DES PROJBCT1LB8 DANS L'AIR

on trouve d'abord

et l'on obtient ensuite

pour les limites de Y qui dépendent de <t9 ; puis

V > 0,7786, V <i,2253, pour celles qui se déduisent de 6.

On conclut de Fun ou Fautre de ces deux couples de limites, que quand on tire vers Vest ou vers Vouesty sous 1 angle de 4^ degrés, et à une distance du but d^environ 1200 mètres, la déviation sf droite, due au mouvement de la terre , doit être à peu près égale à un mètre ; en sorte que pour atteindre le but , il faudrait viser à gauche dans un plan qui ferait avec celui du vertical tangent au parallèle, un angle d'à peu près trois minutes, dont Farc répond à un 1200' du rayon.

Si Fon fait y= — i, dans l'expression de ^9, on en déduira

(rd=(o,oi368)cosC;

c'est-à-dire que le mouvement de la terre n'influe pas sensiblement sur la longueur du temps 9.

(19). Les élémens de Fintégrale double que renferme Fexpression de y n'ayant pas le même signe dans toute Fétendue des intégrations , on ne peut pas en déterminer des limites , comme nous venons de le faire pour Fintégrale conteque dans Y. Mais dans l'exemple que nous avons choisi , on a

A = 5,72715 et pour cette valeur de h , celle de V peut être réduite en série couver-

6^ SUR LB MOUVnCBIIT

gente , ordonnée suivant les puissances descendantes de A: ^ demi ii suffira^ dans la question qui nous occupe, de consenrer les deux premiers termes.

En faisant , pour abréger^

on aura, de cette manière'.

f:'¥=7tf:'**^if:^-

ra^is Qji a identiquement

en faisant aosai poor abréger.

« >/rqp7 4- log <«* -H vr+T»)«*,

et intégrant par partie, on anra donc , à cause de

il en résultera

Noas aurons ensuite

DES PROJ1ICT1LB8 DANS :[i'AIR. 65

r-À^nT)-- -ànf'-. (---p') ^-i^ji. (—''•) ?*

La valeur de V, déduite de l'ëquation (ri), ne différera de ^ que d'une quantité de Tordre de petitesse de ^ ; au degré d'approximation où

nous nous arrêtons y on pourra donc faire c/ :=s €û dans les termes

de cette équation qui ont A* \/k pour diviseur ; les deux dernières intégrales que son second membre renferme , se réduiront alojrs à zéro y comme étant composées d'éléments qui sont deux à deux égaux et de signes contraires ; et quant à la première , on aura

ou simplement

en observant que l'intégrale y * («• — /?*) dp se réduit aussi à zéro^ Jorsque Von néglige le carré do »' — ^* On aura donc

-pour la valeur approchée dé l'intégrale double. Dans le €as de ^e = 4^^ et 6^ = i.^ on aura

parce qu'il s'agit d'un logaritlime népérien que l'on doit multiplier par 2,3o26 pour le convertir en logarithme ordinaire. En faisant

06 SUR LB MOUVBHSMT

uaige, en outre, de la valeur de k citée plus haut, ou trouvera

Au moyen dB cette valeur et de celles de ti, y, c, g, du numéro

précédent 9 on trouvera

ce qui montre que la déviation A ne varie pas beaucoup, lorsque le tir a lieu successivement dans différents plans verticaux. On aura, en même temps ,

JW = — (0,2219) cosC;

en sorte que l'influence du mouvement de la terre sur la longueur de la portée, ne sera que d'à peu près un double décimètre dans son maximum.

(20). En général, lorsqu'il s'agit d'un projectile dont le poids et le diamètre sont considérables , et que l'angle du tir n'est pas très petit , ni la vitesse de projection très grande , la constante k est très grande , et le mouvement diffère peu de celui qui aurait lieu dans le vide; c'est pourquoi , il ne sera pas inutile de considérer le cas où la résistance de l'air serait tout-à-fait nulle.

Faisons donc c=sOj dans les équations (A); elles se changeront en des équations linéaires et à coefficients constants que Ton pourrait intégrer sous forme finie, par la méthode ordinaire; mais en continuant de négliger , comme dans le n^ 1 1 , le carré de n , les valeurs appro-^ chées de u, (^, z, qui y satisferont, et qui rempliront les conditions initiales du mouvement , seront

u = ta cma — nt^ (a sin a — i gtjcos C cos>,

u = — na(^ cos a sin 7 + nt^ (a sin * — ^ gi\ sin € cos y,

jj ' =» to sin fli — * gff" H- nf^ a cosit cos € cosy.

DBS PR0»CTILK8. DAMS L*AIR. JS7

On «lira, «n même temps,

^== a» — tïgta sin * -t- ^i* ,

pour le oaraé 4e la ^ifease k nn instamt queloonqlie^- qui lie d^aeiiidra pes de n^ Jia degrrf d'appipocimation où nous nous arrétoiùi. . £n coneervant tootet 1» Botaftions prtfoëddntes ^ on anni d'abàrd

abstraction faite de n^ et ensuite ^ en y ayant ^ard^

SUIfl*

i^ == -— . sin ae^ cos € ces 7 9

i#ir= i^ sinacos^«cos^co$7 — ^-j- sra^«cos£ cos>;

et si l'on observe q«é kt dëriatioii dëst^pnfo par èl^ n'est autre chose que la valeur de y qui répond à z^==^o^oxi aura aussi

-j- sin^ « cos ttsin y -h -^ sin ^ « sm C cos>-

Dans l'exemple du n^ iS^ où Tangle du tir était de 4^^> et la vitesse d'à peu près i ao mètres , on trouvera

en prenant la seconde et le mètre pour unités j et si l'on compare ces valeurs à celles que Lombard a calculées , on voit que la résistance de l'air avait diminué le temps du trajet , d'un peu plus d'une seconde, et la portée, d'à peu près le cinquième de sa grandeur dans le vide. On aurait , en outre ,

^0 =sr (0,014^6) cos C, J#9 =3 (o,8o36) cos é, A c= — 1,3788 -4- (o,8o36) sin é^

en sarte que dans le vide comme dans l'air^ ce serait par ladëviation horizontale du projectile , que l'influence du raouviement de la terre se manifesterait principalement.

Pour c=o, on a P^== œ ; ce qui rend les deux limites de Y qui dépendent de P^^égalesàzëroet Fi nfinî, et par conséquent illusoires. Celles qui sont indépendantes de c, conviennent paiement au cas du mouvement dans l'air et à celui du mouvement dans le vide. En y substituant les valeurs de ntt et de Q qui conviennent à ce dernier cas, ces deux limites deviennent égales entre elles , et au premier terme de la valeur, précédente de Â, abstraction faite du signe.

Fautes à

dans le présent Mémoire

Page i", ligne 4» ou lieu de i4 noyembre» /iwez 1 3 novembre

a, ai , ou lieu de neuf quarantièmes , Use» neuf vingtièmes

7 , if ^^ remontant , on lieu de- un et trois , Usez un et deux.