DES PROJECT [LES DANS L'AIU
qui s'y rajpporte^ en égalant la dtffiirentîelle de ce produit à Taocrois» sèment de cette somme de moments pendant cet instant, et rempla^çant cet accroisaement inconnu par une autre quantitë qui liai fût équivalente d'après le principe général de Téquilibre des quantités de mouvement perdues ; laquelle quantité ^ quand Faae principal pasee par le centre de gravité, est réiement du temps multiplie par la somme des! moments , par rapport à cette droite , des forces motrices données , qui sont appliquées au mobile et qui produisent seules , comme on vient de le dire, la rotation autour de ee point. Mais cet axe, fixe dans l'intérieur du mobile, changeant continuellement de direction dans l'espace , cette varkltion , pendant un instant infiniment petit , introduit dans le premier nombre de Féqisation différentielle, un terme qui la complète et que Ton^détermine facilement. Au lieu d'un corps solide, s'ïï s'agissait d'un* système de forme Ta-^ riable, les raisonnements que nous rappelons subsisteraient également; mais le moment d'inertie relatif à l'axe principal , varierait pendant l'instant que l'on considère , et il en résulterait encore un autre terme dans le premier in^nbre de Téquation difiiérentielle. Par cette consi* dération que je me borne maintenant à indiquer, on formera pour un système quelconque de points matérids, des équations analogues à celles du mouvement de rotation d'un corpe^ solide , que Ton com-* binera comme celle&-<:i , avec les éqttations du mouvement du centre de gravité , et qui s'appliqueront , pai^ exemple , au mouvement de la Teri^, en ayant égard à la fluidité d'une partie de sa masse.
Dans l'état actuel de là science, les équaticms' différentielles des mouvements siniultanés de translatioti et de rotation d'un corps entièrement libre, ne laissent donc rien à désirer, quant à leur formation , soins le double rapport de la généralité et de la simplicité. Mais il n'en est pas de même en ce qui concerne leur intégration et la solution des problèmes qui en dépendent. Lorsque la résultante de toutes les forces motrices qui agissent sur le mobile, passe constamment par son centre de gravité , le mouvement de rotation autour de ce point est le même que si ces forces n'existaient pas, et que le corps,
^a sua LJS MOUVISMENT
mis d'abord en mouvement par une ou plusieurs impulsions^ eût ensuite ëté abandonne à lui-même. Dans ce cas on parvient à intégrer sous forme finie 9 les équations différentielles de ce mouvement, au moyen de deux fonctions elliptiques d'espèces différentes. Dans les autres cas, les deux mouvements simultanés influent mutuellennent Tun sur l'autre j chacune de leurs six équations différentieUes secondes renferme à la fois les trois inconnues angulaires et les trois coordon-^ nées du centre de gravité; et ce système d'équations ne peut plus s'intégrer que par les méthodes d'approximation. C'est de cette manière que d'Alembert a résolu le problème de la 'précession des èquU noxesy et déterminé les lois véritables de l'inégalité de ce mouvement, quon appelle la nutation. Le problème de la libration de la Lune, analogue à celui de la précession, présentait des difficultés spéciales que Lagrang^ a surmontées dans un de ses plus beaux ouvrages, au moyen d'une transformation des inconnues, qui a rendu linéaires et à coefficients constants, les équations de la libration vraie en latitude, et qui lui a permis den déduire les lois remarquables de ce mouvenaent , découvertes autrefois par Dominique Gassini. J'ai appliqué cette même transformation à un cas de la précession des équinoxes oii la rotation du sphéroïde serait nulle ou très lente; ce qui n'est pas le cas de la nature, et ne prés^ite plus alors qu'un ex:emple curieux du mouvement d'un corps solide. Le changement des inconnues rend encore linéaires les équations différentielles du mouvement; mais leurs coefficients n'étant plua constants ^ elles ne peuvent plus s'intégrer par la méthode générale, et ce n'est qu'à raison d'une circonstance très particulière., qu'elles sont néanmoins intégra-bles sous forme finie, ainsi que je l'ai trouvé dans un précédent Mé^ moire (^). Dans celui-ci , je me propose d'appliquer les équations différentielles du double mouvement d'un corps solide, à des exemples qui n'avaient pas enoore été considérés; et quoique ces nouvelles questions soient principalement relatives aux projectiles de l'artillerie.
(*) Tome 2JV des Mémoires de r Académie,
DES PROJECTILES DANS L'AIR. yS
je crois pouvoir espërer que. leur solution intéressera les gëotiiètres, sous le rapport du calcul intëgral et sous celui de la mécanique gëiiëk*ale.
Lorsqu'un corps parfaitement sphérique et homogène, est lance sans aucune rotation initiale , dans un air calme, son centre de figure ne sort pas du plan vertical de sa projection , abstractioti faite , toutefois , de la petite déviation due au mouvement de la terre et que j'ai considérée dans un autre Mémoire. Tout, eif effet, est semblable alors de part et d'autre de ce plan; mais dans la pratique de Tartillerie, le concours des circonstances qui produit cette similitude n'a jamais lieu, et il en résulte des écarts considérables du projectile, à droite ou à gauche du plan de projection, qui nuisent à la justesse du tir et u'obt pas manqué d'être observés.
Robins , à qui l'on doit l'invention du pendule balistique j attribue ces écarts , dans ses Principes dartiUerie^ qu'Euler et Lombard ont commentés, à la rotation du projectile qui accompagne, en général, son mouvement de translation. Euler pense, au contraire, que la rotation tie doit atoir aucune influencé sensible sur ce mOuvement, non plus que' la non-sphéricité parfaite du projectile, et (pie les déviations observées sont dues uniquement à ce que , par un défaut d'homogénéité de ce corps , le centre de gravité ne coïncide pas exactement avec le centre de figure. Lombard, professeur dont le nom s'est conservé dans les écoles d'artillerie, partage l'opinion de Robins snr Pinfluence de la rotation , sans se prononcer positivement en ce qui concerne les influences, plus ou moins grandes, de la non-sphéricité et dé la non-homogénéité. Ces deux circonstances , et la rotation en tant qu'elle donne lieu à un frottement du mobile contre Pair quMl traverse, sont effectivement les diverses causes qui concourent , indépendamment des agitations de l'air, à produire les déviations horizontales du centre de gravité, et à modifier son mouvemttkl projeté sur le plan vertical dans lequel il a été lancé. Mais, déterminer k part de chacune de ces causes possibles, et quels sont leurs effets respectifs, c'est une questioii qui ne peut être résolue que
lO
par le calcul fonde sur les équations différentielles du double mouvement de translation et de rotation.
Pour appliquer ces équations au cas d'un projectile pesant qui se meut dans l'air^ j'ai d'abord supp(bsë à ce corps une figure et un double mouvement quelconques ^ et j'ai formé les expressions générales de leurs seconds membres ^ en considérant la résistance relative à cbaque point, de la surface du mobile ^ comme étant composée de deux parties , Tune normale et qu'on appelle la résistance du fluide proprement dite , l'autre tangente et qui constitue le frottement. A l'égard de la première , qui s'exerce seulement sur la portion antérieure du projectile, j'ai admis l'hypotbèse ordinaire dans laquelle on prend , pour la mesure de œtte force en chaque point y le produit de la densité naturelle du fluide et du carré de la vitesse complète de ce point , dans le sens normal à la surface : cette vitesse complète est celle qui i^ésulte des deux mouvements simultanés du mobile ^ sa composante normale est dirigée du dedans en dehors , dans la portion antérieure de ce corps 9 et du dehors en dedans , dans sa portion postérieure; elle est nulle en tous les points de leur ligne de séparation ^ qui peut être constante ou variable sur la surface. Quant à la seconde , on admet comme un résultat de l'expérience , que le frottement d!un liquide contre un solide , est indépendant de la pression exercée par le liquide sur le solide 9 et proportionnel à la vitesse relative de ces deux corps , lorsqu'ils sont l'un et l'autre en mouvement; or, pour étendre cette mesure du frottement au cas où le liquide est remplacé par Vair^ j'ai supposé qu'elle était, en outre, proportionnelle à la densité de ce fluide en chacun des points où il touche le solide; et comme, dans la question du mouvement des projectiles, on fait abstraction de celui que le mobile imprime à l'air qu'il traverse, il s'ensuit que le frottement , en chaque point de ce corps , est proportionnel , d'une part , à la composante de la vitesse complète de ce point, tangente à la surface, et d'un autre côté, à la densité de l'air qui a lieu en ce même point. On peut, d'ailleurs, regarder l'expression de cette densité comme étant composée de deux termes , l'un constant et égal à la densité
DBS ]^ROJECTILB8 DANS L'AIR. ^5
naturelle du fluide, Pautre variable d'un pointa un autre , positif en avant du projectile où Fair est condense, négatif en arrière où Tair est dilaté. Ce second terme nous est inconnu^ et sa détermination serait aussi difficile que celle du mouvement du fluide. Je l'ai supposé en un point quelconque de la surface du mobile, proportionnel à la densité naturelle du fluide et à la composante normale de la vitesse complète de ce point j ce qui était l'hypothèse la plus simple que l'on pouvait faire , et qui se présentait le plus naturellement. De cette manière, l'expression du frottement de l'air se compose aussi de deux termes, dont Tun aurait lien dans Tétat naturel du fluide et Tautre provient de ses condensations^ ou dilatations produites par le mouvement de translation du projectile. Chacun de ces deux termes contient un coefficient numérique , qui dépend sans doute du degpé de poli du mobile , et ne saurait être déterminé que par l'expérience , pour fthaque corps en particulier. Dans les très petites oscillations du pendule dont les amplitudes successives décroissent en progression géomé-* trique (i), c'est le premier ternie du frottement qui produit ce décroissemebt , et le coefficient de ce terme peut j en conséquence, se conclure du rapport de cette progression, donné par l'observation. A l'égard du coefficient du second terme, il n'a été fait, jusqu'à présent, aucune expérience d'où l'on puisse déduire sa valeur.
