courbe de l'offre et de la demande a'On' . Nous savons aussi que pour une valeur négative déterminée de x,

f(x) = —x et f (x) = -h«

et que pour une valeur positive déterminée de x

et qu'entre ces deux limites, il y a une certaine valeur de x, soit positive, soit négative, pour laquelle

L'écart vertical entre la dérivée et la courbe de la jouissance, c'est-à-dire la satisfaction

est à son minimum sur l'axe des ordonnées et ne cesse d'augmenter à droite et à gaucbe de cette ligne ; en effet le quotient différentiel

<lx

[f(x)-xf(x)] = -x.f(x)

est positif quand x ;> 0 et négatif quand x < 0.

Représentons maintenant par x les abscisses et par F (x) les ordonnées des courbes ABN (fig. 68) du bénéfice commun d'une totalité d'acheteurs et de vendeurs de .4 : on peut alors répéter de la fonction F (x) tout ce que nous venons de dire de la fonction f (x). Si un nouvel individu I dont on n'avait pas tenu compte dans la courbe ABN entre en ligne, nous avons à déterminer en général la quantité x d'achat ou de vente de A qui lui est le plus avantageux

suivant les lois du monopole, comme nous l'avons fait observer plus haut (§ 79). Toutefois, si la courbe EOJ et la série de points gagn (fig. 71) étaient absolument continues et si, en outre — ce qu'il n'est en général pas permis de supposer — cette série était entièrement convexe et la courbe E'OJ' entièrement concave, on pourrait déterminer l'abscisse de l'écart maximum de la dérivée E'OJ' et de la courbe de la jouissance ou encore de la courbe du coût et de l'utilité de I au moyen de l'intersection des deux courbes, En effet nous pourrions alors dans la figure 77 dériver de la courbe tracée en rouge E'OJ' une nouvelle courbe E"OJ\ — c'est-à-dire la seconde dérivée de EOJ — tout comme nous avions extrait E'OJ' de EOJ , et le point d'intersection de E'OJ" et de la dérivée a'On' , également tracée en rouge, de la courbe du coût et de l'utilité aOn de l désigne par son abscisse la quantité cherchée. Le profit que l'individu l tire de la vente — ou, si le point d'intersection est à gauche de l'axe des ordonnées, de l'achat — de cette quantité se compose du profit de vente — ou d'achat — habituel, représenté par l'écart vertical des courbes aOn et a'On' et du bénéfice de monopole mesuré par l'écart vertical de E'OJ' et du dit point d'intersection. Gomme nous le voyons, quelles que soient la courbe du coût et de l'utilité de I et la quantité d'achat et de vente qui lui procure le maximum d'avantage le profit de monopole qu'il peut obtenir au moyen de cette quantité est représenté a priori par l'écart vertical correspondant de la dérivée première et de la dérivée seconde de la courbe EOJ. Les ordonnées de la dérivée première E'OJ' sont désignées par l'expression,

celles de la dérivée seconde EOJ" par l'expression

x . JJ~ [*. F' (x)] = x . F' (x) h- x*- . F" (x)

LES ÉQUÂTIOHS DES I CM RB1 - 287

et, par conséquent, l'écart vertical des deux dérivées est représenté par la formule

Cette formule, constamment positive, représente donc le bénéfice de monopole. Toutes ces considérations peuvent également être appliquées au cas où l'individu I possède un monopole effectif et exclusif de la vente ou de l'achat de l'article .4 ; dans ce cas, il y a disparition de la partie gauche eu bien de la partie droite de la courbe EOJ.

Imaginons maintenant que dans la figure 77, EOJ représente la courbe, relative à A, du coût de l'exportation et de l'utilité de l'importation d'un pays tout entier, que nous considérons comme le marché intérieur, et que aOn représente non pas la courbe du coût et de l'utilité d'un individu isolé, mais la courbe du coût de l'exportation et de l'utilité de l'importation de A pour toutes les contrées étrangères, réduite en tenant compte de tous les frais de transport sur le marché intérieur. Si nous désignons par

les ordonnées de celte dernière courbe, la seconde dérivée V" (x) est alors constamment positive et, bien que la dérivée

de celte courbe, c'est-à-dire la courbe de l'offre d'exporlation et de la demande d'importation a' On* soit toujours convexe dans notre graphique, nous pouvons obtenir une seconde dérivée

x.fo[x. Y '{*).;=. c Y x-^). Y (x).

