X . V" (x) — tg- . o)lt'(x
et d'autre part en
x . V"(x) — tg?. t»n(x),
où naturellement il faut chaque fois introduire la valeur de x déterminée par l'équation établie. Pour ce taux d'impôt de production tgz, -, pour lequel le droit d'entrée le plus avantageux est juste égal à l'impôt intérieur, nous avons
et, pour ce taux d'impôt de consommation tgae, pour lequel le droit de sortie le plus favorable est juste égal à l'impôt,
tg<*e —
1 ■+- tx)n'(x)
La première de ces expressions est positive, car x et le nominalem- de la fraction sont positifs; tàa'(x), il est vrai, est négatif, mais cette valeur est toujours, numériquement, inférieure à 1 ; la dérivée w(, .r) mesure en effet la baisse de production provoquée par l'augmentation de l'importation et la première quantité doit être plus petite que la seconde, car une partie du surplus des entrées sera employée à l'augmentation de la consommation. Mais l'expression pour /gje est négative, car sauf x, qui, ici, est négatif, il s'agit de quantités purement positives. Enfin l'on peut également, pour toute quotité d'impôt de production ou de consommation tgs, déterminer le taux du droit de douane qui a pour résultat cette quantité d'importation ou d'exportation x pour laquelle le rendement fiscal en impôt et en
droit de douane atteint son maximum, c'est-à-dire, pour l'impôt de production,
tg*.<aa(z)+x. [F.'ix)- V'(x)],
ou, pour l'impôt de consommation,
tga.wn(z) + X. [F2'(X)-V'(X)1
11 j)eut encore être intéressant, pour les personnes versées dans l'analyse mathématique, de se rendre compte de la façon dont s'exprime l'hypothèse qui sert de base à nos dernières considérations, hypothèse d'après laquelle la première dérivée [x . f (x)] a tout à fait le même caractère de courbure que la courbe originaire correspondante f{x). En effet la seconde dérivée
~ [x . f(x)] = ~ [f{x) + x . f(xf] = Zf{x) + x . f"(x)
doit avoir constamment le même signe que la seconde dérivée/"^), de sorte qu'elle doit être négative si la courbe originaire a un tracé concave vers le bas. Cette condition serait remplie de la façon la plus certaine si f"(x) était toujours égale à zéro, c'est à-dire si f'(x) était constante ; mais nous nous trouverions alors en présence d'une parabole dont l'axe descendrait verticalement, c'est-à-dire d'une courbe qui ne serait pas limitée par des asymptotes verticales. Si donc /'"(£) ne peut aucunement être toujours égale à zéro, ceci doit tout au moins être le cas pour un point de la courbe f{x). Pour le .démontrer, menons successivement à chaque point de la courbe f (x) une parabole possédant un axe vertical dirigé vers le bas et qui a avec la courbe f(x) une tangence du second ordre, de sorte que ses dérivées première et seconde sont respectivement égales à f'(x) et f"(x). Il est donc évident qu'à l'extrémité droite de la courbe f(x) cette courbe et la parabole osculatrice doivent se cou-
LES ÉQUATIONS DES I Ol RBES 293
per de telle sorte que la courbe / (x) se trouve plus bas à droite et plus haut à gauche, taudis qu'à l'extrémité gauche de cette courbe le rapport opposé doit exister. A l'extrémité droite de la courbe f (x), sa troisième dérivée doit donc être algébriquement plus petite et à l'extrémité gauche plus grande que celle de la parabole osculatrice, et, comme cette dernière troisième dérivée est toujours égale à zéro, f"(x) doit être négative dans le premier cas et positive dans le second. Il s'ensuit qu'il y aura dans la courbe f (x) au moins un point où f"(x) sera nulle, et où, par conséquent, la parabole osculatrice aura une tangence de troisième ordre. Toutefois il peut y avoir en général aussi plusieurs points de ce genre, mais ceux-ci doivent être en nombre impair. De l'extrémité gauche de la courbe f{x) à son premier point de ce genre, f(x) est positive, puis elle devient négative à droite du dit point, de sorte qu'en ce point/ "(x) est négative et que, par conséquent, la parabole osculatrice se trouve des deux côtés au-dessus de la courbe / {x). 11 en est de même du troisième, du cinquième, etc., des points mentionnés, et le contraire se produit pour les deuxième, quatrième, etc. Au-dessous des parties de la courbe f (x) où f"'(x) est positive, c'est-à-dire, si nous allons de gauche à droite, audessous des parties qui précèdent les premier, troisième, etc., des points mentionnés, il peut y avoir, — mais seulement tant qu'elles se trouvent à droite de l'axe des ordonnées, — des parties convexes dans la première dérivée parce qu'ici seulement le produit xf'{x) est positif. De même, à gauche de l'axe des ordonnées, il ne peut y avoir de contre-courbures dans la dérivée que sous ces parties de la courbe f(x) qui font suite aux points nommés en dernier lieu.
Nous voulons essayer maintenant d'étudier la satisfaction comme fonction de toutes les influences qui s'exercent, sans nous en tenir à nos hypothèses antérieures. Toutes ces hypothèses se montreront nécessaires, précisément parce que nous avons voulu donner jusqu'ici une représentation plane, tandis qu'une représentation dans l'espace est encore possible, bien qu'une des hypothèses soit abandonnée ; c'est ce que nous voulons faire ici à l'égard de l'estimation invariable de la valeur de l'argent ; on verra en même temps comment s'expriment analytiquement nos diverses hypothèses.
Nous désignons donc par
z la satisfaction qu'une individualité économique donnée obtient au moyen d'une combinaison déterminée de la totalité de sa consommation, de sa production et de son stock, étant donné les prix actuels, payables a la fin de l'année,
tg^a , tgh • • • tg§n et étant donné les prix futurs, attendus par l'individu,
tgZa , tgtb ■ . . tgZn de tous les articles A, B, ... A7. Dans cette combinaison, soient
va , vb çn les quantités de consommation, et
ea , eb en les quantités de production de tous les
articles,
ga, gb gn le nombre des unités complètes de tout
article, nouvellement employées et pour ce motif invendables au prix courant, et
fa,fb fn le nombre des unités courantes achevées
par les producteurs. En outre soient
sa , sb s„ les stocks vendables, détenus en fin d'année, de tous les articles, et soit
y la possession d'argent comptant en fin
d'année, y compris les créances éventuelles à toucher à toute époque, à condition d'en déduire les dettes éventuelles de même nature contractées par le même individu. Nous désignons en outre par
a, , a-, an les stocks vendables détenus au début de
l'année, par
ha , kb ..... . kn les stocks incomplets subsistant delà consommation de l'année précédente, stocks, par conséquent, invendables sur le marché, et par
pa , pb pn les stocks d'articles non terminés, existant au début de l'année, invendables et provenant de la production de l'année précédente. Soit enfin
ti0 la valeur qu'obtiendrait t, si, étant donné
la combinaison, la dépense nécessaire pour tous les articles à acheter était égale à la recette correspondant à tous les articles à vendre. Toutes ces sommes sur la rentrée desquelles l'individu peut compter dans l'année courante sont déjà comprises dans t,, mais à l'égard de recouvrements inespérés, comme les héritabénéfices provenant de loteries, etc., nous faisons abstraction du fait que l'individu les connaîtrait avant la fin de L'année :
nous pouvons donc supposer qu'elles ne seront valables qu'au point de vue de l'évaluation de rt0 pour l'année suivante. Par contre il faut tenir compte de toutes les libéralités et tous les actes de bienfaisance et d'esprit public, dans la mesure où ils ne reposent pas sur des obligations contractées auparavant, tout comme les autres articles de consommation qui, étant donné la combinaison supposée, doivent être acquis et influencent la satisfaction.
Pour que nos désignations soient mieux comprises, remarquons dès maintenant que, si l'article A n'est ni consommé ni produit dans la combinaison supposée, ca = ga = ea = fa = 0. Si, de plus, ka = pa= 0, aa et sa peuvent cependant différer de 0, et l'article A fera ainsi partie de combinaison, si l'individu ne se présente à l'égard de cet article que comme un simple entreposeur, comme c'est toujours le cas pour un article faisant seulement l'objet de transactions à terme ou pour des valeurs. Il en est de même d'un article d'usage qui n'est pas susceptible d'usure, dans la combinaison supposée dont il n'est rien produit et dont rien n'est donné ni travaillé en vue d'en faire d'autres objets. Pour un article A de cette nature, on a aussi ga = 0, bien que les exemplaires existants puissent être utilisés ; cela vient de ce que ces exemplaires peuvent être vendus au prix courant.
Si l'article A est acheté en quantités très faibles, ka = 0 et va = ga ; l'on aurait de même pa = 0 et ea = fa, si, dans la production de A, l'on ne pouvait distinguer diverses périodes de travail et si la vente en très petites quantités avait lieu ; dans les quatre premières parties, nous n'avons envisagé que des articles de cette nature. Si A est un objet particulier déjà existant possédé dans
la combinaison supposée, ka = pa = ea = /a = 0, tandis que aa = 0 ou 1, suivant que l'objet est à acquérir ou fait déjà partie du stock initial de l'individu. En outre va = ga = 0 et sa = i, si l'objet A est de même qualité, dans l'inventaire de fin d'année et dans son mode d'emploi faisant partie de la combinaison supposée. Si tel n'est point le cas, va=ga={ et sa = 0, car dans l'inventaire de fin d'année nous ne nous trouvons plus en présence de l'objet originaire A, mais d'un autre article en lequel A se transforme par le mode d'emploi qui le détériore ou l'améliore. Il nous est alors permis de considérer cet autre article (ou, pour mieux dire, l'ancien objet désormais tout à fait transformé) comme un nouvel article dont la production appartient à la combinaison supposée et, à l'égard de ce nouvel objet, nous avons a = k = p=v=g=Oele=f=s =1. Si nous appelions A un objet que l'individu doit d'abord produire, nous avons, il est vrai, aa = ka = va = ga = 0, mais, si le travail a commencé dès l'année précédente, pa est supérieur à 0 et par suite ea est inférieur à t. Cette dernière inégalité se présente également pour pa= 0, si l'objet A n'est pas encore terminé à la fin de l'année et si. par conséquent, /„ = sa = 0 ; d'ailleurs dans ce cas su est également nul si la fabrication de .4 est terminée dans le cours de l'année, c'est-à-dire si fa = 1, mais à condition que l'on produise non pour son propre compte, mais sur commande. Si A est un article qui n'existe pas encore et qu'un autre individu doit fabriquer pour la personne considérée, l'on a aa = ka = pa = ea = /„ = 0, va = ga = 0, et sa = l,si le délai d'achèvement est d'un an ou de plus longue durée ; si ce délai est moindre et permet déjà d'utiliser A dans le cours de l'année, l'on obtient, comme pour un objet déjà existant, va=ga=Q et6\, = l,ou bien vit=ga={ et sa — 0, suivant que cet emploi laisse ou non tout à fait intacte la qualité de l'article. Si A est un objet particulier déjà existant et s'il n'est pas susceptible d'être utilisé sans
détérioration, il n'existe absolument pas de tg%a . Au lieu de tgla l'on doit connaître les prix tgZ auxquels l'individu croit pouvoir vendre, l'année suivante, les divers objets en lesquels on peut transformer A selon son mode d'emploi, ou ces prix plus élevés auxquels il les acquerrait volontiers — d'après son opinion actuelle — . Mais il existe un prix tgXa si A est un article à produire, à moins que l'individu n'entreprenne cette fabrication que sur commande d'autrui.
