A^y)co8»ÇsmÇsin

L'ëlëment différentiel <£r de la surface sphërique aura d'ailleurs pour expression

109 fttra us MoursmNT

Pour étendre les Iroîs intégrales /, à toute la surface de Thëmisphère antérieur, il faudra les prendre depuis Ç = o et » = o jusqu'à Ç=i^ et » = 2'7r; ce qui rendra nulles les deux dernières intégrales contenues dans chacune des équations précédentes : on aura en outre

y] cos^ ICjifT^^ fj "^P^ cos^ Çsin l^dl^dn = l7rPy

et> en ayant éganl àuk wleiirs de A , At , Aj^^ il en ràmltara

/,¥«eosAdr«-XJ^, /V-cos^cfo^i^H,} (e)

/Vcos vda = î^/*^ ^•

Ces quantités y multipliées par — nD , sont les composantes de la résistance proprement dite du fluide sur un hémisphère : leur résultante

est dirigée suivant le prolongement de GH , et égale à ^ n^r/'D ^, ,

c'est-à^ire à la moitié de la résistance qui aurait lieu sur le grand cercle perpendiculaire à GH, comme on le trouve ordinairement.

(lo). Au moyen des formules {d) et {e)y les trois premières équations (7) d9vieB4roiit

On aurait pu simplifier les calculs qui nous ont conduits à ces résultats, en faisant usage des permutations tournantes indiquées précédemment (n® a) , et les appliquant successivement aux axes des

DBS PMMtBCIMIAa DANS L'AIR. iqq

jr^ r, JZ9 6t à C0md€ft4?/5^^9 r^: il aurait m&i d9 oalqulei* directe^ ment un aes trois termes ée Tune des quantités P» Q^ B; Iqs deu«: autres termes s'en nraient déduits ; et é» même daux des trQÎa quan-tités X^ Y, Z, se seraient aussi déduites delà troisième. En eflet^ considérons ces deux lignes de quav^titiés :

r, py qy 7, «, c, y, *s e', y, *% c',

Les axes des 0^5 /., x , restant le» méuMS ^ supposons qu« «otu. des 9s ^ , JiySi,^ tournent antotur du point G, de manière qu^^îror^ aille prendre la place de G^^, G^^ celle de Gts^^ et G;i[^ celle, de ^G^^^ il faudra^ d'après le genre de permutations dont il a'agit , changer chacnne des quantités de la ligne supérieure dans la quantité correspondante de ]a ligne inférieure; et de cette manière, le premier terme de chacune des quantités P, Q, R^ se changera dans le troisième, celui-ci dans le second^ etlile second dans le premier.

Considérons de même ces deux autres lignes de quantités :

z, X, y\ d', «, j, &, e, ff, y, y, y.

Si Ton suppose que les axes Gx^, Gj^, Gz, , demeurant les mêmes, ceux des x, jr^ Zy savoir Oo?, Qf , Oz, tournent autour du point O, de telle sorte ^piieCXi; vieo^ ppendra la. place 4» Qr^Qy celle de Oz, et Qzi cdle dje O^, il faudra changer chaçime des quantités de la lÂgne supériaufe , d»ps la quantité correspondautë de la ligee inféjpieace^.au moyen de queâ P, Q, fi. j deviendront respectivement R , Q, P , puis la première des formules (/) se changera dans la troisième, celle-ci dans la seconde, et cette dernière dans la première.

(i4)* En vertu des formules (c) , les équations (3) du mouvement

de rotation, ne dépendront pas idSes inconimes or^ Xj z, relatives au

IIO SUR LE MOUTEM£HT

monvement de translation , et le premier mouvemeot sera le m^me qne si le second n'existait pas , ou que le centre G fût un point fixe ; au contraire y d'après les formules (/) y les Àjuations (2). du mouve-. ment de translation renfermeront les angles ^^ ^^ 6^ et les vitesses p j q y r^ qui se rapportent à la rotation du mobile; en sorte que ce second mouvement influera sur le premier. Cest pourquoi nous nous occuperons d'abord de Tintëgration des formules relatives au mouvement de rotation 9 et de la détermination de ce mouvement.

Les trois moments d'inertie A, B^ G^ du projectile sont ëgaux, dans le cas que nous considérons (n"" 9) ; si , de pins , ce corps est une couche sphërique^ d'une épaisseur et d'une densité constantes, et qu'on représente par IV cette densité , et par / et V les rayons etté^ rieur et intérieur de la couche y on aura

^'^^iP - 1!%

pour la valeur commune à A, B, G. En faisant donc, pour abréger,

et en mettant les formules {c) â la place de Xy , Y^ , Z, , dans les équations (3) l elles deviendront

dr = — >rdty dq ^=^ — >^dt, dp =: — xpdt.

La lettre A représentera actuellement une constante positive qui doit être une vitesse divisée par une ligne , comme on le voit par son expression , et comme il est nécessaire pour l'homogénéité de ces équations. En les intégrant et désignant par a, &, c, les constantes arbitraires, on aura

p = ae^^^y q = be'^^ y r = ce'^'^'j e étant, à Fordinaire, la base des logarithmes népériens.

