COS

= At"-

cosr =

OÙ Ton désigne par a'', ^", /', les cosinus des angles compris entre le

l5a sua liB MOUVEMENT

rayon GM et les droites Gx^ Qt» Gzy de manière que l'on ait

»?<' -+- Cf*' H

d'après la signification des neuf quantités ck^ Cy etc.^ (n^ 7)^ et où Ton fait aussi , pour abréger ^

du ^ du

f du ' fié du

/ du

J/ à» . Mi au

* d^' -^ ^ df,'

Je mène par le centre G , la droite GH tangente à la trajectoire et dirigée dans le sens de son mouvement; puis f appelle Ç l'angle HGM compris entre cette droite et le rayon GM, de manière que ds étant

rélément d^ cette courbe , ou ^ la vitesse du point G, sa composante

suivant GM soit ^ cos ^. D'après ce que représentent les quantités x'j y y z' y au n"^ 7, et ce qu'on vient de désigner par A% /u% ^^ nous

aiirniis

aV -4- ^y -f- i/z*- = Jcosi^;

au moyen de quoi, et des valeurs de cos \y cos^,, cos y,, exprimées par les formules (B), l'équation (17) deviendra

De plus les cosinus A', /w', i'^et les cosinus A" j j«*", /', répondAut à

DES PKOJBCT1LE3 DANS L'AIR. l33

une même droite GM, et à deux systèmes différents d'axes rectangulaires auxquels se rapportent les cosinus a y é^ etc. , nous aurons

h cy -^- é"/,

H yffi" -^ yv.

Enfin f si Ton cosigne par h langle que fait la projection de. GM sur un plan perpendiculaire à GH et passant par le point G y avec une droite fixe menée arbitrairement dans ce plan et par ce point ; et si A, A% etc. , représentent les neuf mêmes cosinus que dans le n^ 1 2 9 on aura

a'' = Acos2^ -4- A^sinÇcosn -f- i^'sin Çsinv, Ac" = iiCOsÇ -4- A'.sinÇcosi» -h A^sinÇsinif, \ (G) i/' c= AjCOsÇ -H A'sin^cpsif -j- A'sin ^^sinn.

(22). Telles sont donc les diverses valeurs que Ton devra employer SOUS les signes f, , dans les seconds membns des équations (A). Les coefficients de i/er se trouveront exprimés en fonctions des deux angles Cet If ^ variables d'un point M à un autre de la surface du projectile y et de quantité communes à tous les pointe du mobile y qui varieront ayec le temps t. C'est par rapport à ces deux angles que les intégrales y), devront être prises »^

L'élément de la surface sphérique dont le centre est G et le rayon /) y aura pour expression p^ sin t^^dm , et sera la projection sur cette surface^ de l'élément do- de la surface du mobile au point M* Si l'on désigne par i langle aigu que fait la normale en ce point avec le rayon MG, on aura, en conséquence ^

On aura d'ailleurs

cos idr = p* sin t/it^dii.

COSI = a' cos A, -+•' /t^^COSyU, 4- /cOSr;;

i34 SUR i^B MouvBimm?

quantité qaeieB fioimulas. (R)« prise» pour les y«leii]»>d# cosiA^, cos/i^^ cos f,, rédainmt à Fimiti^. En ayaikt 6§srd: il la . valeur â/^ p,, et parce qu'on néglige le carre de f , on aura donc simplement

Pour étendre les intégrales doubles indiquées pary), à toute la partie antérieure^u projectile , il faudra les* prendre depuis '^^ o jusqu'à une valeur de ^ en fonction de n , donnée^par IMquation Y ss o^, et ensuite depuis If :2=o jusqu'à n= htti Or, d*après= la formule (B), cette valeur de Ç différera très peu de Itt; en sorte qu'on pourra' la représenter par T TT -f- f A , en désignant par k une fonction de fi dont * la valeur nous sera inutile à connaître. En effet , soient n et û deux fonctions quelconques dé Ç et h ; en négligeatit le carré de t , on aura