En outre aucune des quantités p, e, g, f, k ou p ne peut être inférieure àO ; s ne peut être négatif que pour un article à terme ; de même a ne peut être <0 que si l'individu a entrepris une vente à terme de cet article, dont l'échéance tombe actuellement. Si A est la promesse de paiement de l'individu en question, ni aa ni sa ne peuvent jamais être positifs.
S'il s'agit d'un article à terme, JgÇ représente le prix attendu, lors du terme prévu, pour l'article à recevoir ou à livrer. Si A est une valeur donnant un revenu, tgta désigne le cours escompté pour l'avenir, y compris le revenu, et le prix présent tgQa doit toujours être considéré comme " ex-coupon", c'est-à-dire déduction faite du revenu de l'année.
La satisfaction z dépend de l'agrément ou du désagrément lié à la combinaison supposée et de l'inventaire de fin d'année.
L'agrément ou le désagrément dépend à son tour de tous ces détails que nous avons appris à connaître, dans les paragraphes 32 et 47, comme indispensables pour caractériser une combinaison déterminée, embrassant toute une année ; il dépend en outre de la fixation exacte de différents stocks dont nous nous sommes occupés dans la cinquième partie. Si tous ces détails étaient donnés, en réalité, d'une façon assez précise pour exclure complètement la libre appréciation de l'individu, l'agrément ou le désagrément attaché à la combinaison serait déterminé avec exactitude. Mais, si l'on ne connaît que les quantités v, e, g, / et
s de chaque article, nn domaine spacieux reste ouvert à l'arbitraire de l'individu. Celui-ci peut répartir la consommation donnée v de tout article de la façon la^plus diverse entre les parts de consommation les plus différentes et fixer selon son bon plaisir la distribution de son temps, comme celle de ses subordonnés, et en particulier la répartition de la production suivant le temps des quantités fixées, e, de tous les articles. L'individu peut aussi répartir le reste de consommation de fin d'année, c'est-à-dire (g -+- k — v), d'un article quelconque, avec uniformité ou de toute autre manière, sur toutes les unités usitées au marché qu'il a à sa disposition et, par conséquent, sur les g unités à employer à l'état de neuf et sur les vieilles unités constituant le stock de consommation initial k. Il lui est également permis de se mettre à produire beaucoup ou peu d'unités d'un article quelconque qui restent inachevées, sans préjudice des /unités a terminer; aussi le reste de production égal de fin d'année (e -+-/> — /) peut-il se composer d'unités, plus ou moins nombreuses, également ou très inégalement achevées. Mais, quelles que soient les éventualités innombrables de ce genre, bien que nous connaissions les quantités v, e, g, / et s de tous les articles, il n'y en a jamais qu'une pour être la plus agréable ou la moins désagréable. Si nous introduisons l'hypothèse que toujours l'individu s'efforce à obtenir et sait choisir ce qui lui est le plus agréable, on détermine avec précision l'agrément ou le désagrément lié cà une combinaison donnée des quantités e, e, g, f et s de tous les articles.
L'inventaire de fin d'année dépend des restes de consommation existant à celte époque (g -+- k — p), des restes de production (e -+- p — /) et des stocks s vendables à ce moment, ainsi que des prix futurs présumés par l'individu, de tous les articles, et de l'argent comptant r, dont il dispose en fin d'année. Les prix valables pour le présent, tgQ, ont par contre de l'influence parce qu'ils exercent un effet
décisif sur le montant de la dépense et de la recette et, en conséquence, sur la quantité d'argent comptant -ri disponible à la fin de l'année ; on a ainsi
=rio^-[(ga— fa— aa-hsa).tgQa-h(gb—fb—ab^-sb).tgbb-h.t.^-(gn— /„— aB-Hff„).*g«
Rassemblons ces variables qui déterminentla satisfaction, à condition de nous en tenir à nos hypothèses antérieures : nous pouvons alors poser
( 1 ) z = * (fa, ea, ga, fa, sa, tgÇa ; çb, e,n ght fb, sb1tgb; ... ç>n, en, gn, /„, s,„ tgK» ; 4
*( ) est ici une simple fonction individuelle dont la forme n'est déterminée que par les caractères personnels de l'individu — ses inclinations, ses capacités, ses habitudes, ses conditions de famille, etc. — et par l'espèce et la quantité de sa propriété initiale. La possession initiale n'est pas encore établie de façon assez précise par les constantes
aa , ab , . . . a» ; ka , kb , . . . kn ; pa, pb, . . . pn ,
car chacune des quantité k et p ne représente respectivement que la somme des pourcentages de consommation et de production (§§ 66 et 68), existant au début de l'année et entrant en ligne de compte pour l'inventaire. Mais, comme nous l'avons dit, il n'est pas indifférent que la même somme k de centièmes de consommation disponibles soit contenue dans beaucoup d'unités très détériorées ou dans peu d'unités en bon état de conservation, et que p se compose de peu ou de beaucoup d'unités plus ou moins finies. Pour caractériser une individualité économique déterminée, il faut donc avoir à sa disposition de la façon la plus complète, toutes ces indications détaillées, qui exercent une influence déterminante sur la forme de la fonction *( ). En outre ï)0 appartient d'ailleurs à la possession initiale de l'individu et, par conséquent, seule la différence (t] — rl0) devrait apparaître comme variable dans la fonction. Pour
l'étude subséquente il est pourtant préférable de conserver en évidence, sans la dissocier, toute la possession d'argent comptant de fin d'année ; par conséquent, comme l'influence d'une variation quelconque de la constante v, se fait déjà sentir dans la variable ij, la forme de la fonction *( ), nous l'avons déjà établi, est indépendante de v.
Allons encore plus loin ; comme nous le voyons, bien que les quantités g, / et s, exprimées pour tous les articles en unités courantes totales, restent les mêmes, les quantités v ete, mesurées par fractions plus petites, individuellement différentes, peuvent varier dans de larges limites. Si nous supposons, recourant à nouveau à notre première hypothèse, que l'individu choisit de la façon la plus avantageuse les quantités v et e de tous les articles, il faudra faire en sorte qu'à l'égard de chacun des articles A, B . . . N, les conditions suivantes, mises en équations, soient remplies :
m ** - fi*U n
(-> dv ~ dv — u
et
La première de ces équations signifie que l'on ne peut étendre la consommation v de tout article que jusqu'à ce qu'une consommation plus forte soit désagréable en soi ou bien soit désavantageuse par suite de la diminution simultanée ou bien du reste de consommation (g-hk — v) subsistant de la quantité employée g ou bien de sa valeur future (g-hk — v) . t%X>. De même l'équation (3) veut dire que l'on ne peut étendre la production e que jusqu'au point où le désagrément attaché à un surplus de production devient égal à l'augmentation simultanée de la Valeur (e -h p — f)tgt> du reste de production. L'équation (2) n'existe naturellement pas pour ces articles à l'égard desquels, selon leur nature, on a v = 0 ou v = g, de telle sorte que p ne constitue pas une variable indépendante ; de même l'équation (3)
ne vaut pas à l'égard de ces articles pour lesquels e = 0 ou e = /. D'ailleurs ces équations de condition peuvent être abandonnées pour d'autres articles: si, par exemple, ga est très petit, il peut se faire que pour la consommation maximum possible
va = (ga 4- ki)
j soit encore supérieur à 0, c'est-à-dire qu'une nouvelle augmentation de la consommation accroîtrait encore la satisfaction ; mais alors la consommation sera portée à son maximum. Il y a également, pour toute quantité d'un article d'usage donnée ga, un minimum de consommation va ; en effet, nous l'avons vu, malgré l'absence de toute utilisation on peut constater une dépréciation, c'est-à-dire une consommation, dès que la quantité dont il s'agit passe dans les mains du dernier consommateur. La consommation va restera limitée à ce minimum, si ga est tellement
grand que le quotient différentiel ■ >., reste inférieur à 0,
même quand va aura le minimum possible de valeur; ici donc, une nouvelle limitation de la consommation augmenterait la satisfaction en accroissant l'inventaire de fin d'an-
cl'P née. Il peut aussi se faire que le quotient différentielsreste inférieur àO, même si l'on se trouve en présence du minimum possible de production
€a == ja Pa )
parce que, fa étant trop considérable, on désirerait pouvoir limiter la production ea : la production reste restreinte, en tout cas, à son minimum. Ceci nous permet toujours d'établir les quantités v et e comme fonctions de- toutes les autres variables qui apparaissent dans la fonction *( ) et de poser
(4) Z = Xiga, fa, Sa, tgKa ] gb,fb) Sbi tgïb \ ... gn, /„, Sn, tgn \ îrj) •
Ici /( ) est encore une fonction purement individuelle, mais elle repose non seulement sur l'hypothèse qui sert de hase à la fonction 4>( ), mais encore sur cette autre supposition que l'individu choisit les quantités v et e de tous les articles de la façon la plus avantageuse, étant donné les quantités g, f et s et les prix futurs attendus tgÇ de tous ces articles. Nous pouvons encore observer que
dr{ ' drt dva
dva d*( ),dvb ' d-n "*" dvb dV '
cM>( ) dvn
• + dvn ' dr,
dea
dea d<P( ) deij ' drt deb dt\
d<P( den ' dt\
ou, en vertu des équations (2) et (3), que <*/.() =d*( )
drt dr\
Par contre le quotient différentiel de /( ), pour une autre variable quelconque apparaissant dans cette fonction, n'est aucunement égal au quotient différentiel en question de la fonction *( ).