DES FROJ£CTIL£â DANS li'AlR. 1 1 1

D après ces valeurs de p^ ^j^ r^ les angles que fait l'ax« instantané OI avec les trois rayons Gjt^ j G^, y Gz, , seront constants (n^ a) ; par conséquent 9 le projectile tournera uniformément et dans le même sens^ autour d'un même diamètre qui sera donné à l'origine du mouvement. Si l'on prend Tune de ses parties pour le démi-axe Gz,^ que Ton peut choisir arbitrairement ^ on aura prssio et ^ =s o ^ pour t =x£= o ; il en résultera a =0 et b:s=sio^ce qui rendra nulles les deux composantes p et g pendant toute la durée du tnouvement ^ et la vitesse de rotation t» égale à + r 9 selon que la troisième composante t sera positive ou négative, c'est-à-dire , selon que le mouvement autour de Gzj, aura lieu de Gx^ vers Gj^^ ou de Gjr^ vers Gx, (n^ 2). Cette vitesse <» décroîtra en progression géométrique , pour des accroissements égaux du temps ty et d'autant plus rapidement que la constante A sera plus grande ; sa grandeur initiale et le sens donné du mouvement , feront connaître la valeur et le signe de la constante c.

Dans tout corp» solide^ lorsque l'axe instantané de rotation est fixe dans son intérieur y ou constamment formé des mêmes points du mobile^cetté droite. demeure aussi constamment parallèle à elle-même pendant le mouvement de translation . C'est , en effet , ce que l'on peut vérifia en faisant /i=i=:o et q=^Oy dans les deux premières équations (i)» Elles dEsviennent alor&

sinAsinfM^ se cos^, ainticos^fi^ = — sin^^

d'oh l'on conclut €^4=3=^0 et €l9s=o: la section du corps qui renferme les axes Gx^ et G7; restera donc constamment parallèle à elle-même ^ et, conséquemment , Taxe de rotation Gjs,, perpendiculaire à cette section , conservera aussi toujours son parallélisme.

Je fais i^[.=so dans la dernière équation (i), et j'y mets pour r

sa valeur. En intégrant ensaite, il vient

112 SUR liB MOUVEimiT

d étant la constante arbitraire. Le troisième angle 4 sera donc variable; mais it tendra de plus en plus à deiFenir coii9lant| et égal à c^; yeleur qui! atteindrait rigoureuMiiwnt aa bout d'un temps in€ni. Gomme on peut cfaeîsir arbitraireoient le rayon G^r^, auquel cet angle répond ^ si Fon suppose que ce soit le rajoa qui coïncidait à l'origine du mouveraeot avec ki droite horizontale GL^ à partir de fiaquetle on compte Tatigle 4», on aura ^ c= o» pour «=o, d'où il résultera c ' == - , et par conséquent ,

à un instant quelconque.

(i5). On supposera , pour fixer les idées , que la partie de Tinter^ section du plan de Go;, et 07^^ avec le plan horizontal mené par le point G, qui sera prise pour GL ^ soit Celle qui aboutit k ce qu'on appellerait , en astronomie ^ le nttud ascendcutt du pian incliné ^ cfe sorte que les points du mobile , après avoir atteint le poiut L^ s élèvent ensuite au -dessus du plan horizontal. L'angle couMMit 4 sera donné dans chaque cas sans ambiguité, si toutefois ie plao de Gx^ et Gjr^ n'est pas horizontal ^ <:e qui retirait ^intersection GL indéterminée. A l'origine du mouvement, le demi-axe CrT"^ fera un angle droit avec GL, puisque k valeur initiale de i^ est sufiposée nulle , et, de plus , GiX, tombera dans la partie supérieure du plan incliné (n^ i); la rotation aura donc lieu de GL ou Gjt^ vers Gy^p oe qwi nsadua la constante c positive. Enfin l'angle constant 9 sera ainsi donué dans chaque cas ; il sera obtus ou aigu, selon tfu'à l'origine da mouvement , l'angle dièdre formé par Tangle droit LG^, et l'angle 4 ? o^ LG:r compté vers la dioîle à partir da G^^ surpassera 90^ ou sera moindre, ce qui dépendra du sens de la rotation^ Dans le cas de l'angle aigu, Gz^ sera la partie de la normale au plan de Grx^ et Gy^ qui tombe au-dessus du plan horizontal , et dans le cas de l'angle obtus , celle qui tombe au-dessous.