Les équations différentielles des deux mouvements simultanés d'un projectile de figure quelconque , formées par ces diverses considérations, sont beaucoup trop compliquées pour qu'il soit possible d'en obtenir les intégrales exactes, ni même pour qu'on puisse en déduire des valeurs approchées des inconnues, assez simples pour être de quelque utilité. J'en ai donc restreint la généralité > en les appliquant particulièrement au cas où le mobile s'écarte très peu de la forme sphérique et de la parfaite homogénéité. De plus, afin de connattre les effets respectifs des trois causes que Ton vient d'indiquer, le frottement contre l'air
O Voyez moà Traité de Mécanique, Tpme I**, page 35a.
lO..
76 8U& L£ MOUVAMaNT*
sauf 4 xiéunir ensuite ces effets distiiicts , si leun caoaeis ont toutes eu Ueu eu même temps. MaÎA li^ Ipogueur d« ce Mémoire m'a forcé de recLvpyer à un autre » Tes^^nien de ce. qui cooceroela troisième cause. Voici y dV^i^ mai»i^re succincte ^ les résultais du. calcul qui se rappor-* tent axix deux piçemièresl
Qi\a^d UI3L .lM>^l^t .parfaitement sphérique et hoNpogèi^e tourne ea {portant de la pièce autour de l'un de ses diamètres ^ ce mouven^ot con tique pendant to^te la durée du trajet dans le nsiéme aens et autour dç ceni4Kn6 diamètre qui reste aussi constamment parallèle à lui-méuM; mai&« à raisoa du frottement de l'air et indàMndamment de la résî^
taujce proprement due du; fluide, la vitesse de rotation décroît conuti-* nueljl/ement ^n progr^s^fion géométrique pour des intervallea de temps égaux^Xa rapidité de ce.décroissement diminue ou augmente 9 selon que le produit du dia^jàtre et de Ia densité du projectile augmente ou diminue y elle dép^nd^ aij^ du <x>eiBcient du premier lernM dan» rexpr.e$$iop du frottements et il résuUe de la valeur de ce nombre , déduite, des tr^ petites oscillationa d'un pendule. à boule de platin», queja vitesse de rotatju^o^d'u^. boulet de qjuatre, dont la surface aurait le même degré 4^ poli que. ce métal 9 décroîtrait à peine d'ua àx%r. millième de sa grandeur en tiQC seconder
Tandis qu^ le mouvement de translation du boulet n'influe pas sur la rotaMpn^. cdifi-ci^ au contraire, influe sur la . direction et la portée dtt projectile.. La, déviation horizontale qufella produit à droite ou à gauche du plan vertical de projection ^ a lieu du môUM coté pendaut tout^ la durée dja trajet et est indépendante. de l'anglo^que fait ce plfiu.avec le plan vertical de l'aM de. mtatîon. Lorsqiue le corps tourne autour d'un^^ajuB vertical ,^ la déviatîon>se.prodait à gauche ou à droite du plan de projection , selon que rhémisphère antérieur du mobile tourne de gau^she à droite ou de 1 droite à gauche , par» rapporta une personne placée dans ce plan et qui regarde la trajectoire; elle s'évanouit quand le projectile tourne autour d'un axe horizontal. La déviation verticale , c'estrà^rdire, la quantité dontla rotatioa. élève ou
àlNiîdse le boulet ^ telati'?em^t?Â' la position <{uH aurait à cbaqts^ instant s^il ne tournait phs^ coneenre, penâatit toute la diir^ du trajet , un rërpport constant avec la déviation horizontale; elle s évanouit, soit quand les plans velticaux de k ligne* du tir et de l'axe de rotation font un angle droit, soit quand cet axe est vertical ; lorsqu'il es* horizontal et perpendicttkire au plan de projection , Yetk^ de cette- déviation yerticàle est d'élever ou abaisser le projectile , et , en oonsëqnence, d'augmenter eu dimiiiuev la portée horizontale, selon que la pi^rtie antérieure du mobile tourne da haut vers le bas ou du bas vers le haut. Ces résultats se rapportent au cas le plus ordinaire, celui du tir à très peu près horizontal; j'ai aussi considéré le cas où le mobile est projeté verticalement ^ dans le sens de la pesanteur ou en sens contraire; les formules auxquelles je suis, parvenu comprennent toutes les cir^ constances du double mouvement du projectile; indépepdamnient du coefficient de la résistanceproprenient dite, sur lequel il rei^te encore quelque incertitude y elles renferment aussi les coefficients des deux termes du frottement; et faute des données nécessaires de rci^servatioo ^ elles ne peuvent, par conséquent, être réduites en nombres. Néanmoins, d'après la composition de la formule qui exprime la déviation horizontale à la distance du canon où le boulet retombe sur le terrain ^ on reconnaît façilemeikt que cette déviation ne peut jamais être qu'une très petite fraction de la longueur de la portée; en sorte <^e ce n'est pas au frottement dé k surface du boulet contre la couche d'air adjacente et d'inégale densité, que sont dues principalement les déviations observées , ainsi que Robins^ et Lombard lavaient pensé;
Pour montrer les effet$ de. la non-sphéricité du projectile, j'aiconsidéré spécialement le tir de la,. carabine rayée en hélices,, et j'ai supposé la balle homogène, niais. un peu aplatie ou allongée dans le sens de la direction du tir. Les hélices impriment à la balle^ au sortir: de l'arme, une rotation très rapide autour d'un axe qui s'écarte très peu de l'axe de figure; le petit angle compris entre ces deux axes, provient de ce que le second ne coïncidait pas exactement avec l'iaxe des hélices, dans l'intérieur de la carabine. La vitesse de rotation.
78 3UR liE MOUVEMENT
est en raison inverse de la partie de ce dernier axe , qui répondrait à un tour entier des hélices prolongées s'il est nécessaire j et en raison directe de la vitesse de .projection : dans une série d'épreuves £siites par les officiers d'artillerie y sous la direction de M. le lieutenanticolonel de Poncharra , et dont les résultats ni'ont été communiqués , cette longueur daxe était de ÇT^^xiQ^^ la vitesse initiale de 384 mètres par seconde, et, en conséquence, la vitesse angulaire de rotation
s'élevait à g-^ de 36o^, ou à 6f tours et demi dans cette unité de
temps. Elle demeure constante pendant toute la durée du trajet \ mais elle a lieu autour d'un axe qui change continuellement de direc-tion, soit dans Tespace soit dans Fintérieur du mobile. Toutefois, dans le tir de la carabine , supposé à peu près horizontal , ce changement de l'axe de rotation est peu considérable; l'axe instantané s'écarte toujours très peu de l'axe de figure, et celui-ci s'éloigne aussi fort peu de la direction du tir, d'où il résulte que c'est par la partie antérieure , marquée d'avance , que la balle vient frapper une cible verticale , ainsi qu on le sait par une expérience souvent répétée. Les lois des petites variations de ces deux axes dépendent du système de quatre équations difiérentielles du premier ordre, linéaires, mais dont les coefficients ne sont pas constants, ce qui n'empêche pas, cependant, qu'on ne parvienne à les intégrer sous forme finie. Elles sont généralement assez compliquées , mais elles deviennent très simples , quand ces deux axes ont coïncidé exactement , à l'origine du mouvement , ensemble et avec la direction initiale du centre de la balle. Dans ce cas particulier. Taxe instantané fait dans l'intérieur du mobile, des oscillations très rapides dont l'amplitude est en raison inverse du carré de la vitesse angulaire de rotation , et diminue continuellement pendant la durée du trajet ; les déplacements de l'axe de figure sont plus lents : quand la balle tourne avec une extrême rapidité, il décrit d'un mouvement qui n'est pas uniforme comme cettje rotation , un cône droit ^ dont le sommet est au centre de gravité, l'axe horizontal , et la demiouverture égale à l'angle du tir. La vitesse de ce mouvement , (onte^
DES PROJBCTfLBS DAKS L'AIR. jg
Choses (Taillears égales, est proportionnelle au degré d'aplatnsement ou d'allongement de. la balle : dans les épreuves que je yiens de citer, où la plus petite dimension du projectile était moindre que la dimension moyenne, d'à peu près un on zième. de celle-ci , le maximum àé cette vitesse , qui a lieu quand le mouvement commence , a dû être environ moitié de la vitesse de rotation.