Nous pouvons aller encore plus loin et supposer que l'individu veuille s'en tenir à la combinaison première seulement à l'égard des quantités d'achat ou de vente de tous les articles, mais qu'il veuille choisir toutes ses quantités g, / et s de la façon la plus avantageuse. Désignons dans ce but, ces quantités d'achat et de vente par
•£(1 ) ** b y • ■ • Xn ,
et nous aurons naturellement
Xa=ga—fa—aa-)-su,xb=gb—fb—ab-hSt), ...xn=g,—fn—a,l-+-sn, et par conséquent
ti = t\0 — (xa . tgQu 4- xb . tgbb + ...-+- xn . tgBn). Pour introduire les quantités x dans la fonction y ( ), sup-
posons chacune des quantités / remplacée par l'expression correspondante
Pour le maximum de satisfaction que l'on peut atteindre pour les quantités données x, nous obtenons ainsi les conditions
dz d/A) el/() df Q dg dg df ' dg
eh djA eis ds
ou, encore,
(5) dg - ds -
d/A ) df
Ces équations signifient que, pour tout article, il doit y avoir égalité entre l'utilité ^~ de la dernière unité courante employée et l'utilité l yy de la dernière unité courante affectée à la formation d'un stock final susceptible d'être vendu ; elles doivent aussi être égales à l'utilité négative, -c'est-à-dire au coût ( ^fr) de la dernière unité
courante fabriquée. L'utilité -%M n'est naturellement pas
autre chose que l'évaluation individuelle de la dernière unité courante affectée à la constitution du stock ; elle dépend donc, de façon tout à fait directe, du prix futur attendu igt de l'article en question. Il n'est d'ailleurs pas toujours possible d'établir ces équations. Elles se réduisent à celle-ci
si, étant donné la quantité x d'achat ou de vente de l'article, il apparaît avantageux d'exclure en totalité la formation
d'un stock final susceptible d'être vendu ou la fabrication complète de nouvelles unités courantes ou leur utilisation. Mais alors la quantité donnée sera
[x -r a) = (g — /) ou bien = (g -+• s) ou bien = (s — /),
de sorte que l'on n'a plus besoin que d'une seule équation de condition pour déterminer les inconnues
g et /, ou bien g et s, ou bien / et s. De même nous n'avons plus affaire qu'à une de ces équations, en fait -aM = Jj~ ■> s* l'article en question, que
l'individu peut produire lui-même, nepeulà l'usage subir de détérioration, et si cette personne n'en donne gratuitement aucune quantité ou ne la convertit pas en d'autres objets. Les deux équations (o) ne peuvent se vérifier, si, en raison de la quantité donnée x de l'article dont il s'agit, il apparaît avantageux d'affecter toute La quantité positive disponible (x — a de façon exclusive soit à la consommation soit à la constitution d'un stock final susceptible d'être vendu, de telle sorte que / = s = 0 et g = (x -h a) ou bien / = g = 0 et s = {x -f- a). 11 en est de même quand on ne fabrique exactement que la quantité nécessaire / = ( — x — a) ; on a alors g'= s = 0, cas possible seulement quand x est négatif et numériquement supérieur à a. Les deux équations (o) ne doivent pas non plus être prises en considération si, comme pour les articles faisant l'objet de transactions à terme ou pour les valeurs, la nature de l'article permet toujours d'établir les équations / = g = 0 et par suite s = x -h a. Eu tout cas, il nous est donc toujours permis d'évaluer les quantités g, / et s de tous les articles comme fonctions des quantités a: d'achat ou de vente, ainsi que îles autres variables qui se trouvent dans la fonction / ( ), et ainsi poser
(6) Z = 'l (Xa , tgXa ; Xb , tgXb ; . . . x„ , tgKn J rt).
La fonction -i ( ) est, elle aussi, une fonction purement Auspitz et Lieben. 20
individuelle ; elle repose non seulement sur les hypothèses servant déjà de hase à la fonction y ( ), mais encore sur cette supposition nouvelle que l'individu choisit les quantités g, / et s de tout article de la façon la plus avantageuse, étant donné les quantités x d'achat et de vente et les prix futurs attendus igZ de tous les articles. Nous pouvons également observer que l'on a, en vertu des équations (5)
drt dt\ dt]
Admettons enfin que l'individu veuille atteindre le maximum susceptible d'être obtenu en raison des prix présents et futurs donnés de tous les articles. Il lui faudra choisir toutes les quantités x d'achat ou de vente, de telle sorte que, pour chaque article, l'on puise poser l'équation de condition
dz dx '
d±n^d nj An
dx dr{ ' dx
ou
SMfc*-*
ou encore
dH ) *K)
d(x.tgB) ' dt\ '
La dernière forme de cette équation signifie que, pour
tout article, l'utilité , , V V fn de la dernière petite dose de.
monnaie consacrée à son achat doit être la même, et qu'elle
doit aussi être égale à l'utilité ou à l'évaluation ^ ' de la
dernière petite dose d'argent comptant possédé. Il faut en outre remarquer, à l'égard des articles vendus, que la vente est un achat négatif et la recette une dépense négative ; aussi l'utilité de la dernière petite dose d'argent provenant de la vente d'un article quelconque doit-elle être la même ;
cette utilité, prise dans le sens négatif, constitue précisément le coût de la petite portion de l'article en question achetée moyennant la dernière petite dose d'argent.
Par suite de la grandeur déterminée des unités courantes des différents articles, la différentiation suivant les quantités g, /, s ou x n'est pas toujours possible ; ce fait ne change rien à l'essence, il modifie seulement le mode d'expression du résultat acquis; en effet au lieu de «l'utilité est égale », il faudrait dire : « l'utilité d'une nouvelle unité courante à acheter d'un article quelconque serait inférieure à l'utilité ou à l'évaluation de la dépense nécessaire, et le coût d'une nouvelle unité courante à vendre serait supérieur à l'utilité ou ta l'évaluation de la recette susceptible d'être obtenue », ou bien, s'il s'agit des équations (5), « l'utilité d'une nouvelle unité courante à consacrer à la consommation serait inférieure k celle de la dernière unité courante affectée cà la formation d'un stock final vendable ou au coût de fabrication complète d'une nouvelle unité », etc.
Nous reviendrons plus tard sur les diverses dérivées
V ; observons seulement que - y • est toujours > 0,
si l'on peut faire abstraction des inconvénients associés à la possession d'importantes sommes d'argent en grosse
monnaie. Ainsi l'on a \} ' = 0, si -n = oo car l'estimation
de la valeur d'un nouvel accroissement doit être infiniment petite si l'on possède une somme d'argent comptant infiniment grande. D'autre part, si i\ ne cesse de diminuer et
devient enfin négatif, l'estimation -^M doit croître avec rapidité et finalement devenir — 4- oo, si tj atteint la valeur négative représentant la dette que l'individu pourrait avoir contractée dans un cas extrême, sans garantie spéciale, par exemple par sa propre acceptation. Ce que nous venons
de dire permet d'établir que la seconde dérivée J:/ est en
général négative ; mais il n'est pas possible d'affirmer en termes absolus que tel doive toujours être le cas ; l'accroissement de t) peut en effet susciter un nouveau mode d'emploi ou de fabrication des quantités x d'achat et de vente, restant égales, de tous les articles ; il en résulte une moindre diminution de la valeur attribuée à une nouvelle petite dose d'argent comptant ; il peut même s'ensuivre une augmentation. Seront également positives les dérivées
■ jf J qui expriment l'accroissement de satisfaction dû à
l'attente d'un prix supérieur tgÇ, à condition qu'il s'agisse d'un article dont on conserve des stocks. Mais, s'il s'agit d'articles que l'individu vend à ternie ou qu'il devra acheter en vue de satisfaire à ses engagements, la satisfaction décroît à mesure qu'augmente tgÇ et les dérivées en question T y sont négatives. Ce que nous avons dit de J\ ' s'applique dans les deux cas aux dérivées ,J \^ . Il faut enfin observer que, si r\ augmente pour une raison quelconque, non seulement y ', mais encore chacune des dérivées -3W diminue au point de vue numérique, car l'estimation moindre de la valeur attribuée à la dernière dose de numéraire doit se manifester à l'égard de l'accroissement de valeur relatif à tout stock d'un article quelconque et d'une quantité qu'il s'agit seulement de se procurer.
2. LA SATISFACTION AU CAS D'ESTIMATION INVARIABLE DE LA VALEUR DE LARGENT
Reprenons l'hypothèse maintenue plus haut de façon constante, dans un but de simplification, à savoir que l'estimation de la valeur de l'argent, de la part de l'individu considéré, reste toujours la même tout au moins
pour l'année courante, quel que soit le caractère de la combinaison adoptée et quelle que soit l'importance du numéraire possédé en fin d'année.
Nous posons donc l'équation
où q est une constante dépendant des qualités personnelles et de la propriété initiale de l'individu, et aussi de la valeur objective de l'argent, une constante se modifiant juste dans la même proportion que l'unité monétaire. Nous observons à cette occasion que chacune des fonctions déjcà étudiées *()»/.() et ^ ( ) aurait naturellement une autre forme, si la quantité x d'un article quelconque était mesurée suivant une autre unité, par exemple en kilogrammes et non en quintaux, en litres et non en hectolitres, etc., ou bien si l'unité monétaire changeait. Si celle-ci diminue, si par exemple le centime remplace le franc, le montant v\ et tous les prix apparaîtront cent fois plus élevés, et la fonction <|/( ) devra être modifiée de façon à conserver néanmoins la même valeur ; certes ses dérivées y, ' ne changeront pas, mais les dérivées -ïM et -^— - deviendront
cent fois plus petites. Lorsque, d'autre part, la valeur objective de l'argent ne varie pas et que, seule par exemple, la valeur subjective diminue parce que l'individu s'est enrichi, il doit en résulter une décroissance non seulement des
dérivées v, ', mais aussi des dérivées "1} J , mais cette
rfT) fitfgÇ
diminution n'est pas tout à fait égale pour toutes, au point de vue numérique. Ainsi l'individu dont la richesse s'est accrue attribuera une valeur moindre non seulement à l'argent, mais encore à la possession en général, mais cette appréciation moindre des différentes sortes de possession
variera. Pour en donner l'expression analytique, nous posons
ty(Va>tgKa; xhtgKb\ ..«WgCnî *i) = ?(%a,q-tgKa; xb,q.tgÇb; ... Xm q . tgln )-h q .. 1
Ici cp( ) est à nouveau une fonction purement individuelle dépendant en totalité, comme la fonction <V( ), des unités quantitatives des différents articles, mais non plus de la grandeur de l'unité monétaire; en effet, quand par exemple cette dernière devient cent fois plus petite, tous les prix tgÇ deviennent cent fois plus grands et q cent fois moindre ; les produits q . tgï, ne varient donc pas. Mais les changements de forme — que subit la fonction ty( ) quand l'individu s'enrichit, c'est-à-dire quand augmente sa propriété de stocks de différents articles — se reproduisent dans la fonction <p( ), mais seulement dans la mesure où l'on n'en tient pas compte auparavant dans la diminution de q. La décroissance de la constante q signifie déjà que l'augmentation du bien-être déprime l'évaluation de l'argent et de la possession. Par contre les changements deforme de la fonction cp ( ) doivent exprimer et la mesure inégale de cette diminution, par rapport aux différentes sortes de possession, et la dépendance de la satisfaction modifiée par l'accroissement des stocks initiaux par rapport aux quantités x des articles en question ainsi que des articles complémentaires ou concurrents. Les équations (7) prennent alors la forme
(/cp (xa, q . tgZq ; xb, q . tgX,b ; . . . xn, q . tgKn) dxa
dy (xa, q . tgÇq \xb,q. tgZb ; • • • xn, q . tgQ
q ■ tgK
dxb
d<?(xa;q . fgga; xb, q . tgtb ;.. . . x», q . tgÇn)
dx„
Nous voyons comme il est facile à comprendre, et conforme à ce que nous avons dit plus haut (§ 16), que la combinaison la plus avantageuse pour l'individu considéré ne subit aucune modification si, comme lors d'un changement de la valeur nominale, par exemple lors du remplacement de Vunité-florin par Vunitè-couronne, l'unité monétaire devient plus petite et la valeur de l'argent décroit au point de vue objectif, parce que, dans ce cas, les chiffres de tous les prix tg9 et tgZ varient, comme q, dans des proportions exactement réciproques. Nous voyons aussi que, si la valeur de l'argent ne varie qu'au point de vue subjectif, c'est-à-dire si q augmente ou diminue de 10 %> par exemple, par suite du changement des qualités personnelles ou de l'état de fortune de l'individu, cette circonstance— abstraction faite des déformations concomitantes de la fonction ©( ) — doit exercer sur la combinaison la plus avantageuse exactement la même influence que si tous les prix tgO et tg$ s'étaient accrus ou avaient décru de 10 "0, l'appréciation de la valeur de l'argent restant la même. Nous avons déjà mis ce fait en lumière (§ 43), mais nous y avons également dit que, pour l'individu enrichi, non seulement les prix, mais aussi tout son actif et tout son passif au comptant paraissent réduits dans la même proportion que son estimation de la valeur de l'argent. Ici, comme plus haut (§ 10), nous avons laissé de côté les promesses de paiement ; en effet, dans la mesure où elles sont payables en monnaie du pays, par rapport à tous les autres articles elles constituent une exception, car leur montant nominal doit suivre exactement les changements de l'unité monétaire; il en résulte que leur prix ne subit aucune variation. Si A était un article de ce genre — et, pour simplifier le seul de ce genre — nous pourrions donc poser
ca, tg*a', Xb,tgth\ • ■ ■ Xn>tgKn',rO= ?(?.*a»*étf«i; Zb, q-tgW, vn,q.tgKn)^-g>y\
et les équations (7) revêtiraient les formes
d<p (g . xa, tgla ;xb,q. tgÇb ; .