DES PROJECTILES BANS L'AIE. llS

Lorsqu'on aura 6=390^^ le corps tournera autour d'un axe horizontal; si 9 en outre , cet axe est perpendiculaire au plan Tertical des x et z y qui contient la direction de la vitesse initiale du point G ^ il pourra arriver que le nœud ascendant L appartienne à la partie antérieure du mobile^ ou à sa partie postérieure : dans le premier cas^ on aura4 = o, et dans le second 4 ^= iBo^. Si la rotation a lieu autour de la droite Qx , on aura 4 fc= 90® ou 4 = ^7^^^ selon que le nœud L appartiendra à l'hémisphère du mobile , situé à droite ou situé à gauche du plan de Gx et Gz. Quand le projectile tournera autour d'un axe vertical, la droite GL sera indéterminée. Je sopposerai arbitrairement qu'on prenne pour cette droite y origine de l'angle 9 , le prolongement de l'axe Gy. Si Ton . veut alors que la constante c soit encore positive , ou que le mouvement ait lieu de Gx, vers Gy^y il faudra qu en prenant toujours pour Gx,, le rayon qui coïncide avec GL, quand t = o , on prenne pour Gr;', celui qui coïncide à la même époque, soit avec le prolongement de Go:, quand la rotation de la partie antérieure du mobile aura lieu de gauche à droite, soit avec G^ , quand cette partie tournera de droite à gauche : dans le premier cas, l'angle dièdre des deux angles LG^/ et hGx sera égal à 180^, le demi-axe Gz, coïncidera avec le prolongement de Gz , et Ton aura 0=r 180^; dans le second cas, cet angle dièdre sera nul^ Gis, coïncidera avec Gzy et l'on aura c= o.

Toutes ces conventions sont conformes à celles qui ont déjà été faites dans les n"^ i et 2 , auxquelles nous ajoutons actuellement l'hypothèse que la droite GL , fixe sur le plan horizontal dans le cas que nous considérons, soit dirigée vers le nœud ascendant du plan de Gx, et Gjr,, quand ce plan est incliné, et, lorsqu'il est horizontal, les conditions nécessaires pour que la constante c et la vitesse r soient encore des quantités positives.

(i5). En faisant p = o et^=:o dans les valeurs de P^ Q, R, du n^ 1 1 , elles se réduisent à

Il4 SÛR Lfi MOtrV£MBNT

Les angles «,Oa;, a,0>^, |{,Oil, doot y , y , /, rept^Mmtent les cdsiûas, sont évidetnuieAt tnd^pendants de l'ânglè taritble 9; !«■ valeun connoés de ees cosinus en fôoctiotts des deat atiglss (onstauts 4 et 9

sont

> »= — 6inâsin4, y =- »— sinôcos^» / = cosÔ.

Je les snbstitae, avec lé Taleur prtfoëdente de r, dans les yalcurs de P, Q, R, pois celles-oi dans les formules (/), et ensuite ces formules, k la place de X» Y» Z, dans les équations (2). La densité du ptojeotile étant D% et sa masse m ayant pour valeur

tn !±^ ^(P ^ f»)iy,

je fais en outre y pour abréger ^

3ll^D f^t^tB /

de aorte que leâ Icfttres /« et >ti^ représentent actuellement Tunité . di-visée pdir des lignes de grandeur donnée. Les équations (2) du mouvement de translation , qu'il s'agit maintenant de considérer ^ se changeront en cellefr-ci :

Les premiers termes de leurs seconds membres, c'esfr4-dire, les termes indépendants de la vitesse de rotation , représenteront les trois composantes de la force accélératrice, due à la résistance totale que l'air oppose an mouvement d'une sphère qui aH meut sans tobmer ;

DBS P&OnSCTIX«fi8 DAN9 I^'AIR. ii$

laqusU* rémtaiMjf provifnt, $oit de h différence des pressioM que. le

fluide exerce sur les parties antérieure et postérieure du proieotile , emt du frottement de ce même fluide contre la surface spfaénque. La réi»i»lt»nte de oea trois forces est tangente à la trajectoire du centre G, et dirigée en sma contraire de son mouv^nient ; 9a videur est

en sorte (j^u'elle se compose de deux termes ^ dont l'un est proportionnel au carré de la yitesse^^) et l'autre^ provenant du frottement ,

est simplement proportionnel h la première^ puissance de ^^. Quand.

Qettj9 Tites^ est très petite ^ ce second terme est prépondérant , et la

résistance se réduit sensiblement à /ufk -^^ C'est ce qui arrive , par

exemple ^ dans le cas des très petites oscillations du pendule ^ où la vitesse du mobile est au^essous d'un centimètre par seconde j mais

Itt Qontraire a lieu , quand la vitesse ^ n'est plus très petite j et toutes

les eiqpériences cpe l'on a faites sur la résistance de Fair^ concourent k prouver que c'est alors le second terme qui est insensible par rapport au premier* Toutefois, comme nous avons supposé (n^ 9), que la vitesse A surpasse en chaque point de la surfece, la composantse normale de la vitesse de ce point , et est conséquemment oampurable

à la vitesse ^ , il faudra admettre y en même temps , que le facteur fâ' est très petit relativement à /te , ce qui exige que le rapport - soit une

très p«tite fraction.

Observons, en outre, que dans le cas des projectiles de Tartillerie, dont le mouvement est l'objet spécial de ce mémoire, la vitesse \cl

est très petite par rapport à ^ : pour une sphère qui aurait un rajon

l égal à un décimètre , et qui ferait , par exemple , 5o tours sur ellemême en une seconde^ la vitesse \ cl serait d'environ 1 5 mètres , et

fl6 'sur liE MOUVEMENT

par conséquent encore beaucoup au-dessous de la vitesse de projection des balles et des boulets.