fj' + '^{n ^ fû)sinCrfÇ = f^in ^ fû)sinCi/;r .+- itn'-,

V et n^ étant, les valeurs de ^ et n qui) r^)oiidoiit à Ç sirr. On aura par conséquent

y;(n^ rfi) d^-^^frf'^ (n -^ €0 + 2fan) sin^;»^ -^^^fT ^'"'^''i

et comme dans chacune des intégrales f^ que contiennent les seconds membres des équations (A) , le coefficient de dxx a V* pour fkcteur , cest-à<^ire une quantité dont la partie indépendante de i s^èvanouit, en vertu delà formulé (E), pour Ç==i^, iî s'ensuit que pour ces intégrales, la quantité n' sera zéro; par conséquent ^ il suffira (fe les étendre depuis C = o jusqu'à Ç=ri ^rj ce qui en simplifiera beaucoup le calcul. Mais pour effectuer ces intégrations ^ il faudra préalablement faire des hypothèses sur l'expression de u en fonction de a\ fji ^ / ; et nous choisirons successivement celles qui seront le plus propres ' montrer les influences distinctes de la non«^héricité et de la noi

a non-

DES ^MXnBCTILJR 4>AN8 L'AtR. i55

kômogënëité en projectile ^rar son : double moayement. Dabs :ce ^ui ¥a suivre ) -il Ae .sera quMtiAii que de la pisemîère .cause : l'examen de la seconde sera Fobjet du quatrième paragraphe de ce Mémoire. (23). Supposons que le projectile soit un ellipsoïde homogène , à trois axes inégaux , mais très peu différents entre eux. Son centre de gravité G et ses axes priiicipaux Ga:^^ ^Yij ^^/> ^tant son centre et ses axes de figure ^ réquation 4e sa surface sera

I +!f ^ ï+TT' ^ 7+Tr '

f^f^f\ étant d.es' constantes données, positives ou négatives , de sorte que ^f^ %f^ %f\ soient de très petites fractions, et les trois demiaxes très peu différents de /. En négligeant le carré de t , son volume

aura ^^ f^ "+- 5 * C/^'^-/* -♦•/'Ol î P^^** ^"^ ^i* équivalent à celui de la sphère dont le rayon est /| il faudra donc supposer qu'on a

Si l'on met pA' > p/tt% p/ , à la place de ti^jy^jZ^y dans f équation précédente de la surface^ on en déduira

en comparant cette valeur de p à celle du n^ 3 1 , nous aurons donc au moyen de quoi Féquation (E) deviendra

• [(/ -f)P^f*' -H (/-/O 9^'^ -*- CT' -y) rAe'A'J.

En vertu des équations (G) , les intégrales contenues dans les trois

t36 SUR liB MOOrVfiMBHT

dernières équations (A), ayant t f^va fiictenr, il «iffira -d'y mettre - cos C à la place de V, et ^ sin Çtii^cfti au lien de dr. D'après ces équations (C) et la valeur de u, il en résultera

f,f,cos A, - :c,cos^,) Viir= </-/') P^/;'/^ ^'^'cos'C sin Ç<rfn.

Au moyen des formujes (F) et (G) , et à raison des limites de cette dernière intégrale double , on trouvera pour sa valeur

r>/*VVco8?CsinÇ<</ii=^[*C(A* H- lh"^'jf^")

-H («'é"H- *"€') (*.*,-+- I A'.A: -^. i AX) ] ;

mais, d après ce que les neuf quantités A, A,^ Aa, etc. , représentent (n'' 12), on a

hK ■+■ h'K -^ ^'K == o , hh^h'h H- h"h: = o , hA-i-h'X-^ h'X = o î

ce qui permettra d'élimioer de la formule précédente, les six dernières de ces .quantités ; et comme les trois premières ont pour valeurs

y dx j ' ifjr j ^ dz

DES PlipjflCTILES DANS L'AIR. 1S7

et que Fon a d'ailleurs

on trouvera que la valeur de cette troisième intégrale double peut se mettre sous la forme : .