• 'xn,q.tgZn)M
d (q . xa) d<? (q . Xa, tgÇa ;xb,q. tgZb ; .
— ■ ^"a •.Xn,q.tgKn)
dxb
d<?(q.xa,tgla; xb, q.tgKb\ .
• .xn,q.tgQ , 0
dx„
— q • ïgwn-
Nous voyons à nouveau qu'une augmentation ou une diminution de q, due au changement de l'unité monétaire, n'aurait aucune influence sur la combinaison la plus avantageuse, mais que, si q diminue de 10% parce que l'individu s'est enrichi, — si l'on fait encore abstraction des déformations simultanées de la fonction <?( ), — ce fait aura sur la combinaison la plus avantageuse juste la même influence que s'il y avait eu baisse des prix tgQ et ZgÇ des articles B ... N, et aussi du montant xa de l'obligation de paiement étrangère ou non.
Si maintenant nous avons affaire à un individu dont la position économique est déterminée avec précision même au point de vue de ses biens initiaux, et si nous faisons abstraction des variations que peut subir la valeur objective du numéraire, nous pouvons poser la constante q — 1 à défaut d'une mesure absolue; la satisfaction devient alors
z = yxa, {tgÇa ; xb, tglb ; . . . xn, tgtn) + y;,
et les équations (7) se ramènent à
Prenons un article quelconque A, dont le prix actuel tg%a est seul inconnu, et posons
t( -+- xa . tgQa z= 7]0 — (xb . tgBb H- ; . . -+■ Xn . tgin) = Tja,
SATISFACTION AVEC INVARIABILITÉ DE l' ARGENT 313^
nous avons
(8) z = f (xa, tgZtt ; xb, tgU ; . . . xn . tgln) -h ija — xa . tg%a.
Les (n — 1) équations
nous permettent alors d'évaluer les quantités x les plus avantageuses des article B . . . N, dépendant des prix tgQ eUgS de ces objets, et dépendant de tgC,a , mais tout à fait indépendantes ûelg<)a, comme des fonctions de la quantité^. De l'hypothèse d'une appréciation invariable de la valeur de l'argent, hypothèse acceptée dans les parties précédentes, résulte, comme nous l'avons d'ailleurs toujours affirmé, qu'à chaque quantité d'un article A correspond une combinaison tout à fait déterminée de tous les autres articles qui demeure toujours la plus avantageuse, quel que puisse être le prix courant tg§a. Nous n'ignorons pas que la réalité ne vérifie en aucune façon l'hypothèse du prix invariable de tous les autres articles, quand il y a des fortes oscillations du prix de A ; nous savons également que, si même tel était le cas, la combinaison la plus avantageuse des autres articles, étant donné une quantité quelconque xa, ne pourrait rester la même pour tous les prix de .4. Mais, dès que l'augmentation ou la diminution de la recelte ou de la dépense pour cette quantité xa et la modification qui en résulte dans la possession d'argent comptant en fin d'année devient sensible, on constate un changement dans l'appréciation de la valeur de la dernière dose d'argent comptant et par suite dans la combinaison, conformément à l'équation (7). Nous avons déjà (§§ 64 et 70) fait allusion à cette question ; elle se manifeste aussi dans de nombreux autres cas ; surloutsi l'on n'est pas très aisé, renchérissement d'un objet correspondant à un besoin vital essentiel, dont la consommation ne peut être restreinte.
doit provoquer la réduction des autres dépenses. Mais il est indubitable que la combinaison ne variera pas avec toutes les modifications légères de tg<)a , el qu'elle restera la même entre certaines limites de prix.
Introduisons dans <?( ) et dans l'expression afférente à i\a les fonctions mentionnées plus haut, relatives à des rapports de quantités : nous pouvons poser
o{xa, tgÇa ; Xby tgÇb ;...#„, tgKn) + ria =f(xa).
Cette expression f{xa) n'est autre que la jouissance liée à toute quantité achetée ou vendue xa de A. La fonction f(xa) n'est donc plus une simple fonction individuelle ; sa forme, au contraire de celle de <?( ), est déterminée par q et dépend en outre des prix donnés, tgQ et tgC,, des articles B ... N et du prix futur attendu, tgla, de A ; s'il y a changement dans l'appréciation individuelle de la valeur de l'argent, cette fonction subira donc les modifications dont nous nous sommes occupés (§§43 et 06) à propos de la courbe de la jouissance.
On a maintenant
Z = / \Xa) Xa , tg^a »
et nous satisfaisons donc à la seule condition qui nous reste pour le maximum de satisfaction, à savoir
f(xa)=tgK,
en traçant la courbe de la jouissance avec xa comme abscisse et f(xa) comme ordonnée et en cherchant sa distance verticale maximum de la ligne du prix correspondante, tg§a.
Au lieu du procédé dont il vient d'être question, nous pouvons arriver à la courbe de la jouissance par une construction. Dans ce but, nous faisons abstraction des équations de condition (9) et nous supposons données comme invariables les quantités x des articles B . . . N et par conséquent, ria, tandis que xa serait variable, mais tgQa nul et,
par suite, r, égal à t\a; portons ensuite sur chaque abscisse xa comme ordonnées les valeurs correspondantes de
L tgKa ; Xb, tgKiy ■ . . Xn, tgKn ] rj) = o(Xa, tgKa ; Xb, tgÇb ; . . . Xn, tgQ + 1«
nous obtenons ainsi une courbe que nous appelons la courbe élémentaire relative à xa. Si la production de A est rendue impossible, soit du fait de la nature de cet article, soit à cause de la quantité donnée x des autres articles, — par exemple par suite du manque d'une matière première indispensable, — cette courbe débutera sur l'abscisse (—aa); et, si A n'est pas une valeur ou une obligation à terme de nature analogue, son tracé ne sera ascendant vers la droite que jusqu'à un certain point, à partir duquel il se dirigera de façon continue vers le bas et enfin de compte, il sera asymptotique par rapport à une verticale descendante. Mais, si les quantités # des autres articles excluaient, non plus la production, mais la consommation et, aussi, la formation d'un stock final de A, susceptible d'être vendu, la courbe, à partir du même point de départ, irait non pas vers la droite, mais vers la gauche et, finalement, elle serait, elle aussi, asymptotique à une verticale descendante. En général la courbe élémentaire n'a pas de point de départ; d'ordinaire elle est limitée des deux côtés par des asymptotes verticales descendantes. Ces asymptotes seront toutes deux à gauche du point final de l'abscisse ( — aa), quand les quantités données xb . . . xn conditionnent une production tellement élevée qu'il faut toujours vendre une quantité supérieure à«,,, si l'on suppose la consommation et l'accumulation de stocks poussées à leur plus haut degré possible. Les deux asymptotes avancent vers la droite, — elles se placent même de l'autre côté du point 0, si les quantités données des autres articles rendent nécessaires un achat supplémentaire de A, même étant donné une extension très considérable de la production. Aussi la courbe élémentaire a-t-elle, dans tous les cas, un tracé en
général concave ; il en est de même si elle se réfère à une valeur ou à une obligation à terme de nature analogue. Si, par exemple, A est un article à terme de ce genre, la courbe ne cesse de s'élever, et elle est limitée vers le haut par une asymptote horizontale et vers la gauche par une asymptote verticale descendante ; par contre, si A est une valeur étrangère, la courbe ne cesse de monter vers la droite, à partir d'un point initial situé sur l'abscisse ( — aa), puis elle devient asymplotique par rapport à une horizontale ; ou bien, si A est la promesse de paiement de l'individu considéré, elle ne cessera d'être ascendante, vers la gauche, à partir du même point, puis, en fin de compte, elle sera asymptotique à une verticale. Toutefois nous ne pouvons affirmer que la courbe élémentaire est concave d'un bout à l'autre, c'est-à-dire que la seconde dérivée
d\{ ) = cH( ) dx'l ' ' dxl
doit être constamment négative. Il existe bien une loi physiologique, valable de façon générale, aux termes de laquelle toute nouvelle petite excitation augmente la jouissance d'autant moins, ou bien, si la limite de pleine satisfaction est franchie, affaiblit la jouissance d'autant plus, qu'il y a déjà eu plus d'excitations du|mème ordre ; la même loi constate aussi que toute nouvelle petite prestation semble d'autant moins agréable — et, si l'on a dépassé la limite jusqu'à laquelle la prestation est agréable en général, d'autant plus désagréable — qu'il y a déjà eu plus de prestations de la même nature. Mais nous savons que la fonction <l{ ) et, avec elle, la fonction o( ) reposent sur des hypothèses fort compliquées qui expriment toutes le fait que chaque unité courante à acheter en plus ou à vendre en moins d'un article quelconque A peut trouver des modes d'emploi très variés et en outre réagir de façons
très diverses sur les modes d'emploi et de îabrication les plus avantageux des quantités d'achat ou de vente données, x, de tous les autres articles. Dans de telles conditions, la loi physiologique simple que nous venons de mentionner ne peut pas s'exprimer avec clarté et netteté dans la courbe élémentaire, bien qu'en dernière analyse elle exerce une influence prépondérante sur la forme de toutes nos courbes. Supposons tracée pour toute combinaison possible des quantités xb..%xn la courbe élémentaire correspondante relative à xa\ sur chaque abscisse xa l'une quelconque de ces courbes sera située le plus haut, à savoir celle qui repose sur la combinaison des quantités xb . . . xn la plus avantageuse, étant donné la quantité en question xa , et indiquée, en conséquence, par les équations de condition (9). L'enveloppe de tout ce système de courbes élémentaires n'est autre que la courbe de la jouissance établie plus haut. En tous ses points, elle a la même direction tangenlielle que la courbe élémentaire qui y apparaît. On a en effet
f(x)= -^ -+- r^() - ^'i — * 4- -i- rrf?() ' r/H
' K a) dxa L dxb ' dxb\ dxa | dxn ' dxn\
ou bien
et, par conséquent, en vertu des équations de condition (9)
En ce qui concerne l'incurvation de la courbe de la jouissance, sa seconde dérivée est
/■tel rdM > i d2?() ^L»«- , <*m ) *m
' [Xa) — L dx: "*" dxa . dxb ' dxa ~*~ • • ' "+" dxa . dxn ' dx | ■
Le premier membre de cette expression f\ ■ est tout simplement la seconde dérivée de la courbe élémentaire
qui se montre dans la courbe de la jouissance et qui est négative en règle générale, comme nous l'avons vu. Sa
valeur numérique mesure la diminution de l'utilité ~y '1
de la dernière unité courante, achetée ou non vendue, de l'article A qui résulterait d'une augmentation algébrique de xa — c'est-à-dire l'achat supplémentaire ou la vente en moins d'une nouvelle quantité de A — si l'individu était obligé de s'en tenir invariablement, malgré cet accroissement, aux quantités xb . . . xn auparavant les plus avantageuses. Mais la diminution d'utilité d'une unité de A à acheter en plus ou à vendre en moins doit naturellement devenir moindre si, à l'obligation présumée, se substitue la pleine liberté d'adapter avec le maximum d'opportunité les quantités xb . . . xn à la quantité changeante xa. Mais la courbe enveloppante de la jouissance repose sur cette dernière hypothèse ; sa seconde dérivée doit donc être
