MÉMOIRE

Sup: le moui^ment des Projectiles dans tair^ en ayant égard à

leiir rotation ;

I41 à PAcadimia de§ SciencieSi le 5 mars i888«

. Pour déterminer le^ mouvement d'an corps solide entièrement libre 9 on le décompose en deux autres^ l'un de translation pour lequel on prend le mouvement du centre de gravité ^ l'autre de rotation autour de ce point, c'est-à-dire, autour d'un axe passant par ce point, qui change de direction à chaque instant, soit dans l'intérieur du mobile, soit daD3 Tespace, et qu'on appelle pour cette raison, Vaa^e instantané de rotation.

Les inconnues du problème sont alors les trois coordonnées du centre de gravité, et trois certains angles qui déterminent, sans au^^ cune ambiguité et de la x^anière la plus simple, la situation du mobile relativement à ce centre ^ d'apris les directions de ses trois aares principaux passant par ce même point. Ces trois angles et leurs difFé* rentielles par rapport au t^nps, déterminent aussi la direction de l'axe instantané, et la grandeur de la vitesse de rotation. Quand on a obtenu les expressions des six inconnues en fonctions du temps, le problème est complètement résolu ^ on en déduit ensuite , sji l'on veut et sans difficulté, les coordonnées d'un point déterminé de la masse ou de la surface du mobile, les composantes de sa. vitesse, les équations de la courbe qu'il décrit danà l'espace.

Les trois équations différentielles secondes du mouvement de translation se déduisent imnxédiatement du. principe que le centre de-^

jo SUR LE MOUTBKBMT

gravite se meut à chaque instant ^ comme si toutes les forces appliquées au mobile y étaient transportées parallèlement à leurs directions, et que la masse entière de ce corps y fïït concentrée. En même temps le corps tourne autour de ce points oomme sfil était fixe y et que les forces données , sans addition d'aucune autre , eussent conservé leurs points d'application ; mais la formation des équations différentielles du mouvement de rotation , a présenté autrefois beaucoup plus de difficulté. D'Alembert les a données le premier en 17497 Êuler a ensuite obtenu six équations différentielles du premiw ordre , entre les trois inconnues angulaires ift les trois coniposantes de la vitesse de rotation , et desquelles les trois éc^uations de d'Alembert , résultent par ^élimination de ces trois composantes ; Liagrange j dans les Mér a^oûrçs de Bwliui et dguas k Mécanique analytique j a déduit ces menées équations d'une analyse remanquabie par la symétrie des for-r m.ukfs qui résulte de l'emploi de neuf quantités, introduites par la transformation dea coordonnée» rectangulaires^ fonctions connues des trois angles ckés plus haut, et li^es- entre elles par Fun ou f autre dâ àewn systèmes de six équatioo& données; eaffin , dans meti Traité de Mécanique^ je suis parvenu, de la manière que je crois la plus simple,, aux équations difiërentielles du mouvement de rotatioa, sous Lai fonne oi^ Euler les a présentées», et qu^on leur a toujours con^ se^vée, ^Ën^ effet, trois de ces sirx équations sont indépendantes des forces qui eussent sur le mobile; leur fcnrm^tion est une simple questiou de Géométrie , et ce n'est que la formation des^ trois autres , qcù soit réelleuent un proMéme de mécanique. Or, j'en ai faâtdé^i^ perdre la solution , de ce * théorème facile à démontrer : Itt somme des m<«ients pris^ par rapport à un axe principal , passant ou neto par le centre de gravité, des quantités de mouvement dont tous les points du mobile sont animés- à un instant quelconqu€P , est égale au produit de la; vitesse angulaire de rotatien de ce corps autour de ee h>^me axe 9 et de son moment d'inertie par rapport à cette droite. iK Faxe demeurait parallèle à lui«méme pendant -la durée derin^nf suivant, pu formerait immédiatement l'équation du mouvement de rotation