Ces déplacements simultanés des axes de -figure et de rotation, qui proviennent de la non-sphéricité du projectile , ont néanmoins , quoique fort petits, une influence considérable, sur le mouvement de translation ; ce qui est contraire à l'opinion d'Euler, citée plus haut , et suffirait pour montrer combien les questions relatives au double mouvement des corps solides , sont loin de pouvoir se résoudre sans le secours de l'analyse mathématique : on pourra, en effet , comparer les raisonnements plus ou moins spécieux d'Euler même , dans ses remarques sur la 46^ proposition du livre de Robins , aux résultats précis de lanalyse en cette matière. Le calcul fait voir que dans le tir de la carabine rayée en hélices , les déviations horizontale et verticale du mouvement de translation , résultantes de la forme de la balle , sont de deux sortes qu'il importe de distinguer et qui se trouvent* heu-^ reusement séparées dans les formules. Les unes proviennent de ce qu'à l'origine du mouvement , l'axe de figure et l'axe de rotation s'écartaient un tant soit peu , par une cause quelconque , de la ligne du tir. Ces écarts accidentels ont lieu tantôt dans un sens et tantôt dans un autre ; leurs effets se confondent avec ceux qui résultent du degré d'adresse, plus ou moins grand, du soldat; ils influent sur la justesse du tir à chaque coup j mais ils se balancent dans une longue série d'épreuves, et n'influent pas sur les déviations moyennes. Abstraction faite de .ces causes variables , la forme allongée ou aplatie de la balle , tournant sur ellermême , donne aussi lieu à des déviations, mais dans un sens déterminé et qui se reproduisent à tous les coups; c'est à cette cause constante que les déviations moyennes doivent être attribuées , quand le projectile est homogène et l'air calme, comme on le suppose ici. S^n ^etest de diminuer ou d'augmenter la portée, ou, ce qui
50 SUR I<B MOUWMfiKT
est Uméoié dMse^ d'âugoie&ter au d6 diminuer, pour une portée de iMigueur donnée, l'angle du tir coi-respondâut à des vitesses de pro* jection et dé rotation aussi données. L'angle du tir ayant été ealculé à priori ^ ou déterminé par rexpérience , il faut ^ pour approcher da- Tantage dans une longue série d'^yreuves, de la verticale menée par le centre de la cible , tirer sous cet angle en visant un peu à droite ou un peu k ganche , selon le sens de la rotation , et k une distance de cette ligne calculée d'avance. Dans les ^reuTes citées plus haut, cette distance horizontale a eu lieu k la gauche ou ii la droite du soldat , selon que la partie supérieure de la balle tournait de gauche à droite ou de droite à ^uche , et elle a dû s'élever à quelques millimètres seulement pour une portée de a5o mètres; mais elle pourrait être moins petite dans d'autres cas. L'équation qui sert à déterminer Tangle du tir, fait voir qu'il n'est pas le même , quand la balle est aplatie , et loi'squ'elle est allongée ; résultat inàporttnt pour la pratique , qui se trouve confirmé par ces mêmes preuves* En eflfet , la moyenne d'un très grand tiombre de coups ^ tirés' avec des balles aplaties , ajant donné 6si^3o'^ pobr l'angle du tir, k a6o mètres de distance de la cible, on a tiré ensuite , k cette même distance et sous ce même angle , avec de pareilles balles et avec des balles allongées. Or, avec des balles aplaties, Ou a atteint le plan de la cible, de deux mètres de hauteur et deux tiers de mètres de largeur , quatre^vingt*sept fois sur cent , et avec des balles allongées, seulement quarante^néuf fois; ce qui montre que« l'aûgle du tir déterminé pour une Ibrme de la balle ne convient pas pour une autre. Il ne fiiudrait pM conclure , en effet , de cette expérience, que la balle aplatie fût la plus avantageuse; car si l'on tirait, sous l'angle déterminé pour la balle allongée^ avec des balles de cette forme et avec des balles aplaties , ce serait , au contraire , les premières qui auraient l'avantage. Observons , d'ailleurs , que dans notre exemple, l'angle du tir ealculé pour les balles aplaties, est égal à Sg'3cl[ ; ce qui ne s'éoarte du résultat de l'expérience , que de 3^ ^ différence que l'on peut attribuer, sana scrupule, aux erreurs inévitables dans ce genre d'^Mervations ^ et aussi ^u degré d'appimiâiAtioii
DES PROJECTILES Ï>ANS L'AIR. 8t
du calcul^ qui suppose que Fou néglige le carre de la fraction, un onzième, relative à Taplatissemea t. Enfin, dans cjb même exemple, on trouve une seconde et un quart pour la durëe du trajet de 25o mètres; ce que je n'ai pas pu vérifier par l'expérience , attendu que ce temps n'a pas été observé : toutes choses d'ailleurs égales , ce temps ne serait que d'à peu près une seconde , et l'angle du tir de 54^ , si la balle était parfaitement ronde ^ valeurs plus petites que pour une balle aplatie dans le sens du mouvement , parce que Tair oppose à celle-ci une plus grande résistance qu'à la balle ronde , et , par conséquent, ralentit davantage sa vitesse.
^ I. Equations différentielles du double mouvement de translation
et de rotation du projectile. j
(i). En supposant au mobile une forme et des dimensions quelconques, on désignera par la lettre G son centre de gravité, et au bout du' temps f, écoulé depuis l'origine du mouvement, on représentera par x^y ^ z^ les trois coordonnées rectangulaires de ce point G, rapportées à des axes fixes Oj?, Oy^ Oz. Leur origine O sera le point de départ de G, et Taxe Oz, vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur , ce qui rendra horizontal le plan des x et y. On supposera que le plan vertical des x et z, comprenne la direction initiale du mouvement de G , et que l'axe Ox soit dirigé du côté de ce mouvement; Taxe Oy sera dirigé d'un côté ou de l'autre du plan des X et z ; pour fixer les idées, on supposera que ce soit à gauche d'une personne placée au point O et tournée vers l'axe Oj: : c'est toujours relativement à cette personne que se rapporteront , par. la suite , les mots gauche et droite.
De cette manière, la variable z aura une valeur positive ou néga« tive; selon que le centre G se sera élevé ou abaissé par rapport au plan horizontal, passant par son point de départ. La variable x sera
8) BVR IiE HOUVBÎfrafT
toujours posiitiveiy à iBoins que la direction ioitiaJe de G 6 écartant fort peu de OiC , le poittt Qr ne puifiae passer dW ciâté A lautre de cette droite > par Teffet de la résistance d£ i air^ exercée a la surface du moibile , et comprenant la résistance proprement dite et le frottement eonire ce Auide^ La variable / passera dji positif au a^^if, lorsque le centre G, par suite da cette résistance ou de ce frottement, passera de gauche à droite du plan fixe des xet z-^et généralement , cette troisième coordonnée y sera tràs petite , relativement à ;r ou à z« Par la point G, mienons les trois demi^^axes principaux G^^, G^^, Gz^y qui se coupent en ce point , «t trois autras droites Gxy Gjr^ Gz, parallèles aux axes des x ^ y^ s, et dirigées dans le même sens. Soit aussi GL, une des deux parties 9 choisie arbitrairement , de Tintersection du plan mobile de Gx^ et Gy^ j avec le plan horizontal , mené par le point G. Au bout du temps i, faisons
LGx = 4 5 LGar, = ^, jsGjs^ = 9;
de sorte que 4^ f^^y soient les trois angles variables que Ton a cou* tume d'employer pour déterminer à chaque instant les trois drqites GoT/i Gy^j Gf,y fixes dans l'intérieur d'un mobile , et rencontrant constamment sa surface au« mêmes points.