et l'expression [ ] > 0. Aussi, la plupart des membres inclus dans [ ] seront-ils en réalité positifs. Examinons par
exemple le premier d'entre eux : la dérivée mixte t — t-M-
donne des éclaircissements sur la question de savoir si un accroissement algébrique ûexb — acquisition plus importante ou aliénation moins considérable de l'article B — exerce une influence sur l'utilité de la dernière unité achetée ou non vendue de A, et quelle est cette influence. Si nous considérons le cas le plus simple, le cas dans lequel les deux articles A et B sont seulement consommés, on aura donc *
dxa . dxb < ' suivant que B complète la jouissance due à A, lui est tout
à fait indifférent ou lui fait concurrence. Abstraction faite des exceptions mentionnées plus haut (§ 36), l'augmentation fie xa sera accompagnée de l'accroissement de la quantité xb de l'article complémentaire B ou de la diminution de
la quantité xb de l'article concurrent B, de sorte que ~
sera dans un cas positif et dans l'autre négatif et que, dans les deux cas, l'on aura
fi2?( ) dxp dxa ■ dxh ' dxa
On peut se livrer à des considérations analogues a l'égard des autres membres contenus dans [ ] et spécialement s'il n'y a que production de A et de l'autre article corrélatif, ou bien si ces deux objets sont consommés ou produits en même temps ; beaucoup de ces membres sont nuls, mais la plupart des autres sont positifs ; ainsi leur somme est-elle toujours positive. Si nous ne pouvions exclure de façon absolue dans les courbes élémentaires la possibilité de courbures en sens contraire, ces parties convexes doivent apparaître d'autant plus tôt dans la courbe de la jouissance, enveloppante, en tout cas moins concave. Mais l'écart maximum entre cette courbe et la ligne du prix ne peut jamais se trouver dans une partie convexe, on ne le rencontre jamais que dans une partie concave. Aussi, comme l'achat ou la vente des quantités xa représentées par les abscisses des parties convexes ne peut être avantageux pour aucun prix donné tgba de A, il nous faut éliminer les parties convexes que nous pouvons rencontrer dans la courbe de la jouissance et, avec elles, les quantités correspondantes qui ne conviennent point, — et c'est ce que nous avons fait dans les parties antérieures, en substituant des lignes droites aux lacunes des courbes concaves.
Revenons maintenant au cas plus général d'une appréciation variable de la valeur de l'argent, c'est-à-dire à l'équation (6)
z = 4 (xa, igXa ; xb, tg£b ; . . . xn, tgtn ; r(), et prenons un article quelconque A dont seul le prix lg§a est inconnu. Nous n'avons donc à poser les équations de condition (7) qu'à l'égard des articles B . . . N, c'est-à-dire
[W> dxb dri ' lg 6' ' ' ' ' dxn dr{ ' lë"n'
Ces équations permettent de déterminer les quantités xb . . . xn, et aussi tq = (t\a — xa . <g60) comme fonctions de la quantité xa et du prix tgtia dépendant des prix ?g6 études articles B . . . N, et aussi de ?gÇa ; on peut donc poser :
Z=-<M ) = F(xa,tgK)- La fonction F{ ) n'est donc pas une fonction purement individuelle et, contrairement à la fonction ty( , elle dépend aussi de r10. Pour le maximum de satisfaction, nous n'avons donc plus que la condition
[U> dxa -U-
Il ne peut être question d'établir une courbe de la jouissance, car le prix tcßa apparaît dans la fonction F ( ), et nous devons recourir à une construction dans l'espace. Dans ce but prenons un système de coordonnées à trois axes; portons sur l'axe OX, à droite et à gauche du point O, les quantités positives et négatives x.a et, en même temps, comme ordonnées horizontales parallèles à l'axe OY, en avant les montants positifs xa . tg§a, qui représentent les dépenses de consommation ou les frais d'enlèvement des produits et, en arrière, les quantités négatives xa . tg§a, qui représentent les recettes dues à la production ou les primes allouées à la consommation. Chaque rayon vecteur horizon-
tal désigne ainsi, au moyen de la tangente trigonométrique de l'angle qu'il forme avec l'axe OX, un prix positif ou négatif tgQa et représente donc une ligne du prix. Nous élevons ensuite, en chaque point de l'horizon une ordonnée verticale représentant par sa longueur la valeur dont il s'agit, z = F(xa, tgha). Nous obtenons ainsi une surface que nous appelons surface de satisfaction. Cette superficie indique la satisfaction dans sa dépendance h l'égard de la quantité d'achat ou de vente £„ de A, variant d'une manière quelconque, et de tous les prix imaginables tg% de -4, et en tenant compte de l'appréciation variable de la valeur de l'argent; mais, par contre, il faut considérer les prix tgO et tgÇ de tous les articles B . . . N comme invariables, aussi bien que tgÇa; il faut également supposer que les quantités xb . . . xn sont toujours choisies de la façon la plus avantageuse.
Avant de montrer comment la courbe de l'offre et de la demande, valable au cas d'appréciation variable de la valeur de l'argent, peut être établie avec l'aide de la surface dont nous venons de parler, nous devons apprendre à mieux connaître cette surface et étudier à cet effet son intersection avec divers plans. Nous établissons tout d'abord à travers de la surface de satisfaction, un système de plans verticaux, parallèles à l'axe OY, que nous nommons plans de la quantité, parce qu'ils correspondent aune certaine quantité xa d'achat ou de vente, et nous appelons leurs courbes d'intersection courbes de la quantité; dans la figure 78 nous faisons apparaître en noir quelques-unes de ces courbes, telles qu'elles se projettent sur le plan YZ, si l'observateur se trouve du côté des abscisses positives; nous avons représenté au moyen de courbes striées les intersections qui se trouvent derrière: le plan YZ. Nous comprendrons encore mieux la signification de ces courbes, si nous nous rendons compte de leurs rapports avec des courbes encore plus simples. Si, par exemple, nous faisons abstraction des Auspitz et Lieben. 21
équations de condition (10) dans notre examen d'un plan quelconque de quantité et si nous imaginons qu'en plus de la quantité dont il s'agit xa , aussi xb . . . xn et également r\a sont donnés comme invariables, seul le prix îg6a reste variable dans la fonction,
<\> [xa, igKa ; xb, tgKb ; . . . xn, igXn ; (r(a — xa . tgda)].
Portons alors dans le plan de la quantité considérée et les montants positifs xa . tgQa en avant et ceux négatifs en arrière dans le sens horizontal, et les valeurs correspondantes de <J/( ) comme ordonnées verticales; nous obtenons ainsi une courbe que nous désignons comme courbe élémentaire relative à xa . tg^a = {t\a — r). Cette courbe ne cesse de baisser vers l'avant, car sa première dérivée
d (xa . tgQa) d-n
est constamment négative. Nous savons en outre que, si
t\ = -1« — %a ■ tg$a = oo .- .
et si, par conséquent, xa > 0, tgba = — oc ou si xa < 0,
tgiïa = -+- oo , on a
dir]
on a aussi
dn )
si ï] arrive à avoir une certaine valeur négative et si, en conséquence, le prix tgQa atteint la hauteur correspondante. Il en résulte que la courbe élémentaire dont nous nous occupons est limitée vers le haut par une horizontale allant en arrière et vers l'avant par une verticale descendante; elle sera donc concave d'un bout à l'autre. Supposons que, la quantité xa restant toujours constante, la courbe en question soit valable pour toute combinaison imaginable des quantités xh . . . xn\ l'enveloppe de tout ce système n'est autre
LA SURFACE DE SATISFAI l [OH ■^-■i
que la courbe de la quantité, qui nous a servi de point de départ. Cette courbe ne repose donc en aucune façon sur une combinaison déterminée des quantités xb . . . xn\ par contre elle tient compte de la circonstance en vertu de laquelle la combinaison est adaptée de la façon la plus opportune au prix changeant tgùa et à l'appréciation delà valeur de l'argent qui varie en conséquence. La figuration dans l'espace nous permet ainsi de nous rapprocher de la réalité, en écartant non seulement l'hypothèse, indispensable a la représentation dans un plan, de la valeur constante de l'argent, mais encore sa conséquence, mentionnée à plusieurs reprises, à savoir que pour une quantité xa et pour tous les prix tgBa une seule et même combinaison de tous les autres articles reste la plus avantageuse. Naturellement, la courbe de la quantité enveloppante, si son tracé est moins concave que n'importe laquelle des courbes élémentaires enveloppées, aura la même forme générale que celles-ci. Sa dérivée première est
dF(xa, igOa) d(xa.tgOa) '
ou bien, comme xa est constant,
d.F(xn,tgK) 1 \d-l ) dHJ -i dx,
xa ■ d tgba - x„l dxb ' ' ,lr, -l* h\' d tgK • • •
^ Xal dxn dr, ' '° "\d tgBa "*"»«■ rfr, ' d tgQa'
ou bien, en vertu des équations de condition (10)
(12) dF.(xa, tgBa) d$
xa . d tgHa " dr, '
celte dérivée esl donc exactement égale en ions points h la dérivée des courbes élémentaires correspondantes, el elle représente l'utilité d'une moindre dépense ou d'une recette plus élevée.
Examinons encore le plan YZ et, en conséquence, le plan de la quantité xa = 0. Nous observons aupo int 0 que conformément à notre conception antérieure, la satisfaction devient indépendante du prix tg%a et que, par suite, la jonction F( ) prendra à ce point la valeur z0 en qualité de fonction indépendante du prix. Mais pour tout le plan YZ la formule (12) nous donne une valeur indéterminée, F(ö, ± oo ), que nous pouvons étudier de plus près, d'après des règles connues, de la manière suivante. Nous pouvons construire dans ce plan une courbe de la quantité en imaginant que la possession initiale d'argent comptant de Vindividu — celui-ci ne se modifiant à aucun autre point de vue — est maintenant de (rl0 — e) au lieu de rlo , où s. représente une petite quantité positive ou négative. Dans l'expression qui représente la satisfaction
ty [0, tgZa ; %b, tg^b ; • • . xn, tgtni -ni,
on a donc
•n -- io — £ — (r* • l^'> -+- ..•-+-#*■ tgK) = ria — s,
et, si nous supposons à nouveau une combinaison quelconque des articles B ... N , seul le montant e reste variable dans<^( ). Portons alors sur l'axe OY les quantités posir tives s en avant et les montants négatifs e en arrière; représentons aussi par des ordonnées les valeurs correspondantes de <\>{ ); nous obtenons ainsi une courbe élémentaire concernant s = (ria — r(). On peut avoir une courbe analogue pour chacune des autres combinaisons des articles B ... N et l'enveloppe de tout ce système, comme chacune des courbes enveloppées, a la même forme générale que toutes les autres courbes de la quantité.