Le point d'intersection de cette courbe a'On", figurée en pointillé dans la figure 77, avec la pourbe E'OJ désigne, quand A n'est assujetti à aucun impôt intérieur, par son abscisse positive de noire (Sag ranime, la quantité x de -1 la

plus avantageuse a importer pour le pays considéré dans son ensemble ; si l'abscisse était négative, on obtiendrait la quantité d'exportation la plus favorable. L'écart vertical du point d'intersection et de la première dérivée a'On' mesure le produit du droit de douane résultant de l'imposition du tarif qui a pour conséquence la quantité la plus avantageuse d'importation ou d'exportation. Ce produit est donc

de sorte que le taux le plus favorable est lui-même exprimé par

Il est donc positif (droit d'entrée) ou négatif (droit de sortie), suivant que x est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que la nation considérée importe ou exporte. Si nous considérons enfin le point d'intersection des deux secondes dérivées, il désigne naturellement le plus grand écart vertical des deux premières dérivées et, par conséquent, le rendement maximum du droit.

Il en va autrement quand l'article A est frappé d'un impôt intérieur de production ou de consommation tg<s. Désignons, pour étudier ce cas, les abscisses et les ordonnées de la courbe OA (fig. 75) par Xa et Fa(Xa), celles de la courbe ON par Xn et F» (Xn), et la quantité d'importation ou d'exportation à nouveau para;; nous avons

x = xn — Xa.

En même temps x indique les abscisses des courbes AiBQN ou ABçNz (fig. 75) et, si nous appelons respectivement Ft (x) ou F2(x) les ordonnées de ces courbes, nous obtenons

Ft (x) = Fn (Xn) - [Fa (Xa) + Xa . tg9\

F, (x) = [Fn (Xn) - Xn . tg,] - Fa (Xa).

Comme d'après la règle de la combinaison l'on doit avoir

Fa'(Xa) + tg* = Fn'(Xn) au cas d'un impôt de production, et

Fa'(Xa) = Fn'(Xn)-tga

au cas d'un impôt de consommation, la condition

Xn - X., = x

nous permet de faire dépendre Xa et X„ de x et nous pouvons poser

Xa = wa (x) et Xn = u„ (x). On a donc, maintenant

F, (x) = Fn [o>M (x)] - Fa [ioa (x)] — tga . u)a (x), F, (x) = Fn [co„ (x)} - Fa [a)a (x)] - tga . u)M (a;).

Mais nous avons encore à nous rendre compte que, dans le cas d'un impôt de production, toute importation de A a pour résultat une diminution et toute exportation une augmentation de l'impôt, et, au cas d'exclusion de tout commerce extérieur afférent à l'article -4, c'est-à-dire pour x = 0, l'impôt s'élève à

tg? . w„(o),

tandis que son montant s'abaisse ou s'élève à

tgl . W, [X)

au cas de libre importation ou exportation. De même, au cas d'un impôt de consommation, l'importation a pour résultat une augmentation et l'exportation une diminution du montant de l'impôt. Il en résulte pour le bénéfice commun de la nation tout entière, d'une part

Ft(aO— *g*[».(o) - u>à(x)] = Fn[<*n(x)]— Fa[<*a(x)] -*g« . u»a(o),

Auspitz et Lieben. 19

et d'autre part

F2{x)-htgo[vn(x) — (ûn{o)]=Fn[u>n(x)] —Fa[ua{x)] — tgi.o>n{o)\

donc, comme naturellement

nous trouvons chaque fois exactement la même chose. La courbe dont cette expression représente les ordonnées est identique, dans sa partie droite, à la courbe OJi tracée en rouge dans la figure 76, si nous l'abaissons de son ordonnée initiale OB,, (fig. 75). La quantité d'importation ou d'exportation x de A la plus avantageuse pour la nation considérée eu égard à l'impôt de production ou de consommation tgi y existant est ainsi représentée par l'écart vertical maximum de cette courbe et de la courbe de l'offre de l'exportation et de la demande de l'importation [x . V'(x)] de l'étranger ou par le point d'intersection de la dérivée de ces deux courbes ou, analytiquement, par l'équation

F ^ [o„(a0] <■(»)— Fa' [o>a(x)] o>a'(x) = V'(x) -h xV"{x).

En même temps le rendement du taux de droit de douane qui a pour conséquence la quantité d'importation ou d'exportation la plus favorable se manifeste dans l'écart vertical correspondant de la courbe extérieure de l'offre d'exportation et de la demande d'importation [x . V (x)] et de la dérivée [x . F^x)] de la courbe AiBaN, s'il s'agit d'un impôt de production, ou de la dérivée [x . Ft'(x)] de la courbe ABjNz, s'il s'agit d'un impôt de consommation. Mais cet écart vertical est, dans le premier cas,

x . \ Fn'[<an(xj] . tûn'(x)—Fa'l<aa(x)].<aa'(x)—tg<j . ua'(%)— V'(x)l, et, dans le second cas,

X . | Fn'[o)n(x)]. ,on'(x)-Fa'[o)a(x)]^a!(x)-tgc: .o>n'(x)- V'(x)^

de sorte que le taux le plus favorable est donné dans tous les cas par l'expression correspondante incluse entre les accolades. Eu égard à la dernière équation, cette expression se transforme d'une part en