Les équations (g) ne sont point intégrables sous forme finie, du moins par les méthodes connues; et même, en ayant égard à la petitesse des constantes /u! et jcly ce n'est que par des calculs très compli-* qués que l'on parviendrait à en déduire des valeurs approchées de x, jr, Zy dans le cas général où le mouvement du centre G a lieu suivant une direction quelconque. C'est pourquoi je me bornerai à considérer successivement les deux cas particuliers où cette direction est à très peu près horizontale et à très peu près verticale.

(x6). Je supposerai donc, en premier lieu, que la composante verticale ^ de la vitesse de 6 demeure très petite pendant toute la

durée du mouvement ; la composante horizontale ^ est nulle , pour

t=i o, par la supposition que le plan vertical du mouvement initial est celui des a: et je j et elle reste aussi constamment très petite , parce qu'elle n'est due qu'à la rotation du mobile. Je négligerai, en consé-

quence, les carrés de J et j, d'où il résultera ji"^ dt* ^^ n^ligerai également les . termes des équations (g) , qui ont pour facteurs la vitesse cLet l'une des comiposantes ^ et -£. Ces équations deviendront, de cette manière ,

En intégrant la première , on aura a étant la constante arbitraire, qui représentera la valeur initiale et

BBS PR07BCTII<SS DANS L'AIft. i,»

donnée de ^. En intégrant une seconde fois, de Ofianière qu'on ait X = o pour < = o, il vient

équation qui fera jconnaitre la valeur de x en fonction de < , ou réci-* proquement. On aura, en même temps,

dx akft

dt (^ + ^^0^^**-^

Pour intégrer la troisième équation (A) , je fais

as ^^^ fdx dt — * "S*

En vertu de la première, on en déduira

^ S = — é? — ; /u^cfein flcos4e--' ^i

d'après la Yaleai' précédente de -^^ on aura donc

^ [(afi -h kfi') c^'** — a^] — i lufclsin 9 cos 4*-" j

ibc

et si Fou intègre et que Ton multiplie ensuite par ^^ il en résultera

'^'^ sin d cos4 (I - e--) f i ^^

6 étant la constante arbitraire ^ ou la valeur de ^ relative à f = o , c'est«-à*dire la tangente de l'angle que fait avec Taxe horizontal Ox,

,,e SUR hn MQvmfaNT

la diiBçtion ioitial^ du point Q , comprise par bypQthè» (o« i) , dans

le plan vertical des x et z. Cette constante devra élre nne très petite fraction • on la supposera positive , c'est-à-dire que l'on supposera le projectile lancé au-dessus du plan horizontal passant par son point de dëpart : en négligeant son carré^ a sera la vitesse initiale de 6. En mettant pour J , sa valeur àào» cette dernière fonuule , et lu-^

tégrant ensuite de manière qu'on ait « = o quand t=Oj on aura la valeur de z en fonction de /. Cette valeur se composera de trois parties : les àexqi premières s'x)btiendront immédiatement j la troisième se calculera par les règles relativea eux fractions rationnelles, mais seulement lorsque le rapport numérique des constantes f*'k et A , ou des exposants f*'kt et Ai, sera àonmé.

On trouvera de même

| = -^cos«(. -O^. W

dix

en observant que f = o quand f = o. Après avoir mis pour ^ sa valeur, si l'on intègre, de sorte que l'pn ait aussi ^ = « pour ï = o, on obtiendra la valeur de^ en fonction de t, c'est-à-dire, la déviation horizontale du point G h pn instant quelconque, à gauche ou à droite du plan vertical des x etz, selon que la valeur àej^ sera positive ou. négative (n° i).

Elle est , comme on voit, indépendante de l*angle 4 q^e fait Tinter^ section GL du plan parallèle au mouvement de rotation et du plan horizontal, avec la droite Gx. L'intégrale y(i-«-»'yf «t la constante c éuntdes quantités positives , il s'ensuit que cette déviation j sera négative ou positive, selon qu«e l'ângie 9 8«ra a^g^ ou obtus; ea «orte qu'elle aura lieu dans le même aen^^ pendant toute la durée du mouvement. Quand le projectile tournera autour d'un axe horizontal, on aura fl = QO" , et la déviation horizontale sera nulle , comme cela doit être évidemment. Lorsqu'il tournera autour d'un axe vertical, la déviation se fera à gauche ou à droite du plan des « et « , selOQ qu'on aura

DES ^ïtôïttfnUfiS DANS L'AIR. tig

ft e& x8d^ OU 9 i«: ^ cm bîtb , d'Après ce qa^on â dit plw haut (a"" 14) y Béloû que rkëmisphéN anjtérieuf du' projectile tournera da gauche à droite ou dans lé Muft oppd6ë< Cast oe que Fou peut auni r^ardér tomme âvideut à ption^ 61 Vbn oonsidère que cette dë^iation est due à Téxoèft dé la déûàitë de Tàir en avant du j^ojedtile^ sur sa denwitë en arrière; e&eès qui doAne Ueu à un plus grand frottement du fluide» «outre rhëtnidphère antérieur ^ et à un moindre contt^ lliéaiisphène postérieur ! or, sr l'on supposé ces frottements transportés Tun et l'autre au point G^ avec leurs iutènsités et dans leurs directions, il en résultera une force horizontale qui poussera ce point dans le sens du plus grand frottement ou eta âens contraire de ta rotation It laquelle il répond , c'est-à-dire vers la gftUéhe , quand lee points de la partie antérieure du projectile tourneront de gauche à droite y et vers la droite 9 loréquHls tourneront de droite à gauche.