Toutes les autres courbes de la quantité montrent que la satisfaction dépend des changements de la fortune en argent comptant dus aux débours et bénéfices auxquels donne lieu V article A. Elles ont d'ailleurs une certaine analogie, du point de vue de la forme, avec la fonction logarithmique établie par Bernouilli et
Laplace pour représenter la dépendance de la fortune morale » à l'égard de la « fortune physique » ; mais elles se différencient de la courbe logarithmique par ce fait qu'elles ont une asymptote horizontale.
Si nous rassemblons toutes les courbes de la quantité, dont cbacune est seulement valable pour une quantité déterminée xtl , et qui, en conséquence, n'ont pas du tout le même tracé, les asymptotes verticales de ces différentes courbes formeront une nappe qui enveloppe, sur le devant, la surface de satisfaction. Mais nous pouvons supposer que les asymptotes borizonlales se trouvent toutes à la même hauteur. Si xa . tgQa = — oc , les moyens pécuniaires illimités disponibles mettront doilc l'individu en situation de pouvoir choisir la combinaison des autres articles sans égard à leurs prix qui, sans cette condition, seraient peutêtre trop élevés; non seulement tous les articles complémentaires et concurrents et aussi tous les moyens de production sont à son entière disposition, mais il a également la possibilité de compléter ses petits achats de A par sa propre production, ou de transformer de trop grandes quantités de cet article ou de l'employer en présents ou de l'affecter à la constitution d'un stock. La satisfaction que l'on peut obtenir si xa . tgQa == — oo devient donc tout à fait indépendante de la quantité xtl, achetée ou vendue, d'un article^!, et nous pouvons nous imaginer que la surface de satisfaction est limitée vers le haut par un plan horizontal. Ce plan se projette, tout comme l'arête antérieure de la nappe asymptotique mentionnée plus haut, sur le plan -YZ dans les lignes rouges striées (fig. 78).
Considérons maintenant les intersections de la surface de satisfaction avec les plans verticaux parallèles à l'axe OX que nous appellerons plans de la dépense. Chaque courbe d'intersection d'un plan de la dépense ou courbe de la dépense représente hi dépendance de la satisfaction par rapport à la quantité ^a, étant donné un montant déterminé constant
xa . tgBa, dans lequel le prix tgQa et le montant xa varient en raison inverse. Nous avons représenté en noir quelquesunes de ces courbes dans leur projection sur le plan XZ (fig. 79) et en pointillé les courbes situées derrière ce plan Chaque courbe de la dépense, elle aussi, enveloppe tout un système de courbes élémentaires relatives à xa, comme nous avons appris a les connaître dans l'hypothèse spéciale de la valeur constante de l'argent et pour xa . tgQa = 0 (Appendice II, 2). Comme le montant #„ . tgüa est maintenant constant dans
ty[xa , tgXa ; xb , tgZb ; ... xn , tgln ; (r,(, — xa . tgda)},
la courbe enveloppante de la dépense a pour dérivée
*H ) , W ) *K ) /fffll dxb dxa ~^L dxb dï~ -lb b]'dx„ '"
h\dHj d±n tgB-].^n
L dxn d-fl b n\ dxa
ou, en vertu des équations de condition (10)
dxa '
mais cette expression est en même temps la dérivée de la courbe élémentaire qui apparaît dans la courbe enveloppante. Nous savons que la courbe qui enveloppe les courbes élémentaires de cette nature possède la forme générale de la courbe de la jouissance. Si nous faisons abstraction de ce que A peut être une valeur ou une obligation à terme du même genre, toute courbe de la dépense est donc limitée à droite et à gauche par des asymptotes verticales elle aura ainsi un point maximum et en général elle sera concave. En outre, comme tout plan de la dépense est ei même temps le lieu géométrique des points d'inlersectior du plan de la dépense dont il s'agit avec toutes les courbes de la quantité, ces dernières étant ascendantes vers l'arrière, chaque courbe de dépense située plus loin en arrière doit
avoir, à abscisses égales, des ordonnées pins élevées. Il en résulte que, plus une courbe de la dépense se trouve en arrière, plus son maximum sera haut, et que ses points d'intersection avec tout plan horizontal, comme ses asymptotes, s'écartent d'autant plus les uns des autres. La partie culminante est en même temps toujours plus aplatie et plus étendue; l'individu sera donc de plus en plus libre, à mesure qu'augmentera la valeur numérique du produit négatif^ . tgbat dans le choix de la combinaison des autres articles et de moins en moins sensible aux déviations de la quantité xa la plus agréable, représentée par l'abscisse du point maximum. Nous pouvons enfin supposer, comme nous l'avons déjà fait, que pour xa . tg<)a = — oc la satisfaction est tout à fait indépendante de xa, de sorte que la courbe de la dépense (—ce) ou, ce qui revient au même, la projection des asymptotes horizontales de toutes les courbes de la quantité sur le plan XZ forme une ligne horizontale limitée des deux côtés par des verticales descendantes, comme l'indiquent à nouveau les lignes rouges striées de la figure 79. La distance existant entre ces dernières forme en même temps le maximum de l'écartement — qui va toujours en croissant à mesure qu'on les prend plus en arrière — entre les asymptotes des courbes successives de la dépense. Mais nous devons enfin avoir en avant un plan de la dépense qui ne coupe plus la surface de satisfaction et qui ne renferme que l'asymptote verticale de la courbe de la quantité située le plus en avant. Cette asymptote forme en même temps l'arête antérieure de la nappe asympto tique dont nous nous sommes déjà occupés et dont font également partie, naturellement, les asymptotes de toutes les courbes de la dépense. Celle nappe ellemême se rapproche de plus en plus, vers l'arrière, des deux plans d'asymptotes verticaux, parallèles à l'axe OY, que l'on peut déterminer au moyen des lignes qui délimitent la courbe de la dépense (— ce ).
Si nous nous occupons maintenant des intersections horizontales, ces intersections de la surface de satisfaction donnent des courbes de satisfaction constante; nous en avons représenté quelques-unes en noir dans leur projection sur le plan XY (üg. 80) et nous avons figuré en pointillé celles qui descendent au-dessous du plan horizontal. Les ordonnées de toutes les courbes de ce genre nous permettent de reconnaître comment doivent changer le montant xa . tgda et le prix tgtia si, étant donné une quantité variable xa , la satisfaction z doit rester la même. Ainsi, par exemple, dans la courbe d'intersection située à la hauteur Ob (fig. 78 et 79), la satisfaction resterait exactement égale à la satisfaction initiale z0 pour toute quantité d'achat ou de vente xa . Chacune de ces courbes est aussi l'enveloppe de tout un système de courbes élémentaires qui mettent en lumière cette relation entre xa. tgQa et xa , étant donné une combinaison invariable des quantités xb ...xn. Chaque courbe horizontale est le lieu géométrique des points d'intersection de toutes les courbes de la dépense avec le plan horizontal dont il s'agit, et il s'ensuit qu'elle aura un maximum en avant et qu'en arrière elle doit se rapprocher de deux asymptotes parallèles à l'axe OY, qui se trouvent dans les plans asymptotiques verticaux mentionnés plus haut. Les intersections de ces deux plans asymptotiques avec l'horizon sont représentées dans la figure 80 au moyen de lignes rouges striées. Il s'ensuit en outre que la courbe horizontale, avec son point maximum, arrive d'autant plus en avant qu'elle est plus basse ; le maximum situé le plus en avant appartient donc à la courbe horizontale ( — oo ) ou — ce qui revient au même — à la projection de la nappe asymptotique sur le plan horizontal, comme le montre la courbe rouge striée (fig. 80).
Il nous reste encore à examiner les plans à établir au moyen de l'axe OZ dans la direction de toutes les lignes du prix — les plans du prix — et leurs courbes d'intersec-
tion — les courbes du prix ; — nous en représentons quelques-unes en noir (fig. 81) dans leur projection sur le plan XZ, tout en poinlillant les parties situées derrière ce plan ; elles se coupent toutes au point b. Ces courbes figurent la dépendance de la satisfaction par rapport à la quantité xa , étant donné un prix tgiïa toujours constant, et chacune d'entre elles est à son tour l'enveloppe d'un système complet de courbes élémentaires, qui font apparaître la même relation pour toute combinaison déterminée des quantités xb...xn. D'après ce que nous avons dit, toute courbe du prix doit aussi être limitée par deux asymptotes verticales déterminées par l'intersection du plan du prix en question avec la nappe verticale des asymptotes. Il faut donc que toute courbe du prix ait un maximum et, en général, un tracé concave. Sa dérivée première est
dF{x„tg»a)dl( ) fo( ) /ffft , [d-l( ) dl( ) ^l.clx, dxa — dxa "~7hT ö ""H dxh ' drt 'l^b\ dxa
+ - + L dxn dr, ' tg"»\ dxa
ou bien, si l'on tient compte des équations de condition (10) dF(xa,tgK) d>l ( ) d'i ' )
dxa ' dx„ d-t
tg*a
De ceci et du tracé concave de toute courbe du prix, il résulte que les points de même direction tangentielle des différentes courbes successives du prix et, de même, leur maximum sont situés d'autant plus à droite que le prix positif ou négatif dont il s'agit, tgBu, se trouve respectivement plus bas ou plus hauti1). Kn même temps le maximum de la courbe du prix se déplace vers le baut, s'il est à droite du point 0, ou vers le bas, s'il est à gauche, à mesure
(') Cette affirmation nécessite une rectification, car elle ne se vérifie
d'li{ ) que si -* — , soit l'appréciation di' la valeur de l'argent, ne varie pas,
hypothèse qu'ici nous avons abandonneu. Voir la note suivante.
que le prix décroît algébriquement, par suite du parcours, dont nous avons parlé, des courbes de la quantité. Le déplacement du maximum de la courbe du prix — déplacement croissant à mesure que diminue le prix — se manifestera avec une force toute particulière, si, pour un article de consommation ou pour un article d'usage, sujet à détérioration, le prix tg§a baisse tellement au-dessous du prix futur attendu tgÇa que la constitution d'un stock final vendable sa (§ 60) s'ajoute à tous les autres modes d'emploi de l'article A.