Les angles 4 ^t f pourront croître indéfiniment ^ en plus ou en moins pendant le mouvement ; mais en 7 supprimant à un instant donné les multiples de 36o^ que leurs valeurs renfermeront, nous siipposerons quon les réduise à des angles positifs et moindres que 36o°. L'angle 6 sera positif et pourra seulement s'étendre depuis zéro jusqua 180''; qu il soit aigu ou obtus , cet angle 9 pourra être égal à l'angle dièdre 1 formé des deux angles plans 4 ^t 9 9 ou bien à son supplément, selon que Ton prendra pour G^,, l'une ou Fautre des deux parties de la normale au plan de Gx, et Gr^^ ; on supposera que ce soit le premier cas qui ait lieu, ce qui déterminera pour toute la durée du mouvement, celle de ces deux parties qui sera prise pour Gz,. Pendant cette durée , le demi-axe Gz, se trouvera au-dessus ou
DBS VnOJfiCTILBS DANS L'AIR. 8S
aondeamua du plan horizontal de Gx et G^y saiTant qpie ^ sera aîgn ou obtus. Quant au sens dans lequel lea angles 4 ^ ^ seitwt comp* tes, nous conviendrons de porter Tangle 4 ^ partir de CfX y vers le prolongement de Gy y ou de gauche à droite, de manière que la ligne GL,* à laquelle il abouftit, coïncide, par exemple, avec Gjr, avec le prolongement de (^, avec celui de Go:, avec G^, lorsque langle 4 ^era zéro, 90^, 180^, 270^. Ensuite, nous porterons d abord dans, le plan horizontal , langle ^ à partir de GL et vers Ga:'; puis nous ferons tourner cet angle autour de son côté GL , en 1 élevant audessus du plan horizontal , jusqu^à ce que l'angle dièdre , formé de ^ et 4> soit devenu égal à 0; la position de la droite G:r^, à laquelle aboutit l'angle ç, sera alors déterminée dans le plan incliné: Gx^ tombera au-dessus ou au-dessous du plan horizontal , selon qu'on aura f < 180^ ou ^ >* 180^, et sur GL pu sur son prolongement dans les cas de ^ = o et 9=^ i8o^. Les valeurs initiales et données de 4 ^^ ^ détennineront la partie de l'intersection du plan incliné et du plan horizontal , que l'ou prendra pour la droite GL pendant toute la durée du mouvement, et celui des quatre demi- axes principaux, contenus dans le plan incliné, que Ton prendra de même pour Gjr^. Nous prendrons ensuite pour G/^, celui de ces quatre demi-axes, qui fait avec GL , un angle égal à (p + 90^. En élevant par le point G , une normale au plan de Gx^ et G(y^ , la partie de cette droite qui fera avec Gjs , l'angle 9 aigu ou obtus, sera le troisième demi-axe Gz^.
D après ces conventions , les directions des trois deiiii-axes Gx^ , Gy^y Gzp seront déterminées à chaque instant sans aucune ambiguité, lorsque l'on connaîtra les valeurs de ^, 4» ^9 ^^ fonctions du temps. En y joignant les valeurs de a?, ^, z, en fonctions de f , la position du mobile sera aussi complètement déterminée. Ces six variables x,j', z, 9, 4 9 ^9 sont donc les inconnues du problème qui a pour objet de connaître le double mouvement dans l'espace, d'un corps solide entièrement libre; elles dépendent d'un pareil nombre d'équations différentielles du second ordre \ les trois premières se rapportent au mou-
84 3UR liE MOUV£MBN'r
vement de translation , et les trois dernières au mouvement de rota-tion autour du centre de gravité.
(i). A un instant quelconque, les quantités -^^ , -£^ ^, sont les
trois composantes de la vitesse de translation du projectile; celles de
sa vitesse de rotation se déduiront des valeurs de ^, ^, ^, et des
kngles '^y ^y Qy par des formules connues qui sont indépendantes des forces appliquées à ce corps.
Pour obtenir ces formules, il faut d abord rappeler qu'un corps solide, retenu par un point fixe^ tourne constamment autour d'un axe passant par ce point, qui demeure invariable pendant la durée de chaque instant infiniment petit, et change de direction, d'un instant à un autre, de sorte qu'on lappelle pour cette raison Vaxe instantané de rotation. Les diamètres du mobile, autour duquel ce corps tourne successivement , forment dans son intérieur un certain cône qui peut avoir une base qjielconque. Pendant la durée de chaque instant infiniment petit, tous les points du corps décrivent des^ arcs de cercle dans des plans perpendiculaires à Taxe instantané, . et qui ont leurs centres sur cette droite; ces arcs, aussi infiniment petits, sont proportionnels à leurs rayons respectifs. Les angles cor-^ respondants sont donc les mêmes pour tous les points du corps ; le rapport de l'un de ces angles au temps employé à le décrire, s'appelle la vitesse angulaire de rotation j ou simplement la vitesse de rotation du mobile. Maintenant , si ce corps est entièrement libre. Taxe ins-. tantané de rotation , passera continuellement par le centre de gravité; mais il ne demeurera plus fixe , et restera seulement parallèle à luimême, pendant la durée de chaque instant. Ainsi, GI étant la direction de cet axe au bout du temps t, cette droite sera emportée pendant l'instant dt^ parallèlement à elle-même , avec la vitesse du mouvement de translation du mobile; et pendant ce même instant, ce corps tournera autour de GI, comme autour d'un, axe fixe, avec une certaine vitesse angulaire que je désignerai par co. Cette quantité variera.
DES PROJECTILES DANS l'AIR. 85
ay^ie temps, aussi bien qqe chacun des angles lOx^, IQ^/9 ^Oz^y bu des angles lOx^ .IQ^9 lOzy qui déteiminentà chaque instant la direction du demi-axe OI y soit dans l'intérieur du mobile , soit dans
Fe^ce.
Gela posë^ on démontre que toute vitesse de rotation autour d'un
axe donné, se déconàpose en trois autres vitesses autour dé trois axes rectangulaires, suivant les mêmes lois qu'une vitesse de trans^ Jation se décompose en trois vitesses de cette autre nature; les directions des axes remplaçant dans le cas de la rotation, celles des vitesses dans le cas de la translation. Si donc on désigne par /?, ^, r, les composantes autour des trois axes Gx^y Gjr^^ Gz^, de la vitesse êê autour de GI , on aura
p == ^vcQsIOx^, q = «cosIOjr, , r = cùCOsiOz
ce qui signifie qu'abstraction faite de la translation du corps pendant l'instant dt^ et les quantités p^ q ^ r^ étant déterminées par ces équations, si l'on fait d abord décrire à tous les points du mobile, un angle pdt autour de Go;^, puis un angle qdt autour de Gy-,, enfin un angle /tft autour de Gz^, il se trouvera après ces trois mouvements successifs, dans la même position que si tousses points eussent décrit un angle adt autour de GI.
Chacune des trois quantités p ^ q y r j pourra être positive ou négative , selon que la rotation qui lui correspond aura lieu dans un sens ou en sens contraire; pour fixer les idées, on supposera que la dernière rsoit positive, lorsque la rotation autour de Gz, se fera de Gx^ vers Gr^^j et négative quand cette rotation aura lieu en sens contraire , ou de G^, vers Gix^ ; de même, q sera une quantité posi^ tive ou négative , suivant que la rotation qui aura lieu autour de Gy^ se fera de Gz, vers Gx, , ou en sens contraire ; et p aura aussi le signe -)- ou le signe — , selon que la rotation autour de Gjc^ se fera de Gy, vers Gz, , ou bien de Gz, vers Gj^. La quantité at sera toujours positive, et égale à la racine carrée de p^ -h 7^ h- r^, prise avec le
86 svK LB ifDtnrEHBirr
signe + . Ces suppositions sont faites poar que Von puisse passer fa-* cilement y par le genre de permutations de lettareâ qne j'ai expliqvië dans mon Traité de Mécanique ^)y des fbmniles qui répondent à Fun des trois demi-axes Gx^ , G/^ , (^z^ , aux formules analogues qui se rapportent à un autre. Le sens de la rotation dn molnle autour de l'axe instantané 9 et la partie de cette droite qui sera prise pour le demi-axe GI, se trouveront détermines à chaque instant, par les signes dep^ Çy r: au bout du temps ty si ces quantités sont toutes trois égales et de signes contraires à ce qu^elIes étaient au bout d^un autre temps fy le demi-axe se sera changé dans son prolongement, d'une époque à Fautre ; le corps tournera donc autour de la même droite y à ces deux époques , mais dans les deux sens opposés, c'est-àdire de gauche à droite par exemple, si GI coïncide d'abord avec Gx, et ensuite de droite à gauche; et ce changement résultera de celui des signes àep yÇ y r, sans que la vitesse cê ait cessé d'être positive*
Actuellement les formules connues qui lient les vitesses py Çy ^y aux trois angles 4^ ?9 ^9 ^^^^
= — sindsin^^ -h cos^^»
= |-cosfl#.