La déviation verticale du point 6, produite par.îa rotation du noLohile, aura pour expression Tintégrale du troisième terme de la formule (/) , niultipiié par dt. Elle aura lieu dans le ïnéme Sens pen^ dant toute la durée du mouvement y et sera égale à chaque instant , au produit de la déviation horizontale et de tangO cos 4* U s'ensuit qu'elle s'évanouira , soit quand le corps tournera autour d'un axe vertical, et que Fou aura en conséquence 19=6 ou ô=:i8o^, soit quand le plan parallèle à la rotation sera perpendiculaire au plan vertical des j: et is, ou que l'on aura 4 = 90^ ; et , en effets dans l'un et l'autre cas, tout étant semblable autour de la verticale Gz, la rotation ne peut ni élever ni abaisser le centre G. Si le projectile tourne autour d'un axe horizontal et perpendiculaire au plan des xet Zj la déviation verticale sera positive ou négative selon que l'angle 4 s^ra aigu ou obtus, ou ce qui revient au même, d'après les conventions du n^ ^4^^^^^^^^ ^ points de ifhénikisphère antérieur tourneront du haut vers le bas ou du bas vers le haut. Or , cela est encore évident à priori; car si l'on transporte au centre Q. les frottements de l'air contre les parties antérieure et postérieure du mobile, l'excès du plus grand frottement sur le plus petit poussera ce point dans le sens du plus grand, ou

ilg SUR LE HOUVBMSNT

en sens contraire de la rotation à laquelle il répond, et tendra , par conséquent, à élever ou à abaisser le point G , selon que les points de l'hémisphère antérieur tourneront en s'abaissant ou en s'élevant.

La ^leur de x en fonction de t^ déterminée par Téquation (i), est indépendante de la rotation ; mais cela tient au degré d'approximation ou nous nousjsommes arrêtés : pom* connaître l'influence de la vitesse c sur cette distance x ^ il faudrait substituer dans le second membre de la première équation (^), les formules (/) et (A:) à la place de

2^ et -^9 ce qui introduirait dans son intégrale, des termes très petits

par rapport aux valeurs de ^ ®' 5î ' î^* auraient c ou c^ pour facteur, et dont nous ferons abstraction»

(17); Dans le mouvement des projectiles de Fartillerie, le temps t est toujours très court, du moins depuis l'instant du départ jusqu'à celui où le mobile atteint le but, ou retombe sur le terrain. Par cette considération ^ on pourra simplifier beaucoup le calcul des coordonnées Xy Y y ^^ dci point G, en développant les exponentielles contenues dans les formules du numéro précédent, en séries très convergentes, ordonnées suivant les puissances de t.

De cette manière , nous aurons

^-xi = I A* ^ etc., ef"'^ = I H- fJkt -j- i ^'-AV* -f- etc. ; d'où il résultera , à très peu près ,

dx a

dt i + (d^+V)<'

d% -tdx gi dx I ^dx ^ t 1 ' Êi t ^dx

di = ^Tt — ^Â-;ê^^'^~i^^^smflcos4.f^.

A caase de la petitesse de //! par rapport à >, on peut, pour plus de simplicité, mettre Hyu au lieu de aiu-{- k/uf dans la 'première de

DES PROJECTILES DANS L'AIR. lai

ces équations (Q. En intégrant, on aura alors

fê o*\ I / X 0^

Je multiplie les deux autres équations (/) par dt^ j'j substitue cette valeur de t^ et j'inti^re' ensuite; il vient , tout(^ réductions faites ,

f$€lCQ9$

jr = — '^^i?-(«'" — f*x — i),

pour les deux équations de la trajectoire à double courbure du centre de gravité G.

Quand ce point G sera parvenu à la distance x du plan des j^ et z^ la quantité retranchée de bx dans la valeur de Zj exprimera la hauteur dont il se sera abaissé au-dessous du plan perpendiculaire à celui des jk et z^ dans lequel il a été lancé y et dont l'équation est z^=^bx. Cet abaissement sera donc augmenté ou diminué par l'eflTet de la rotation y selon que le dernier terme de la valeur de z ^ sera négatif ou positif» Si ce terme est positif, rabaissement total pourra être rendu négatif, auquel cas le centre G sera soulevé au-dessus du plan dont il s'agit , du moins pendant que le temps t ne sera pas devenu assez grand pour que la valeur de z qu'on vient de calculer ne soit plus suffisamment approchée. Dans le cas général où le dernier terme de cette valeur sera très petit par rapport au second, on déterminera , de la manière suivante , Tinfluence de la rotation du projectile sur la distance à laquelle il vient retomber sur le terrain , et qu'on appelle la portée horizontale. En négligeant le carré de jr , cette distance sera la valeur de jc, autre que zéro , qui répond à z=o. Si donc on désigne la portée par tm , quand on néglige le dernier terme de js, et par 4v + « ^ lorsqu'on j a égard ; si de plus on néglige le carré de f , et même sa première puissance dans ce dernier terme, on dé-

duira de la seconde formule (m) y ces deux équations :