/;>/-,v.o..î.i. w* = fc (. f + 4+.- D (c ^+f l + c*).

On exprimera semblablement les valeurs des deux autres intégrales doubles; et eu ayant ëgard aux équations (i3), on en conclura finalement

/ (*, COS f., ~ y,ÇX>S V^ = ^ (/ -/) Pzy,

/(x,cos»,-*,cosA,)V'cir=^C/"'-/)P^*'»} (I)

sxf , jf ^ 7!^ étant ici^ comme dans le n^ 7 , les composantes suivant les axes Gx^ , Qy\ , Gz^ , de la vitesse .g/ àxf^ centre G,

' {a4)* Gonsidéron» actuellemeot les intr^gralesy) comprises dans les éq[uations du mouvement de translation , et par exemple , celle que renferme la première équation (A). .

En vertu de Ta formule (H) et A» la première équation (D) , et en observant (|ue d'après les valeurs de f et u des n^ 21 et ad^ on a

? = au = y-/' ^ ^"f •-+- ^% on trouvera d'abord

lS8 SUR LE MOUVEMENT

f, V' cos J^ff z=i 1^% fl'fT^' eos^'Csin ÇrfÇrfn

- '^ s^ /o'To" ^'^f -*- ^'^'z -^ ^^ ~^ ^«'^ w*

De la première formule (C), on déduit immédiatement

/o''//^ A" cos> Cs»n W*" = î ''* == î '' ^•

Au moyen des équations (F) et (G) , et des relations qui existent entre hy Vf etc. , aussi bien qu^entre «, <&', etc. , on trouvera, sans difficulté,

f:'f^(>^T -^ ^y H- /«y)A"cos»Csin c^**»

= ^ [A(«* -H «t'A, -4- a'^)' -h a«(a H- a^A, -*! oUK) -+- *]

^-î^ [*(€* H- CA, -H €"*,)• -u aC(a -t- €'A, -+. C'A») -h A]

Donc, à canse des valeurs de A, A, » A^, et des ^nvittka (i3) , nous aurons

C(*'-iS*^«'$)/'*(/'^ * >«y a)/'-^ («'•3+ »>''Sy]

On trouvera ^ par des calculs semblables ,

DES PBOÏBCTILB8 DÂKS Ii*AlR. ' 1S9

%f;'f^ (yx'y" ^- //e*/ -1- Z'//) A"C08 Çsin ÇrfÇA

De CM diflBIrents résultats , ou déduira la valeur complète de fy^QMXiv. Ou obtiendra de même celle des deux autres ' intégrales y^Vcos Ai^<r et/y* cos ri/tr , de sorte que l'on aura finalement

ou l'on a fait pour abréger,

l4o StJR LE MOUVEMENT

On pçut remarquer que les permutations tournantes dont on a rap-* pelë Fusage dans le n® 13^ s'appliquent à ces formules et à leurs diverses parties , soit par rapport aux quantités relatives aux axes des x^^jr^j js^9 soit relativement à celles qui répondent aux axes des x^X^ z.

(aS). Le volume du projectile étant équivalent à ^, et en désignant par D' sa densité, on aura

pour la valeur de sa masse. D'après les expressions conaues des moments d'inertie principaux d'un ellipsoïde homogène , on' aura aussi

en observant qu'on a f-^f -4-/"=o, et négligeant le carré de «. Je fais j pour abréger ^

Des PROlSCTiLfiS DANS L'AIR. i4l

de sorte que — soit ici, comme dans le n^ i5, une ligne d'une Ion-

gueur donnée 'j au moyen des formules (I) et (J), les équations (A) deTiendront

La question est donc réduite à intégrer le système de ses six équations, jointes aux trois équations (i), çt aux valeurs connues de a^ é, etc. ^ en fonctions^ de 4 9 9y ^7 V^^ ^^^ 9 d'après la remarque du n^ 2 y

et =:

= cosôsin 4siii^ H

k cos4cos^,

= co6dsin4<^os9 -

- cos4sin ç,

= — sin dsin^»

= cosdcos4sin^ -

— sin4ços^,

= cos9cos4cos^ -

^ sin 4 sin ^,

= — sindcos49

= sin 9 sin 9,

E= sin dcos^.

s cosd.