Elles supposent ces angles, et ces vitesses , comptés comme il a été dit dans le numéro précédent et dans celui-c^ , et n'exigent pas que les droites rectangulaires Gcr^, Gy, , Gz^y soient les axes principaux du mobile , ni que le point G soit son centre de gravité. Les deux premières ont des signes contraires à ceux des expressions de /^ et a que renferme le n"" 4io de mon Traité de Mécanique; ce qui tient
C) Tome I*'^ pige 37.
mn ■ I »|
DES FEOrfiCTIliU DANS I^'AIR. 87
k ce qae lestovmiaâm 4a a^ 879 aupposenl l'ate O^ dixvé au-dessus du plau des x .et/^ et l'angle f p^rte au-dessous, tandis qulci nous supposons l'un et l'autve AUr-dessus de ce plau ; différence qui a donne lieu aux chaugraneats de signes de quatre des neufs quantités dëter* minées dans oe n^ 379 ^ savoir, de af'y ll\ c^ cf ^ elt par suite , aux changements de signes de ^ et 9*
(3). Pour former les équations différentielles du double mouvement de translation et de rotation dn projectile, soient m sa masse et mg son poids diminué de celui du volume d'air dont il tient la place , de sorte que g exprime la pesanteur dans ce fluide. Désignons aussi par X, Y, Z, les sommes des composantes parallèles aux axes Ox^ QXf Ozj de toutes les autres forces motrices appliquées au mobile ; lesquelles composantes seront des quantités positives ou négatives , selon qu'elles agiront dans les directions de ces axes ou en sens contraire. Le mouvement du centre de gravité étant, comme on sait , le même à chaque instant, que si la masse entière du mobile y était réunie , et que toutes les forces motrices 7 fussent transportées parallèlement à elles-mêmes, on aura
m^=X, mtZ^Y, m^ « -. mgr + Z, (a)
pour les trois équations différentielles qui seront aussi celles du mou<vement de translation.
On démontre également que , pendant l'instant dt , le mouvement de rotation autour du centre G est le même que si ce point était fixe et que les forces données ne fussent pas changées ; d'où il résulte que les trois équations différentielles du mouvement de rotation seront
cî.-^
- k)qp =
ea désignant par X,y Y,jZ,j U» sommes des moments de tontes ces forces , rapportes aux axes Gjr^ , Gy,, Gx,, et par A, B , G, les mo^ ments d'inertie du mobile, relatifs à ces mêmes axes. Dans la somme 7s^ , les moments sont positifs ou négatifs , selon que les forcés tendent à faire tourner, de Gac, vers Gj^, , ou de G^^ vers Gx,, autour de Gr,; ils sont de même, ou positifs , ou négatifs dans Y^, selon que lés forces tendent à faire tourner autour de Gry^, ou de Gzj vers Gx,, ou de Gx, vers Gz, , et dans X,, selon qu'elles tendent à faire tourner, ou de Gr, vers Gz,, ou de Gz^ vers Gjr^^ autour de Gx,. On trouvera dans mon Traité de Mécanique^ la démonstration de ces équations réduite, je crois, à sa forme la plus simple.
Si l'on élimine p^ q^ r^ entre les équations (i) et (3), on aura trois équations différentielles du second ordre, par rapport à 4^ 9? ^^ ' qu'il faudra joindre aux trois équations (2); mais il vaudra mieux conserver les six inconnues pj q y r^ -^y^j S, jointes à x, ^, z, et prendre les neuf équations (i), (2) , (3), dont deux du premier ordre et trois du second, pour les équations différentielles du problème. Leurs intégrales complètes contiendront douze constantes arbitraires, que l'on déterminera au moyen des valeurs initiales et données de x,
r, ^5 4? <P j ^j e' de celles des vitesses J, ^, J^, ^, ^, ^, lors-
' quelles seront aussi données, ce qu'on supposera effectivement, dans la suite de ce Mémoire; si elles ne Tétaient pas, on les déterminerait au moyen des six équations connues
\p = A„ C7 = B,, Br = C;,
relatives à t=^Of et dans lesquelles A', W , Cl y sont les sommes des composantes parallèles aux axes, des x , y,,Zf des percussions initiales, et A,, B, , C/, les sommes de leurs moments, rapportes aux axes
Gx/, Cty,i Gz,.
(4). Occupons-nous maintenant de la détermination des quantités
n^ PROJECTILES 0AKS ii^AIB. 89
X, ¥9 Z, X^, Y,9 Z^) que renAmnent les ëqaations (2) et (3) , et qui proYieadront y dans la qacAtion que nous considërons /de la rësislauce et àa frottameiit du fluide dans lequel le projectile est en mouvement.
Le cas le plus sira^[^e est celui d^un prisme droit , dont tous les points dëcriv^ij;^ des lignes parallèles à ses arêtes, et qui tombe verticalement pour fixer les idées. La rësistance proprement dite du fluide s'exercera . de bas en haut, sur la base inférieure; elle aura pour expression , d^près rhjpotbèse ordinaire et que nous admettrons j le produit nbjyV^^ où l'on désigne par Y la vitesse de ce corps, par b Taire de sa base, par D la densité naturelle du fluide^ distincte de la densité près de cette base, etparn un coefficient numérique et don né. Le projectile éprouvera, en outre, sur ses faces latérales, un frottement vertical et dirigé de bas en haut ^ que Ton supposera proportionnel à la somme de leurs surfaces, à la vitesse Y, à la densité D, et que l'on représentera en conséquence par le produit ^cDY, en désignant par a cette surface totale et par c une constante donnée. On suppose que toutes les faces latérales ont le méme4cgréde poli, dont la quantité c pourra dépendre ; si elles étaient inégalement polies , elles pourraient éprouver des frottements différents, qui produiraient un mouvement de rotation^ de siH'te que, contre l'hypothèse^ tous les points du pro** jectile ne décriraient plus des droites parallèles. La constante c devra être une vitesse , afin de rendre le produit acDY homogène avec la force motrice représentée par nbDV^. En appelant H la hauteur due à la .vitesse V, et remplaçant Y' par ag^H dans le produit nbDY*, qui devient alors sng^^HD, on voit quil représente effectivement iine force .motrice , c'est^-à-^dire , le poids d'un volume de fluide, ayant pour base/celle. du prisme, et pour hauteur ^n fois cette hauteur H;
Lorsque le projectile aura une ou plusieurs faces, qui ne seront ni parallèles , ni perpendiculaires à la direction de son mouvement , la résistance et le frottement qui auront lieu sur chacune de ces faces, dépendront, desi composantes de la vitesse, respectivement perpendiculaire et tangente à cette face- Supposons, par exemple, que le mobile soit uo tronc de pyramide régulière, qui ait ses deux bases
go SUR LB HOUySMJfiN? u
horizontales et toutes eesi&oes layntUBr^Atement ]poiie34. sôiiposoiis aussi y ce qui sera possiUe ^ (|tte tous iefi pwnts» 4e ^Hû^oorps dénûnfot % en tombant 9 des droites Tertîoales; «eittoujoum. Y le«r ^vke^ eom^ mune , et oonservoDS de même toutes jles autres notations pnéoëdentes. La résistance du^ fluide qui a exercera de lias en haut* sur labase^ iolër Heure, aura encore nM[)^^ ponr^mletur i cette besenfapmnwera^aoïm^ firottement; sur la J>aie supérieure , il nj aura ni résistance, m^fcolte^ ment. Quant aux faces latérales, le -résultat sera difieirent , sefeni qjue la base inférieure b sera Ja plus.petiteiou la .plus grande, dee- deux; bases du projectile. Dans le premit^r cas ^ le seul oit ses faces éprou-t veront une résistance normakvœtteforcersur chaque /aceytscpa'^ale au produit de. irD:et delfaire de cette face, multiplié par 1« ofn^ de k compoGtaute noitmale de la- vitesse,, c'estrà^re,. par! VfcosPif , en appelant r>l'angle compris entre la nensiale etla vertkaieu Elle se décomposer» «en deux forces , l'une, horisontalej que. IW^niauva pas à considérer y. > et * l'autre * verticale qm se j déduira de» ki foroe nbnnale , ea la mùlbpliaut par .cosi*^ Les composantes horizontales se détruiront mutoellem^at.^ lesn composantes tvertioales siitjeuteroni et fermeront une force totale ^. ^ale à noùY^ cos^ f\ qui agira: de biis en haut et s'ajoutera, à la force nbDY^: rdiative à la base, ialifeieure.} Que cette base ^;Soit la plus petite^ou la.plus^grande^ le frottement sur chaque face latérale sera proportionnel , d'une part à la composante de la vitesse tangente k cette face, c'est-à-dire à Ysiuf, et d'un autre côté à là densité deLair en contact avec cette même faceé Cette densité sera inconnue $; nous :1a désignerons par A ou par A^, selon que b sera la plus petite.ou laiplus grande des deux based; et comme, par l'effet du mouvement du<cocps., l'air se trouvera compris me .dans le premier cas et dilaté dans le second, on aura A > D et A' < Dl Dbns les . deux cas , . les: composantes horizpntftles du fuMe^ mçnt se détruiront mumellemea t. La coniposante verticale sur chaque iace, se déduira de >la force tangente en la multipliant * par sin f , et il en résultera une force totale^^ dirigée de bas en haut, et égale, soit à açAVsin* i, soit à ac A^Vsin* i. Dans ^exemple du prisme, dont
DES PROnCtlLBS DANS t/AIR. 91
les fiiees latérales étaient verticales , on ayait i = 90^ y et Fair en con* tact n'étant ni ^xmdensé ni dilaté ^ on dbvait remplacer A on A^ par D^ ce qui donnait acDY pour la mesure du frottement.