La prëhiièrà est Fëquation transcendatité que l'on emploie ordi** uairement à la détermination de la portée, dans le cas du tir sous un petit angle. Elle n'a qu'une seule racine positive et différente de zéro : pour cette racine y le coefficient différentiel de son premier membre y c'est-&<<lire le coefficient de § dans la seconde équation, est négatif; d'où Fon conclut que la valeur de ey tirée de cette seconde équation, aura un signe contraire à celui du produit sin dcos^* Cette valeur atteindra son maximum jtoates choses d'ailleurs égales, lorsque le projectile tournera autour d'un axe horizontal et perpendiculaire au plan des x et z. Dans ce cas, on aura 9 = 90®, et 4 = ^ ^^ 4^= 180^^ selon qu'on suppo*sera que les points de l'hémisphère antérieur tournent du bas vers le haut^ ou qu'ils tournent du haut vers le bas; par conséquent, dans la première hypothèse, la valeur de i sera négative^ ef la portée se trouvera diminuée par la rotation du mobile, tandis que dans la seconde supposition , cette valeur sera positive , et la rotation aura augmenté la portée : résultats conformes à ce qui a été dit plus haut, relativement au sens de la déviation verticale produite par cette cause.

La déviation horizontale du point G , qui a lieu quand il retombe sur le terrain, se déduira de la première formule (m) en j faisant a; = rm. Si on la désigne par J", que l'on y mette pour f/ sa valeur relative à une sphère pleine ou à /^ = o, et qu'on ait égard à l'équation d'où dépend la valeur de ^ar, on aura

en faisant, pour abréger,

'S (ef^^ — fêfm ^ i) „

DES PBOJSCTIXJW SANS b'AIR. loS

On voit que. la grandeur de cette dé?ûàtk>n totale est iodiépend/iiite du rayon / du projectile. Son signe ^ contraire à celui de cos ô^ estconibrme à ce qui a été dit daiie le! rmméxo pwSeédent.

Jie n'ai pas conoaissaoce que IVm ait fait an«iineei^p^i*ience snr le frottement de lair qui psnisse ^WTlr a ^été^vmivm k JK^mbjrç n'j et, faute de cette donnée , on ne. pourra pas réduire en nombre cette valeur de ^, quoiqu'elle soit présentée sous la forme la plus simple.

(i8). Je passe maintenant au cas où le projectile est lancé verticalement, et où son centre G s^écarte très peu de la verticale Ojs, pen* dant tout le mouvement.

En désignant par a la vitesse initiale et donnée du point 6, on aura

<fe dT dx

ar = ^^ Ti = ^y Tt = ^> ^ =^ o, j = o, X = o,

pour t = 6; conditions d après lesquelles pu déterminera les six constantes arbitraires qui seront contenues dans les intégrales des

équations (g). Les composantes lumzontales -^ ^t ^ demeureront

constamment très petites. En négligeant leurs carrés, on aura donc

ds I dz

Si =^ ± -^j

et 3^ pour que la difFéreutielle 1/5 soit constamment positive (n^ 12), ainsi que dtj on prendra le signe supérieur dans la partie ascendante de la trajectoire, où dz est positive, et le signe inférieur dans sa partie descendante, on dz est négative. Gela étant, si l'on néglige aussi les

produits. de la ^ vitesse çl et de lune des composantes s" ^^ ^y ^^ éfiialions (g) deviendront

•3F -+- (,^* ± f*-dt)w = - ér.

1^4 SJjn. LB MOVVBMBNT

Par le point O y je mène dans le plan des xety^ deux axes rectan-» gulaires Ojc^ et O/ y tels que chacun des angles x^Ox et j^Gy soit égal à 4? Gt que Ox' coïncide avec la position initiale de GL. En désignant par j/ et y les coordonnées horizontales de G, rapportées à ces nouveaux axes, ùous aurons, par les formulés connues,

j/ = X cos4 — r sin 4 > y == ^^^^ 4 -^ JCÙ8 4- Les deux premières équations (n) se changeront en celles-ci :

dans lesquelles l'angle 4 ^ disparu, comme cela devait être, puisque la direction initiale du mouvement étant verticale, sa projection horizontale Ox serait tout-à-fait arbitraire. En les intégrant et obser-

vaut qu'on doit avoir "^ "= o et -^ = o quand t es o , il vient

l'intégrale indiquée étant aussi nulle pour fszso. L'ordonnée j^^ sera donc constante ; et comme elle est zéro à Forigine du mouvement , il s'ensuit qu'elle le sera pendant toute sa durée et que le centre G demeurera constamment dans le plan vertical des z et x^. CTest eâectivement ce qui doit avoir lieu ; car l'intersection GL du plan parallèle à la rotation et du plan horizontal , conservant toujours la même direction (n^ 14)9 parallèle à l'axe Oj/, il n'y aurait aucune raison pour que la rotation fît dévier le centre G, m d'un côté ni de l'autre ,

du plan des z et x'. L'expression de -^ montre en outre , k raison de

la quantité ^ contenue sous le signe /, que la vitesse horizontale

du centre G , dirigée vers le nœud ascendant L de cette intersection GL, est continuellement croissante pendant l'élévation du mobile.