L'abscisse du point maximum d'une courbe du prix mesure la quantité xa de .4 qui correspond à l'équation de condition (11) et dont l'achat ou la vente a pour résultat la satisfaction la plus grande que l'on puisse obtenir, étant donné le prix tgQa ; quant à l'ordonnée horizontale, elle représente le montant corrélatif a;a . tgtia . Si nous réunissons les points maxima de toutes les courbes du prix, nous obtenons une courbe dans l'espace, la courbe du maximum de satisfaction qui, d'après ce que nous venons de dire, part de l'axe OZ à la hauteur z0 , c'est-à-dire du point b, et ne cesse de s'élever et vers la droite et vers la gauche. Dans la figure 82 nous avons essayé de donner la représentation en perspective de la surface de satisfaction ; la courbe dans l'espace est représentée au moyen d'une ligne rouge pleine, la nappe des asymptotes est figurée en rouge, mais striée, et les courbes noires donnent les diverses intersections.
La projection de la courbe du maximum de satisfaction sur le plan horizontal, représentée en rouge dans la figure 80, donne, au moyen de chacune de ses abscisses, la quantités« dont l'achat ou la vente provoque le maximum de satisfaction, étant donné le prix tg$a indiqué par le rayon vecteur de la courbe; toute ordonnée de cette courbe désigne ainsi la dépense ou la recette correspondante (').
(*) Comme nous V avons exposé avec plus de détails dans l'écrit déjà cité « Die mehrfachen Schnittpunkte, etc., etc. », tgQ. diminue en
La courbe projetée est donc la courbe de l'offre et de la demande, telle qu'elle résulte de la considération il>- ce fail que l'appréciation de la valeur de l'argent peut varier si le prix de A se modifie; elle prendrait la position indiquée auparavant si nous avions porté les quantités positives de dépense en arrière et non plus en avant. Celte courbe possède également la propriété caractéristique de toute courbe de l'offre et de la demande; en effet elle n'est pas coupée plus d'une fois par un rayon vecteur quelconque, car, nous
effet algébriquement de façon progressive, continue, dans la direction
indiquée, mais -X — -, l'appréciation de la valeur de l'argent, augmente
avec r accroissement de la dépense et diminue avec l'accroissement des recettes. Si la figure A, à l'instar de la figure SO, représente la projection de la courbe du maximum de satisfaction sur le pian horizontal,
■ , augmentera toujours suivant la direction dont il s'agit, du quart
Fig. a.
Fig. b.
de cercle I jusqu'au maximum de la courbe dm, s le quart 11 ou ///, et agira en sens contraire de l'influence exercée var la diminution du prix. Mais, dans la partie de la courbe située à droite, l'appréciation de la râleur de l'argent ne cesse d'être de moins en moins grande et change dans le même sens que le prie. On peut bien admettre que 1rs changements dans l'appréciation de la valeur de l'argent ne varieront que peu à peu et seront moins qu'inversement proportionnels aux modifications
le savons, le point maximum de toute courbe du prix et, en même temps, tout point de la courbe du maximum de satisfaction est situé d'autant plus à droite que le prix en question lgQà est moins élevé. De plus la courbe de Voffre et de la demande se dirige vers l'arrière asymptotiquement soit par rapport à Vaxe des Y soit aux intersections, présentées dans la figure 80 au moyen de lignes rouges striées, des deux plans asymptotiques verticaux avec Vhorizon ; en tout cas, la courbe a dans l'intervalle un maximum qui, nous l'avons déjà mentionné (§ 52), peut se trouver à droite ou à gauche du point 0. Nous pouvons enfin observer, que, si la mesure de la satisfaction se modifie et si, en conséquence, toutes les
de tg§«, près du maximum et dans les limites d'un taux modéré du prix et, par suite, des recettes. Tant que tel est le cas, la figure A correspond à la réalité. Ceci peut également être vrai de tout le tracé de la courbe, parce que les poiiits de même direction tangentielle et, en conséquence, le maximum se déplacent toujours plus vers la droite dans les courbes du prix consécutives. Mais, si par suite de prix élevés, tels que nous les avons représentés dans les parties supérieures des quarts I et IV, les recettes de l'individu dépassent une certaine mesure individuellement très différente, l'appréciation de la valeur de l'argent décroîtra peutêtre très brusquement, mais en tout cas plus vite qu'auparavant. Si Von
suit les prix décroissa7its et si -,-- se modifie de façon plus qu'inversement proportionnelle à tgQ„ , dans le quart de cercle 1 ^ . tgQ„ croîtra et ^ ■ diminuera. De même, dans le quart IV, où tgfta est négatif et augmente, si - ', décroît de façon plus qu'inversement proportionnelle, le produit "V . tgba diminuera et, avec lui, ■ ^ ■. Dans
ces deux cas les maxima des courbes successives du prix se porteront donc vers la gauche, et les courbes, et du maximum de satisfaction, et de l'offre et de la demande, s'infléchiront vers l'axe des Y et leur seront asymptotiques, comme le montre la figure B. De même que la figure 80, les figures 79 et 81 du texte, auxquelles l'hypothèse développée dans la figure a sert de base, doivent se modifier conformément à la figure B. Dans ce cas, on observe à un endroit de chacune des deux branches des
la même proportion, celte surface et. par suite, la courbe dans l'espace deviennent autres ; mais la courbe de l'offre et de la demande ne se modifie pas. Ce fait nous enlève toute possibilité d'obtenir de l'expérience une indication quelconque sur la mesure exacte des ordonnées verticales de la surface de satisfaction.
La projection de la courbe du maximum de satisfaction sur le plan XZ, dessinée en rouge dans la figure 79, a audessus du point 0 l'ordonnée z, ; à partir du point b elle est donc ascendante des deux côtés ; enfin, à droite et à gauche, elle se termine aux points finaux de la projection, sur le plan XZ, des asymptotes horizontales de toutes les courbes de la quantité. Mais la forme de cette courbe dans la figure 19
courbes un point d'inflexion auquel xa atteint un maximum. Il est naturel que ces points d'infle.rion ne puissent se trouver que dans les parties supérieures des quarts I et IV, c'est-à-dire quand de gros bénéfices ou de fortes recettes provenant de primes à la consommation peuvent amener la production a se raréfier ou la consommation à se restreindre. On en trouvera facilement des exemples dans les prestations des spécialistes éminents, que l'on peut considérer comme des articles uniques monopolisés, et aussi dans les services des Ouvriers qualifies, dont le remplacement serait difficile ou demanderait trop de temps. Il peut souvent aussi se faire qu'une courbe de cette sorte ne s'infléchisse pas, mais cesse quand les recettes ont atteint un certain chiffre. Remar~ quons en passant que, s'il ne s'agit pas de prestations individuelles, mais que le prix soit déterminé par une courbe totale, cette dernière ne s'infléchit vers l'axe des Y que si toutes les courbes individuelles le font, ce qui est le cas dans une coalition monopolistique , par exemple dans une grève. Si l'on combine en effet une courbe, si forte que soit son inflexion, avec d'autres courbes ilont une seule est analogue a celle de la figure A, la courbe totale s'infléchit bien, mais elle est asymptotique non pas à l'axe des Y. mais à la courbe individuelle non infléchie.
Il faut enfin observer <1ue, bien que les courbes du prix aient un tracé tel </ue la courbe dn maximum de satisfaction prend li forme delà figure 15, les autres courbes d'intersection subissent dn changements si faibles 'pie leur forme générale n'en est pas altérée et que, par suite, la nappe asymptotique qui enveloppe toutes les courbes d'intersection resle valable.
se modifie et se rapproche, dans son aspect changé par la projection, de la forme de la figure B, quand la courbe s'infléchit vers l'axe des Y, tandis que la nappe asymptotique, après comme avant, enveloppe les mêmes courbes d'intersection. La projection de la même courbe sur le plan YZ, représentée en rouge dans la figure 78, a son minimum à la bailleur z0 au-dessus du point 0 et se compose de deux parties constamment ascendantes. L'une d'elles se dirige d'abord en avant jusqu'à un point dont l'ordonnée borizontale est égale à l'ordonnée du point maximum de la courbe de l'offre et de la demande, puis elle s'infléchit et se dirige en arrière ; l'autre se trouve d'un bout à l'autre, derrière l'axe OZ ; les deux parties, qui peuvent aussi s'entrecouper dans certaines circonstances, sont finalement asymptotes par rapport à une ligne horizontale située dans le plan, horizontal qui limite, par le haut, la surface de satisfaction.
Par chaque point de la courbe du maximum de satisfaction, menons encore une droite parallèle au plan YZ et inclinée de 4o° par rapport à l'horizontale ; les points d'intersection de toutes ces lignes avec le plan horizontal nous donnent une courbe qui équivaut à une courbe de la jouissance dans la mesure où elle représente la satisfaction par sa distance, mesurée dans la direction de l'axe OY, par rapport à la courbe de l'offre et de la demande. Mais celte dernière courbe n'est pas en rapport de dérivation avec celle-là qui a pour ordonnées
xa . tgK -hF(xa. tgK), et dont la dérivée est
dF(xa, tgK) , \„ + dF(xa, tgda)-] dtgK
dF(x„, tgK)
d tgK J ' dxa
en considérant qu'ici le prix tgba est non pas une constante, mais une fonction de xa déterminée par la forme de la
courbe de l'offre et de la demande. lin vertu des équations (1 1 et i t-2 , l'expression précédente se change en
cfti i d .
tandis que, si la courbe de l'offre et de la demande avait un rapport de dérivation avec la courbe dont il est question en ce moment, la dérivée de celle-ci devrait être égale à tgQa.
Comme nous le voyons, tel ne serait le casque si -V- = i,
c'est-à-dire si la valeur de l'argent était appréciée de façon constante. Si nous avions adopté celte hypothèse, la surface de la satisfaction serait tout autre, et chaque courbe de la quantité serait une ligue absolument droite inclinée de 45° par rapport à l'horizontale. Nous aurions alors une surface cylindrique ayant la même inclinaison, limitée à droite et a gauche par les plans asymptotiques verticaux dont nous avons déjà parlé, tandis que disparaissent les limites de la satisfaction vers le haut et eu avant ; les intersections de tous les plans de la dépense et de tous les [dans horizontaux auraient toujours pour résultat la même courbe identique d'intersection. Nous obtiendrions aussi la même courbe si nous cherchions dans la nouvelle surface la courbe du maximum de satisfaction et si nous la projetions avec un angle de 45° sur l'horizon ou bien encore sur le plan XZ. Cette courbe, par rapport à laquelle, comme nous l'avons dit, la courbe de l'offre et de la demande serait en rapport de dérivation, n'est autre que la courbe de la jouissance dont nous avons parlé Appendice II, 2). Nous voyons donc que, pour construire cette courbe qui nous permet de représenter sur le plan la dépendance de la satisfaction à l'égard de la quantité xa , l'hypothèse de L'appréciation invariable de la valeur de l'argent est indispensable, mais aussi suffisante.