Ainsi, dans la chute verticale d'un tronc de pyramide régulière, qui a ses deux bases horizontales , la force verticale provenant de la résistance proprement dite et 'du frottement , a pour mesure , dans les hypothèses que nous adoptons ,
w^DV* -h »4iDV«cosh' -f- /ïcAVsin**,
lorsque la hase inférieure est la plus petite , et
nbjyy^ -h acà!Y sîn» i,
quand elle est la plus grande. Il était bon d'examiner en détail cet exemple particulier; actuellement ir s'agira d'étendre ces mesures an cas général d'un projectile animé des deux mouvements de transla-tion et de rotation , et ayant une forme quelconque : nous supposerons toutefois que sa superficie ne présentff aucune concavité, et ne puisse être rencontrée jpar une ligne droite, en plus de deux points.
(5).^. Pour cela , soient M im point quelconque de cette eurface, et
jT/yjr^, JE/, seisi trois coordoiroées rapportées aux axes GiT^, G^^, Gje^,
fixes danâ l'intérieur : du mobile ,' ^ manière que a:^ Tiv^^n ▼^^^i^^
d'un point M'a unautrei^ et <Qe varient point avec le* temps t. L'équa-
rtion -die œtiei sarfrqe sera
. • î/(j?,jr/j*/)=oî (4)
i désignant unje fonction donnée.
• Par lepmnt^M^ mei^uons u&.plan tangent et mie normale à cette
.;méa;t9 surface-; l'soi^ MN la partie extérieure de cette droite , et dé-
.^ignons» païf Ay, ^/M;^ x^ .les angles, qu'elle fait , . au bout du temps t^ avec
des parallèlas aux axes des jt^, y^y z^, menées par le point. M. Nous
la..
gik SUR liE MOUVEMENT
aurons
<^sA,= i^, «>SA*,=if^, «»^=à|;^ (5)
en faisant ^ pour abréger ^
et donnant à ce radical le signe nécessaire pour que les formules (5) se rapportent à ta normale extérieure MN et non pas à son prolongement dans l'intérieur du mobile. Soient^ en outre ^^ A ^ ^^ y, les angles que fait cette normale extérieure avec des parallèles aux axes des x^ j'y z, menées par le point M.. Par ce même points menons dans le plan tangent une droite MT qui soit la projection , sur ce plan , de la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse complète de M 3 résultante du double mouvement de translation et de rotation du projectile. Cette droite fera avec cette vitesse un angle aigu j elle pourra changer, d'un instant à un autre , de position sur le plan tangent j au bout du temps t,, nous représenterons par a/, lu^Jy v/, les angles qu'elle fait avec des parallèles aux axes des x^ jr^y z^ et par A^, f/Jy if y ceux qu'elle fait avec des parallèles aux axes des Xy yy z; angles qui pourront être aigus wk obtus, et que nous n'aurons pas besoin de connaître, comme on le verra par la suite. Enfin , décomposons la vitesse complète du point M, en deux autres , l'une normale et l'autre tangente à la surÛM^e du mobile. On désignera la première par Y, et on la considérera comme une quantité positive ou comme une quantité négative, selon que cette composante se trouvera dirigée suivant MN ou suivant son prolongement, c'est-à-dire, selon que la vitesse complète de M fera un angle aigu ou un angle obtus , avec la normale extérieure MN. On désignera aussi par V la seconde composante , qui sera toujours dirigée suivant MT , et sera toujours une quantité positive. C'est dans les directions contraires à ces composantes V et V que la résistance proprement dite et le frottement de l'air s'exerceront au point M j toutefois , la résistan ce nor-
DES PE9l£Ctn£«£S BAj^ L'AIR. 95
maie n'aura lien qu'aux points de la surface oit* Y seçâ' positive, «t.^n la regardera comme nulle en tout autre point : le frottement s'exercera en tous les points, mais avec une intensité différente , toutes choses d'ailleurs égales ^ selon le degré de compressiça ou de dilatation de l'air en contact avec chaque élément de cette surface.
Gela posé 9 soit ifrPtAément qui répond .^u poi^nt M, D la densité naturelle du fluide , et n un coefficient numérique et donné : sur cet élément 9 la résistance liormale aura pour valeur nDT*^ ; et comme elle sera dirigée suivant le prolongement de MN , ses ^composantes parallèles aux axes des x^y y^^ z^y s'obtiendront en la multipliant par — cos A^ , — cos f^^y — cos v, , et ses composantes parallèles aux axes des X 9 /, z 9 en la multipliant par — cos A, — cos ytt , — cos v. De plus, après avoir formé l'expression complète de Y, Téquation
jointe à celle de la sur&ce j déterminera une courhe qui divisera cette surface en deux parties j telles que la valeur de V sera positive pour tous les points de l'oiie et. négative :po«ir tous ceux de Tautre. Nous appellerons la première , la parue antérieure du projectile ^ et la seconde^ la partie po^i^r/eun^. Or, par hypothèse , la résistance normale s'exercera seulement sur la parjtie antérieure \ si donc on désigne pw J^fj les intégrales étendues à toute. cette portion de surface, et que Ton réserve / pour indiquer les intégrales relatives à la surface entière^ on aura
— nD/V^cosArfr, — nDjy^ cm fulcr j ~ ?iD/;V» cos vi/(r ,
pour les parties de X, Y, Z, qtit provic^nfient de cette résistanjce. D'après les signes que l'on doit attribuer (n^ 3 ) aux moments des diverses forces , dans les expressions de X^ , Y^ , Z^ , ceux des composantes parallèles aux axes des x^ jr,j Zp de la résistance normale , agissaut au point M , seront
/•/iDV' cos A^ >— - X/iiDY^ cos « dr.
94 svtL cb tnvrmtMKT
jmt rapport  PftM Gjb^ ;
x^DV» cos f/h — «^DV" cos A,d<r , relativement à Faxe CrJ", , et •
,par i^pport ^' Vax^ G«^t Par cppsiéqu^nt ^ les parties de Z, , Y, , X^ , ipmvenaia 4es r&istBiiiqw iion^e^, seront données par )es formules :
nD/J ( JT^ cos r, — je; cos A , ) V^dir, nD/J (t^cos/u^ — >, cosr^ ) V^dr.
A l'égard du frottement qui s'exercera sur Pëlëment d<r^ il aura pour expression le produit fV'dtrj dans lequel p est une quantité po^ sitite, proportionnelle % la densité de Fair en.oontact avec da^ qui pourra Varier, en outre, d^an élément à un astre ^ àzraison du d^ré de poli de la surface, et'de^|i -avoir ponr £BicteBKS> comme dans l'exemple du n* précédent', 'tine densité et une vitaistr^ jifin que fV'dsr puisse représenter une force motrice. Cette .fi>roe étant. d'ailleurs dirigée en sens contraire de MT, on obtiendra ses. composantes parallèles aux axes des X'^ /, Ky en la multipliant par-— cosA^ — Co&f/ y — cos/, et ses composantes parallèles aux axes des o^^, y^y z,y en la multipliant par — cos / , 7— cos^% — cos / . D'où l'on condut d'abord
— /pV'cosA^ij, ^fiY^cosfi^âffy — /pV'cos/*,
pour lesf parties de^X^^ Y9>(&^il|ui;pro:viennentyd1^^lro^em6nt de tous les points dtif m^ile côntk*e le» ihaide, et ensnite
y(j:^cos/ — Zf cos ?^[)fV'd(r , y(«, cos/*'^ — 7, cosrJpWtr,
pour les parties de X,,Y,,'Kf, dues à la même catise.
DBS PROnUTTiXiM XIÀN0.I.^AIR. g/S
Les valeurs amifi^èliSc^des.sîiiiquaRtitës X> Y^ Zr» %,j ^sr'^n ^^^^ Dues àaa^ les ëqaatioiift (a) et 43) y ;seiont donc- •
X = — nD/,V* co» A^r — ffy cMX*dÊ-y
Y ss — wD/yV* CO»/i<ir — /fV'coS^'flftr, Z s — «DjT.V» cos rJr — /fV COi /ûfc-,
(6) Ces formules conviendrout ëgaïement au cas où le fluide dans lequel le corps se meut est un liquide incompressible^ et au eas où le mouvement a lieu dans un fluide élastique , dans Tair^ par exexnple ^ comme nous le supposons dans ce mëmoire. Mais la détermination , dans ce dernier cas^ de la densité du fluide près de la surface du pro^ jectile^ est un problème que Ton est loin de savoir résoudre. Pour y suppléer^ il faudra donc' faire une hypothèse sur cette densité et sur l'expriession de p. Or, on peut admettre qu'en chaque point ]|J[ de cette surface y la différence entre la densité variable du fluide et sa* densité naturelle D ^ ne dépend que de la vitesse normale Y du projectile en, ce même points et^qu'il y a compression ou dilatation du fluide ). selon qvtie jcettf? vitesse. est positive ou native ^ c'està-dire^ selon qu'elle es^ dirigée du dedans en dehors y ou du dehoi^s en dedans. Gela étant ^ Thypothése la plus simple sera de supposer cette différence proportionnelle à V, et de faire y en conséquence ^
n^ et A 4tant dep ^quantités positives. ^; dont la première sera un nombre abstrait , et -1» seconde. aneiivitasse: variable, du point M à • un autre 9 avec le degré de p<^i de la sorfiice da. projectile , invariable quand la surface sera partout également polie , comme on le supposera dans la suite.