DBS. F&OJflCTILB8 DANS L'AIR. 135

et conti&aellement décroissante pendant sa chute; ee qaou peat encore regarder comme évident à priori ^ du moins lorsque le projectile tourne autour d'un axe horizontal , et qu'on a d = 90^. En effets d'une part, le plus grand frottement a lieu pendant la première période du mouyement, à la partie supérieure du mobile , et pendant la seconde, à sa partie inférieure; et, d'un autre côté, cette dernière partie tournant oonstamment du noeud ascendant vers le nœud descen* dant, il en résulte que la différence des frottements supérieur et inférieur doit pousser successivement le centre G dans les deux sens opposés, comme nous le trouvons. Quand le mobile tourne autour d'un axe

vertical , on a d s= o ou dc=: 180^; il s'ensuit -^ ^ o et a/==¥o; ce

qui doit être évidemment , puisque alors il n'y a aucune raison pour que la rotation fasse sortir le centre G, de la verticale O9 autour de laquelle tout est parfaitement syrnétrique.

On pourrait intégrer la troisième équation (n) en conservant dans son premier membre, le terme /u'A; mais pour simplifier leç résultats ^

je supprimerai ce terme par rapport à +A^2 • ^^ ^^ supprimant aussi

dans le premier membre de l'équation relative à x^ , nous aurons à considérer, dans le numéro suivant, les deux équations :

3? it /* 3? — ^ Sr . . .

d'x^ , ds dx i . ^ . ^ ..dm [ \Pj

(iq). En prenant d'abord le signe supérieur dans la première, intégrant et déterminant la constante arbitraire, on trouve

«V/gÂi = arc(tang = a v/j) — arc (tang = J v/?)i d'où l'on tire réciproquement

diV g

ifi6 smi XB liowBiiXBrr

et ea mtegra»t une secande foi», de aorte qn'tm ait- se» d poar U^o^ il vient

Mog (cos^ Vg^ H-. a V^Jsin t Vgf^.

deMgQ(

pondant à ^ a±: 05 im ania

Vg/4, = arc(tang = ^V^J),

et par coAsëquent

En désignant donc aussi par h^ la plus grande hauteur à hMpielle le centre G parviendra^ on la valeur de j^ relative k t^saif^ il en résoltera

Je prends actuellement le signe inférieur dans la première équation (o) , puis j'intègre de manière quon ait f :*= ^ et z = A, quand

^ = o: il en résulte

Je représente par t, le temps de la chate; il landra qne cette dernière valeur de js se réduise à zéro pour f = /^ -+- f^ j d'après la valeur de h , et en passant des logarithmes aux nombres > un aura donc

DES -FBOVBCnUM JïkVB l'AIR. t j»

d'où l'on 'tire

f, v^ = log(« v/j -4- v/^ +7O'

et , par conséquent ^

('' -4. VÇ^ = arc (ung = ^ V^H ^^êC^ v/j^ v/~?)-

Le temps total <^+'/ de 1 élévation et de la chute successives du mobile peut être donné par robservation ; et cela étant ^ cette dernière équation servira , si Ton veut, à déterminer la valeur de /uf relative à la sphère que Pou aura projetée verticalement, en supposant connue la vitesse de projection a. Cette formiile et les précédentes ne dépen-^ dent pas de la vitesse de rotation j ce qui tient au degré d'approximation où nous nous sommes arrêtés.

Dé la seconde équation (o) , on déduit

rintégrale étant prise de manière qu elle s'évanouisse avec t. Pour des valeurs de t moindres que <% on prendra les signes supé-^

rieurs dans cette formule, et l'on y substituera les expressions de ^

et des exponentielles e^ et e^, qui se rapportent à l'élévation du mobile. L'intégration indiquée s'effectuera par les règles ordinaires; mais Pëxpression de dx^ qui en résultera ne pourra s'intégrer pour en déduire la valeur de a/ , que par la réduction en série, ou par la méthode des quadratures. De même, pouî* des valeurs de t plus grandes que f , on prendra dans la formule précédente les signes inférieurs ;

après y avoir mis pour^, e^'^ ^""^j leurs expressions relatives à la

chute du projectile , on eflEectuera immédiatement l'intégration indiquée^ et ensuite , de l'expression de da/ , on déduira la valeur de a/ , par la réduction em série ou par les quadratures. On pourra ainsi caW

laS ^UBi LE MOUVBMKNT

culer, par exemple^ la déviation totale du point G, qui aura lieu à partir de la verticale Ojs et dans le plan de cette ligne et de la droite GL , lorsque le mobile retombera sur le terrain ; déviation qui s'observera du coté du nœud ascendant L, quand sa valeur sera positive, et du côté du nœud descendant y quand elle sera négative.

§ in . Influence de la non-sphéricité du projectile , $wr son double

mouvement de rotation et de translation.

(lo). Quand le projectile n'est point un corps composé de couches spbériqu^ et concentriques y dont chacun.e a la même densité dans toute son étendue, il faut supposer qu'il s'en écarte très peu, afin de pouvoir intégrer les équations de son double mouvement par approximation. Dans cette hypothèse, qui convient eflfectivement aux projectiles de l'artillerie, la solu,tion di) problèiiie exigçra encore une analyse fort compliquée que je vais exposer avec tous les développements nécessaires et aussi simplement qu'il sera possible.