Si nous voulons ne pas perdre de vue que l'unité courante
de l'arlicle A ne pourrait être considérée comme infiniment petite, la surface de satisfaction se fractionne en une série de courbes de la quantité différant chacune d'une unité courante; chacune des autres courbes d'intersection se transforme ainsi en une série de points qui, mesurés dans la direction de l'axe OX, se suivent à la même distance. Parmi les séries de points situées dans les plans du prix, nous en trouverons beaucoup qui, après comme avant, comportent un point maximum unique, mais nous en rencontrons aussi qui ont deux points également élevés et plus hauts que tous les autres; chaque fois que cette dernière situation se présente, il y a deux quantités différentes d'achat ou de vente qui, au prix tg$a , procurent la même satisfaction, et cette satisfaction est supérieure à celle qui résulterait de n'importe quelle autre quantité. Tout prix de ce genre constitue donc un prix de transition d'une quantilé xa à une autre, différant dexa d'une ou plusieurs unités courantes. La courbe du maximum de satisfaction est décomposée en une série de fragments de courbe situés chacun dans une courbe de la quantité et, par suite, s'élevant vers l'arrière, qui sont séparés les uns des autres et liés les uns avec les autres au moyen de lignes intermédiaires, droites et horizontales ; la direction de chacune de ces droites représente un prix de transition. Ce n'est que dans l'axe OZt à la hauteur z0 au-dessus de l'horizon, que deux droites se touchent immédiatement; celle qui se dirige vers la droite donne le prix maximum d'achat et celle qui va à gauche représente le prix minimum de vente. La projection sur l'horizon de la courbe du maximum de satisfaction — la courbe de l'offre et de la demande — se compose donc seulement de fragments de rayons vecteurs et de droites intermédiaires, parallèles à l'axe OY. La projection à 45° — dont nous avons déjà parlé — de la courbe du maximum de satisfaction, semblable à une courbe de la jouissance, se compose également seulement de lignes droites, les unes parai-
lèles aux fragments de rayons vecteurs faisant partie de la courbe de l'offre et de la demande et de même longueur, les autres parallèles a l'axe OY ; celles-ci unissent les parties obliques qui, en général, ne sont pas en contact direct, et elles peuvent même les dépasser en arrière ou en avant ou encore des deux côtés.
Si A est un article à demande illimitée, par exemple une valeur à terme, les courbes de la dépense n'auront naturellement pas de maximum; elles ne cesseront de s'élever vers la droite et, en fin de compte, elles seront asymptotiques à des lignes horizontales, parallèles à l'axe OX. Ces horizontales forment une nappe d'asymptotes qui monte vers l'arrière et qui est elle-même asymptotique au plan qui contient les asymptotes horizontales de toutes les courbes de la quantité; en avant la nappe s'abaisse et finalement devient asymptotique à un plan vertical parallèle à l'axe OX. Ce plan vertical forme en même temps la limite asymptotique de la nappe constituée par les asymptotes verticales de toutes les courbes de la quantité; celte nappe ne contiendra donc que plus à gauche un plan asymptotique parallèle à l'axe OY. Aussi toute courbe horizontale se rapproche-t-elle asymptotiquement vers la droite d'une droite qui n'est pas parallèle à l'axe OY, mais qui est contenue dans la nappe horizontale d'asymptotes dont nous avons parlé. En outre, les courbes du prix ne se trouvent entre deux asymptotes verticales qu'aussi longtemps que le plan du prix coupe la nappe d'asymptotes non seulement à gauche, mais aussi a droite, aussi longtemps, par conséquent, que ZgO(1 > 0; mais si *g9„ < 0, la courbe du prix ne cesse de s'élever en allant vers la droite. Déjà la courbe du prix 0, qui est en même temps une courbe de la dépense, est constamment ascendante à droite, et finit par être asymptotique par rapport a une horizontale. Il en résulte que la courbe dans l'espace a un tracé tel que la courbe de l'offre et de la demande est limitée seulement ;i gauche par une Auspitz et Lieben. 22
asymptote parallèle à l'axe OY et qu'elle est asymptotique h droite à l'axe OX, après avoir atteint son point situé le plus en avant. Tout ce qui précède est également vrai si A est une obligation contractée par une autre personne et même une valeur quelconque; la surface de satisfaction s'interrompt alors à gauche avec un plan de quantité dont la distance du point 0 mesure le stock initial aa. La surface de satisfaction se termine également à droite avec un plan de la quantité, si A est la propre obligation contractée par l'individu considéré, et ce plan représente la somme ( — aa) des obligations de même nature déjà en circulation au début de l'année. Enfin, si A était un objet particulier, la surface de satisfaction ne comporte, avec l'ordonnée initiale zQ , qu'une seule courbe de la quantité ; cette courbe est à la distance 1 à droite du point 0, si l'objet A déjà existant ou qu'une autre personne doit fabriquer reste à acquérir ; elle est, par contre, à la même distance à gauche, si A fait déjà partie de la propriété initiale de l'individu ou s'il doit être produit par lui pour le compte d'autrui.
Nous voulons encore traiter le cas suivant : un individu n'a pas d'opinion déterminée sur le prix futur tgÇa de l'article unique A, de sorte que, si A est un article de consommation ou un article d'usage sujet à la détérioration, le maintien d'un stock final vendable sa est donc exclu. Nous avons alors à poser en général :
tgta = tgba + c ;
quand A est un titre portant intérêts, c désigne le revenu annuel; sinon c est nul. Mais de
z = «1* {xa, tgKa ; xb, tg'b ; . . . ; xn, tgKn ; t\)
les équations de condition (10) nous permettent d'éliminer ici encore les quantités xb . . . xn et, par suite, de poser
z==Fu(xa,tg)a);
de celle façon la condition du maximum de satisfaction est L'équation
dFJXg, tgK) = Q dxa
Ici Fu ) esl une fonction qui, à l'opposé de F{ ), esl indépendante de /;C niais dépendante de c, dans la mesure où c n'esl pas nul. Comme pour la fonction F( ), la dérivée
dFu(xa,tgOa)d<l( )d-H ) m
~~dx~n ~ dX„ " d-r
tandis que
dFu(xa, tgH„) dKj rftn
iZ/«m. -dtgïa Xa' d-n '
De plus, la satisfaction initiale Fu(0, tg<>a , comme auparavant F 0, tgQa , n'esl indépendante de tgQa que si l'individu ne possède aucun slock initial de A ; sinon il augmenterait et diminuerait avec tgBa. Pour obtenir d'une manière générale, qui comprend aussi le dernier cas envisagé, une représentation de la fonction Fu (xa, tg%a), nous supposons que tgXn prend successivement toules les valeurs entre — x et -h oo , et nous construisons, dans chaque cas, la surface de la satisfaction F(xa, tg<)a), différente pour chaque valeur de Puis, dans chacune de ces surfaces, nous cherchons la courbe du prix dans laquelle
tg§(, — tgÇa
et nous réunissons toutes les courbes du prix ainsi obtenues; les points les plus bauls de ces courbes donnent à nouveau la courbe du maximum de satisfaction, et leur projection sur le [dan horizontal représente la courbe de l'offre et de la demande valable dans le cas étudié.
On peut employer La même metho.lt' d'examen si l'individu, tout en n'ayant [tas une opinion déterminée sur le prix futur fgÇB , s'attend à ce quetgt, soil supérieure ou inférieure d'un certain montant au prix courant fgô«, qui
rencontre sa courbe de l'offre et de la demande. Il peut en être ainsi quand on s'attend à une élévation ou une diminution imminente des droits "de douane ou d'un autre événement suivi d'effets analogues. Si nous désignons encore par c le montant du changement de prix attendu, il faut tenir compte de ce fait que maintenant, dans les expressions données plus haut, c peut être négatif.
Si l'individu est en présence non pas d'un prix courant fixe, indépendant de sa propre influence, mais de l'offre et de la demande libres de tous les autres vendeurs et acheteurs de l'article A, il obtiendra le maximum de satisfaction en procédant comme monopoleur. Nous devons donc connaître l'offre et la demande libres et, par suite, le montant
W(xa),
que l'individu doit dépenser au minimum ou peut toucher au maximum pour toute quantité d'achat ou de vente xa de A. Si l'individu a une opinion déterminée sur le prix futur tgla , on a donc
z = 6 \ xM tgZa ; xb, l°:h ; . . .xH, tgÇn ; [t]a — W(xa)] j.
Mais, s'il croit seulement que l'année prochaine il pourra obtenir un prix tgla qui diffère du prix de l'année courante tg%a d'un montant c, on a
et la satisfaction est
* = * [ *., \j^- + c] ; xb, tg:b . . . xn, tgKn ; h« - W(xa)} {.
Les équations de condition (10) nous permettent d'obtenir dans les deux cas la satisfaction z comme une simple fonction de la quantité xa, seule variable, mais la forme de cette fonction dépend aussi de celle de la fonction W(xa). La valeur de xa pour laquelle la dérivée de cette nouvelle fonc-
LA SURFACE DE SATISFACTION 34 l
lion est mille donne le maximum de satisfaction, et cette quantité d'achat ou de veniez«, est ainsi lapins avantageuse au point de vue du monopole. Pour l'obtenir au moyen d'une figure, nous devons tout d'abord avoir une représentation graphique de la fonction W(xa). Nous l'avons d'ailleurs eue dans la dérivée E'OI' de la courbe ABX (flg. 68) du profit commun ; si celte dérivée était dentelée, seule la série de ses points effectifs (§ 79) représentait la fonction W (xa). Cette constatation reposait toutefois sur l'hypothèse à laquelle, auparavant, nous n'avions pas cessé de nous eu tenir, que l'appréciation individuelle de la valeur de l'argent est invariable non seulement pour l'individu considéré, mais encore pour tous les autres — bien que différente d'une personne à l'autre. Au contraire nous devons maintenant supposer établies pour chacun des autres individus une surface de la satisfaction relative à A et, par suite, une courbe du maximum de satisfaction, et combiner les projections horizontales de toutes ces courbes avec une courbe unique de l'offre et de la demande libres. Nous avons alors fait tourner cette dernière courbe de 180°, ce qui inscrit l'offre vers la droite et en avant, dans le plan horizontal de la surface de satisfaction de l'individu considéré ; elle donne la représentation de la fonction W(xa) ou bien immédiatement ou bien, si elle est dentelée, par la série des points terminaux postérieurs de ses fragments parallèles à l'axe OY . Le point de cette courbe ou de celte série le plus éloigné, dans le sens vertical, de la surface de satisfaction, désigne par son abscisse la quantité d'achat ou de vente la plus avantageuse pour notre individu au cas du monopole, et par son rayon vecteur le prix le plus favorable. Naturellement ce point n'est en aucune façon situé sur la courbe de l'offre et de la demande de l'individu dont il s'agit; cette courbe n'est valable que si celle personne a affaire à un prix courant tgBa indépendant de sa propre influence, hypothèse qui se vérifie toujours quand l'achat ou la vente de
l'individu ne forme qu'une faible fraction du débit total.
La représentation dans l'espace nous a permis de prendre en considération la dépendance de la satisfaction à l'égard de la quantité et du prix d'un article quelconque, tout en laissant de côté notre hypothèse antérieure d'une appréciation invariable de la valeur de l'argent. Mais nous avons dû continuer à admettre que l'individu sait toujours choisir la combinaison qui lui procure le maximum de satisfaction et que les prix de tous les autres articles ne subissent pas le contre-coup des variations de prix d'un article unique. Nous obtenons ainsi une courbe de l'offre et de la demande différente de celle que nous avons étudiée plus haut, mais en possédant toutes les propriétés caractéristiques. Nous n'avons plus ni courbe du coût et de l'utilité, ni courbe de la jouissance, mais la courbe du maximum de satisfaction et la surface de satisfaction nous offrent des perspectives sur toute une série de rapports différents.