Dans la partie antérieure du mobile , cette expression de p sera toujours jpositivej dans la partie postérieure , ^le ^pourra' devenir
<)6 â\m liK VOUVBMBNT
négative ; an ne devra donc pas Pétendre aux points poar lesquels cela arrivera effectivement , et qui seront skoés snr la snrfi^, endeçà de la courbe où Ton aura
Mais en ces points , le frottement n'aura pas lieu ou sei*a insensible, à raison de Fextrême ténuité du fluide, ou d'un vide presque parfait qui se fera^ dans le cas d'une très grande vitesse du projectile , entre l'air et une partie de la surface^ on pourra donc négliger le frottement dans cette portion de surface, et ne pas étendre les intégrales désignées par /en -deçà. de la courbe déterminée par les équations (4) et (9), de même que les intégrales / ne s'étendent pas en-deçà de la ligne qui répond aux équations (4) et (6).
De cette manière, il ne restera plus qu^à former, pour les substituer sous les signes /et /, les expressions générales des vitesses Y et T^, et de leurs composantes, soit par rapport aux axes des x , J, z, soit par rapport à ceux des jr,, jf^ ^r
(7). Désig^Dons par i^, (^, u^, les composantes parallèles aux axes
iixes Ox, Qr, ^^> de la vitesse complète de M^ de sorte que les
' parties de m, i^, u^, qui proviennent du mouvement de translation,
soient ^, *^ , ^, pour M comme pour tout autre point du prqjec-
tile. Les coordonnées de M rapportées aux axes mobiles Gjp,, Gjr^^ Gz„ étant X ,^-, , z,, et les composantes autour de ces axes, de la vitesse angulaire de rotation , étant p^ q y r, les composantes parallèles à ces mêmes axes de la vitesse absolue du point M , qui résulteront de la rotation du mobile autour, ée l'axe .instantané 61, seront, comme on peut le voir dans mon Traité de Mécanique >
qz, ~ ry,, rx, — pz,, pjr, — q^,-
Parxonsëifuent, nous aurons
DES PROJSCTiliES BAK8 l'AIR. 97
dx
pour les valeurs complètes de u ^ i^j iP , dans lesquelles les neuf quantités a, é^ etc. , sont les cosinus des angles que font les axes mobiles Gx^ 9 Gy^, Gz^y avec les droites parallèles aux axes fixes des ^y J'y ^> ^^ menées par le point G; en sorte que l'on ait , au bout du temps / quelconque y
cosjcjGx =
a y cosjrjGa: =
cos JE .G j: =
cos x,Gy =
afy cosy,Gy =
= es
cosz^G^ =
cos xjGz =
J'y cùsjyjGz =
cos Z/G;c =
Ces neuf cosinus seront des fonctions de < , qui s'exprimeront par des formules connues ^ au moyen des trois angles 4» ^9 ^y ^^ seront liés entre eux par les six équations
H yv
«> + cy H
que Ton pourra ^ si l'on veut^ remplacer par ces six autres^ qui leur sont équivalentes y
»v' -h GC -i- yy =
flf'« ^ g'€ -f. yv =
(la)
g6 SUR LE MOUVJBURNT
Soient aussi u^j i^^, w^y les composantes de la vitesse complète de M , parallèles aux axes Gx^ , Gry^ , Gz, ; nous aurons
= Cm -^ CV H
= yw 4- y»» -
et si Ton fait^ pour abréger y
fit -^. -f- a -4. -h A -r- = JT
et que Ton ait égard aux équations (lo) et (i i) ^ on en conclura
H qi, -
" fy.y
r- rr, -
y pr,-
On peut remarquer (jue x^ , y , tf ^ sont les composantes de la vitesse du mouvement de translation, parallèles aux axes des x,f j-^y z/y par les règles de la composition des vitesses, qui sont les mômes que celles de la composition àes forces , on aura réciproquement
^ = «y 4- g/ -t- ygf^
^ = *Vh- 6'/h->V,) (i5)
pour les composantes de cette même yitesse ^ parallèles aux axes des
^jï^ ^\ c^ ?^^ ^^ déduit également de la combinaison des équations (12) et (i3).
DES SimSCTILSB BANS l/AlR. 99
QbMTVDiifi au»i qae les axigles A^ ^m, y, et ^^^ fc,^ v^, répondant à une même droite MN et à deux systèmes, diffi^rents d^axes MCtm^kires ^ on ismra , d'après une fov^mnle connue ^
cosA = acosA, -h £cos/My -4- 7 ces y,,
COSyU = flt'cOSA, -H C'cOSyU, •+• yCOSfy, ^ (16)
COS f = rt^'cCSA, H- 6' COS (JL^ H- y^COST,.
(8). iy«tprès oe 4{ne Teprà»enle&t u^, i^^, a^^ , ainsi ic[iie ><,yi^,^ y^, la vitesse norttiale V aura pomr expression
V =5 tA^<>OSA^ *ih ^^COS^Ay -h Uf/OQBP
ou bien, en vertu des équations (14)9
V = X 'cos A, H- y cos ytt, -H «' COS v, . ^ -h (7^,— A7jcosA, + (rx, —pz,)tosfi,'\-(pr, — vx,)cosr, j ^ '
et cette formule, jointe aux équations (5)9(13), (16), fera connattre la vitesse V et ses composantes Vcos A, , V cos yu^, V cos y^ , ou V cos A ,
V cos yte , V cos f , qu'on devra employer dans les formules (7).
La vitesse complète du point M ayant été décomposée en deux autres Y et Y^ , les sommes des composantes de celles-ci , parallèles aux axes fixes, doivent être égales è u^ Vy w\ d'où il résulte
u = Vcos A
u ^ Vcos^ -H V'cos/u', I (18)
w = Vcos f H-
ce qui fera connaître les composantes V^cos A% V^ cos fi' , V^cos / , de V^, au moyen de celles de V et des formules (10), Relativeo^eat aux axes mobiles 9' on auva de même
M, = y cos A, H- y cos a' , \
i^, = Vcosfc, + V'cos/u% > (19)
i4^^ = y cos V^ -+• V^COS / , 3
lOO SUR liE MOUVEMENT
pour déterminer les composantes V^ gos a' , V^ cos /u'^ , V^ cos ?' , au moyen de celles de Y et d^ formules (i3) et (i4).
Après avoir substitué dans les formules (7), les expressions des diverses composantes de V et Y^, et avoir fait sortir hors des signes/ elffy les quantités ccmimunes à tous les points du mobile, savoir, les
vitesses ^ , ^, ^f > P9Ç7 ^ 9 ^^ ^^ neuf cosinus a, f , etc. , on aura
les expressions de X , Y, Z, X^, Y^ , Z^ , qu'il s'agissait d'obtenir. Mais leur extrême complication rendra tout-à-fait impossible l'intégration générale des. équations du double mouvement de translation et de rotation du projectile; et pour parvenir à des résultats utiles, il faudra se borner à considérer les cas les plus simples, soit relativement à la forme de ce corps , soit par rapport à son mouvement de rota^ tion. Cest ce que nous ferons dans les paragraphes suivants.
§ II. Influence^ Ai frottement de Tair sur tes mous^ements de
translation et de rotation du projectile.
(9). On supposera que le mobile soit composé dé couches sphéri* ques et concentriques , dont chacune a la même densité dans toute son étendue, qui pourra varier d'une manière quelconque, d'une couche à une autre; ce qui comprend le cas d'une sphère pleine et homogène , et celui d'une sphère creuse dont la partie pleine a partout la même épaisseur.
Le centre de figure de ce corps sera son centre de gravité G; tous ses diamètres étant des axes principaux , on pourra prendre trois rayons rectangulaires quelconques, pour les trois demi-axes Gx, , Gy-, , Gz, , pourvu qu'ils soient les mêmes , ou qu'ils aboutissent aux trois mêmes points de la surface, pendant toute la durée du mouvement. En désignant par Z la longueur du demî-diamètre, on aura,^ d'après les équations (5) ,
DES PR01ECTILB8 DANS C'aIB. ioi
COSA, = -j-', COSye«,= ^', COSr, =^; (o)
et les angles A^, /*/, i-^, seront ceux que fait le rayon GM, aboutissant au point quelconque M de la surface, avec les demi -axes ^•^/» ^i* ^*/-
Ces valeurs de leurs cosinus font disparaître de Tëquation (17), les composantes p^q^r^ de la vitesse de rotation , et l'on a simplement
L'équation (6) devient donc
•^/^ + .ry + v' =
elle appartient à un plan passant par le point G \ et comme les quantités a^,j^, z' y sont les composantes suivant les axes des x^, y, j ^„ de la vitesse du mouvement de translation (n*^ 7) , on en conclut que ce plan est perpendiculaire à la direction de cette vitesse. Ainsi , les parties antérieure et postérieure du projectile seront les deux hémisphères déterminés par le plan mené par son centre G y perpendiculairement à la trajectoire de ce point dans l'espace^ en sorte que ce sera à l'hémisphère antérieur que devront s'étendre les intégrales indiquées par y) dans les formules (7).