Pour un corps de cette forme, Finfluence du frottement sur ses deux mouvements sera à très peu près la même que s'il était tout-^fait sphérique; et cette influence ayant été déterminée dans le para* graphe précédent, on en fera maintenant abstraction, et l'on aura seulement égard a la pesanteur et à la résistance proprement dite du fluide, normale en chaque point de la surface du mobile. Lorsque l'on aura calculé , par exemple , les déviations horizontale et verticale du centre de gravité, qui seront dues soit à la non-sphéricité , soit à la noui-homogénéité du mobile, on y joindra celles qui se rapportent ^ un co^ps sphérique et qui proviennent du frottement de l'air. Si rpn veut, on y ajoutera aussi les déviations correspondantes à la rotation de la Terre, que j'ai considérées dans un autre Mémoire, et même celles qui pourraient être produites par le vent dans un air qui ne serait pas en repos': les sommes des déviations partielles du

df^

d^z di^

DES PROXBCTILES BANS L'aIR. tag

centre G , daes à ces diverses causes isolement ^ exprimeront à fort pea près ses déviations totales y résultantes du concours de ces mêmes causes.

Gela posé , je supprime dans les formules (7) , la partie correspondante au frottement de l'air; puis je les substitue dans les équations (a) et (3) qui deviennent

= — nD/)V* cos Ad!j , = — nD/,V^cos/t6i/(r,

= — nDf y -"cos fdtr y ) (A)

A«/j9 -h (C — B) rqdt = nDf^(z, cos ^, — //C^ VVtr , Bdg -i- (A — Cyprdt = nJ)f,(a:, cost, — a, cos X^Y^da , Cdr -H (ÎB — A) qpdt = nD/) (j^^ cos A, — ar,cos /*,) V^ ,

où Fou devra se rappeler que les intégrales indiquées par f^ ne s'étendent qu'à la partie antérieure du projectile, dont le contour est déterminé sur sa surface, par l'équation (6) ou V==o.

Les valeurs de cos A^, cos^^, cos v^j seront toujours déterminées par les formules (5) qu'il s'agira d appliquer à la surface particulière du projectile , et d'où l'on déduira ensuite , au moyen des formules (16) et (17), les expresisiotas des quantités Y, cos A, cos^, cosv, relatives à un point quelconque M de cette surface.

(!2i). Désignons par p le rayon vecteur GM de ce point, et par A^, fjj j /, les cosinus des angles qu'il fait avec les axes Gx,, G^, , Gz,, de sorte qu'on ait

pour les coordonnées de M , et en outre

A'2 ^ fjj* + /•=!.

De Féquation (4) de la surface , on tirera une valeur de p que l'on pourra représenter par

p = /(l -4- II/)}

l3o sua LA MOI#VBMBNl*

/ étant .le rayon .d'une (fdiÀre ^gnivateate «a Yoluœe àceluiidu prcH jectile , u désignant j)ne< onction. idonnëei âo ?i' f.^u! ^V ^ût^ ane cons^ tante qui sera une très petite fraction. On aura réciproquement

f^vx:+f] + z% A'=î^, ^'=.-r., /=î.j

et Ton devra prendre

pour la fonction / qu'il faudra substituer dans les équations i(â).

Dans tous les calculs suivants, nçtis négligerons le carré de 6^ mais après avoir déterminé ks valeurs approchées des inconnues, en ayant seulement ^ard à' la première puissance de cette fraction, on pourra, si Ton veut, tenir compte successivement de son carné, de son cube, etc., par la méthode connue des approximations successives, dont l'application ne présentera plus d'autre .difficulté que la longueur des calculs: Tapproximation à laquelle nous nous bornerons, suffira pour rendre raison de toutes les circonstances que présenteront les deux mouvements du projectile , et . pour apprécier l'influence de sa figure et de sa rotation sur la justesse du tir.

D'après la forme de la fonction f^ on aura

j^ ^ hiL ^Idti/ ^u^ ^'^^ ^h^ ^

Je mets pour p, x^, jr,^ z^y leurs vaknrs dans ces formules, et seulement / à la place de p dans les termes qui tmt t pour 'fiœteor ; il

DES Enoifimids DANS l'air. i5i

en réssbe

dXf djTf

dzf

du , l%0

en faisant, pour abréger,

^ I du ^ I du X i du V.

et puisqu'on néglige te carré! de «, if s'ensuivra

y dx\ ^ dy» ^ ds' * '

par conséquent, en vertu des formules (5),; ces. valeurs, de ^, £•> J:,

seront celles de CMJ^/, <Ktô/M>> coftr,. ElleB.diiSèttetitvès'pMr de A^, /u.% y'; ce qui doit étre^ ea effets parice qae la normale «aa point. M s'ë^ carte fort peu du prolongement du rayon GM.

De ces T8le«r5 , on déduit

«,cos^,— jK,cosv= ^{fJ^^—^^y jr,cos^-~^,eo8A, « /,(/^.aV^), J (C)

Les formules (16) deviendront en même temps

CQS A a