Pour que les autres intégrales que ces formules renferment s'étendent à la surface entière du projectile, je supposerai que dans sa partie postérieure , la vitesse Y ne devienne jamais plus grande que A:, abstraction faite du signe. Je supposerai aussi la surface également polie dans toute son étendue , afin que le nombre v! et la vitesse k soient les mêmes en tous ses points. Après qu'on aura fait sortir hors des signes/, les quantités communes à tous les points de la surface et variables avec le temps , ces intégrales seront des quantités constantes, faciles à calculer et dont plusieurs se réduisent à zéro. Cette constance
n'aurait pas lieu , si la quantité A: -+- V pouvait devenir zéro : la courbe dëtel-CGiinée par Fëquatiôn (9)> $ur la partie postérieure de la surface, et d'où dépendent les intégrales f, serait alors un petit cercle perpendiculaire à la direction du miouvement de translation, qui pourrait s'approcher ou s'éloigner du centre , selon que la vitesse Y augmenterait ou diminuerait pendant la durée du mouvement j ce qui rendrait ces intégrales varia!bles avec le tenfips t à raison de leurs limites , et compliquerait beaucoup la question.
(to). Les valeurs de x:os \, oos |U^, cos 9^, données par les formules {a) , rendront nuls les coefficients de Y^da sous les signesy], dans les trois dernières formules (7); et ces mêmes valeurs, jointes aux équations (19) , réduiront ces formules à celles-ci :
qui deviendront
%, ^ niykf{u/r, -
- u/B,)d(r -+■ nfDf{WjX,^
en vertu de l'équation (8) , et en •obseb^vatit qu'<m vient de supposer que n' et h sont des constante!^.
Jy sdbstttue peur u,^ 9^ w^, les formules (i4) 9 «t pour V la formule {b). Les intégrales/ s'éteadaat , par hypothèse:, k la surface entière du mobile, qw ^eM celle -d'une &îphàre>, on a éviden^ment
mû
fx^ = o, fy-^ =rc o, J^z, dv =0, facpr^dv mr o , fz,K/ia cas o , Jjyfi/i(r = o , fx^y/i^v = o ,
fx,f'dff = o, /zX<^ •= o, jy^'dr = o.
DES PRQJBOTLLJBS IXANS L'AIR. iqS
En dësignaRt à Vordioaire par «v It rapfM»rt de la ciro^ofér^oce avi diamètre 9 de sorte que la surface de la sphère soit AttI^ y on aura aussi
de plus les trois intégrales fx^dffy fy^diTy fz^dffy seront égales entre elles ; chaeUrBo d'elles sera , par conséqtient ^ égale an tiers àf^ leur somme \ et il s^enanÎTra
De cette manièf e > on trouvera
d où il résultera finalement
Le calcul des valeurs de X ^ Y , Z , est beaucoup plus compliqué y et le résultat moins simple. Nous le diviserons en deux parties : Tune relative aux termes qui dépendent des intégrales /^ Tautre aux termes dépendants des intégrales/) ; et nous commencerons par la première de ces deux parties.
8rr/4 3 '
l(,^ SUR liE MOUVEMENT
(il). En vertu des équations (8) et (i8) y on a d'abord
/pV'cosAWtr = nfJ){hfudff — kfWcùi?sdr -^fuVda — /VKîOSAdcr) , ffV'cosiu'd(r= n'D{kfi^d(r — k/Ycos/uda-h rv^dj — / V-cos/uiir) , /pV'cos/^^ = n^D(^ii^€fc — it/VcosydJr ^fwVdar — fY^coSfdcr).
D'après la valeur de Y et les formules (i6), les quantités Vn:osAi/(r, Y^cosfjt^ , Y^cosf dcr y ne referment que des termes «Lont chacun est de dimension impaire par rapport kx^y jr,y z^y et dont les intégrales, étendues à toute la surface sphérique sont par conséquent nulles; en sorte que Fou a
/V^cosaA- = o, /y *cos fid<r = o, fY^cmfdcr = o.
En supprimant de même les termes dont les intégrales sont nulles , on déduit immédiatement, des formules (lo) et de la surface 4^^de la sphère,
En ayant égard, de plus, à la valeur des intégrales yjr/éilr , fYi^dffy fz^dxTy et aux équations (i5) , on trouve aussi
On obtient de même, sans difficulté.
fwYdr^ ç- [(e'v-«y)r-t-(«v-y'y)v+(yy-e'v>].
DES PROJfiCTILBS DANS L'aIR. Oj^
En mettant les formulés (i3) à la place de a/, y, z\ il vient
«ev - yy = (*v'- y«^o ^ + (»'y - y.) f ,
yy e'/« (yc"- cy)* + (yg - €'^)§,
or , daprès certaines formules dont j'ai £iit nsage dans d' moires, on a
^:^ €"7 ^ cy, €'= y» — >i^, y». «^'€ — «fi", e y > C'y , c"= 7*' — y« , /=*€'— *'^;
et au moyen de ces neuf équations (*) , jointes aux ueirf précédentes , on aura
(*) Elles se dëdiùront de celles qui sont dëiBontrées dans le n^" 6 de mon Mémoire sar le Mouvement de rotation Jtun corps soKâu (tome XIV des Mémoineê de VAcaâàmie des Sciences) , en faisant daift céHet^ei : «tn*, *•»«', c»*% a'=C, y=«r, c'—C, «•«>., *'« •,
if
io6 «UR LE MOUVEMENT
OÙ l'on a fait , poar abréger ,
De ces diverses parties des intégrales indiquées par /^ on déduit ^ pour leurs valeurs complètes ,
89rn7*D / , dx
-«"^)vH-(y^-
(J\àx
-«Sp + («"^-
-e^i-^(.yî-
/fV'cos^'* = ?î^ ( * f + l«î) , } (rf)
/fV'c»/ <fo = 5^ ( * J * 1 m).
(12). Pour déterminer les intégrales indiquées par y] dans les expressions de X^ Y, Z, et qui se rapportent à Thémisphère antérieur du projectile 9 je mène par le point G troî& demi-axes rectangulaires GH^ GBfy GWy dont le premier soit tangent à la trajectoire de ce point et dirigé dans le sens de son mouvement y et dont les deux autres se trouvent , par conséquent y dans le plan du grand cercle qui termine cet hémisphère. Soit Ç l'angle HGM compris entre GH et le rayon GMdu point quelconque M de la surface; soit aussi m l'angle que fait la projection de GM sur le plan des deux autres demi-axes avec GH^; nous aurons 9 comme on sait^
cos HGM = cosÇ, cosH^GM = sin ^ cos w , cos H"GM = sin Çsin w.
D'après une formule connue^ les cosinus des angles A, /te, v, que fait ce même rayon GM avec des parallèles aux axes des x^yyZy menées par le point G, pourront s'exprimer ainsi :
cos A 1= h cosÇ -f- U sin^cosn -H A" sînÇsinwj cos/u = A, cosÇ -4- A'isinÇcos^w -H A^',sinÇsinii , cos y = AjCOsÇ -+• A'asin^cosu -+- A^'aSinÇsinii ,
DES PROraSCTILBS DANS* I/AIR. 107
OÙ Ton désigne les cosinus des angles que font ces parallèles , par h , A, , Aa , avec GH , par hl , K 9 K 9 avec GH', par A", h",, A] , avec GH". Si l'on appelle s Farc de la trajectoire du point G^ compté d'un point fixe sur cette courbe ^ et aboutissant à la position de G au bout du temps f, les trois premiers cosinus auront pour valeurs
ce qui suppose la différentielle ds positive dans toute Fétendue de la trajectoire. Quant aux six autres , ils dépendront de la direction arbitraire de GH^ et GH'^ dans le plan perpendiculaire à la courbe , et nous n'aurons pas besoin d'en connaître les valeurs.
La vitesse du point G ou du mouvement de translation y sera ^ •
et comme d'après Téquation {b) , et ce que x^ y J^ ^ zf, représentent (n"^ . 7) , la composante normale V de la vitesse complète de M ne dépend que de ce mouvement y on aura simplement
ds ^
Il en résultera donc
rY'cosXda = ^ (h ffiùs^t^dtr ■+■ A' /)cos*Ç8mf cosiidij-
-4- hl'j,oo^Z8Ïnt^ainiid<r\
•+■ A'y)cos*ÇsinÇsinii<J<M, ry»cosfdff = ^ (h^ffCOS^dff -+- Aiy*,cos»Ç8mÇcosiid(r