Les seconds membres des trois dernières équations (&) renfermant les composantes x^\ j' y zf y àela. vitesse du centre G suivant les axes

t^o. SUR liB MOUVBMBNT

Gx,j Gy^, Gz,, il s'ensuit qae le mouvement de rotation n'est pas indépendant de celui de translation^ ainsi que cela avait lieu dans le paragraphe précédent. Lorsqu'on fait abstraction des seconds membres des six équations, les trois dernières s'intègrent sous forme finie ^ au moyen des fonctions elliptiques, et les trois premières au moyen d'intégrales d'une forme particulière, qui ne contiennent aussi qu'un seul paramètre. Mais quand on a éga/d aux seconds membres , on ne peut plus réparer les variables dans ce système d'éq[uations différentielles, et ramener leur intégration aux quadratures. De plus, si la vitesse de projection du mobile est très grande ,- comme celle des projectiles de l'artillerie, ce ne sera que pour le cas d'une valeur extrêmement petite de 0, et par des formules très compliquées, que Ton parviendra , en général, à exprimer les valeurs suffisamment approchées des inconnues du problème, qui se déduisent de ces équations. C'est pourquoi , afin de simplifier les résultats et d'en rendre l'application plus utile, nous eu restreindrons la généralité par des hypothèses convenables , Tune relative à la direction du mouvement de translation, et l'autre à la direction de l'axe de rotation.

(26). Je supposerai d'abord que la trajectoire du centre G s'écarte très peu de la droite horizontale Ox j ce qui exige que ^ et ^ soient de très petites fractions dans toute l'étendue de cette courbe. En négligeant leurs carrés, nous aurons donc ^ == jt"? pendant toute la durée du mouvement; et à son origine, noi^s aurons aussi

dx dj di j

en observant qu'à cette époque la vitesse de G est dirigée , par hypothèse, dans le plan des a: et jz, et désignant par a cette vitesse initiale , et par b Tangle que fait sa direction avec l'axe Ox. L'angle by très petit ,. sera supposé positif, afin que le projectile soit lancé au-dessus du plan de x et y. On considérera seulement la partie de la trajectoire de son centre G située au-dessus de ce plan horizontal.

DES PftOXËCTiLKS DANS jJAIR. 14S

Abstraction faite des termes dëpendants de i ^ les trois premières équations (R) se réduiront à

d'x dae

de '^ ^ de ~

rf'r , dx djr

de "^^ dt di~

XO,

de '

dx dz

En intégrant et ayant égard aux valeurs de ^^ ^^ ^^ relatives à t = Oy on aura , à un instant quelconque ,

dx a djr dt aÇ

où Ton a fait^ pour abréger ;

et où gf^ et Ç devront être des quantités du même ordre de petitesse que b y afin que le rapport de ^ à ^ demeure toujours une très petite fraction. Par conséquent ^ si nous représentons par §Uy $9^ 1W9 les parties de gj- , ^'s £^9 qui dépendent de t, il en résultera

dx a , dr dz at

di t+fiat ^^ ^ di ^ dt i-|-/Mi<

pour les valeurs complètes de ces trois composantes de la vitesse du txntM Gty dans lesquelles u^ y^ w^ seront de nouvelles inconnues qui devront être nulksi pour < =£ o , puisque les premières valeurs satisfaisaient déjà aux conditions initiales.

En substituant ces expressions dans les équations (K) , on négligera les termes m^ sPy îw, dans leurs seconds membres qui ont § pour fac-

l44 ^tril LB MOUVEMENT

teur, et leurs carrés dans les premiers membres. D'après les formules (ï3), on aura donc

et , en même temps ,

V' fl'T Y^ ^"^ «' «*'^

en faisant, pour abréger,

Quant aux termes qui dépendent de p^ g y r, dans les seconds membresî des trois premières équations (K), ils sont très petits par rapport à ceux qui les précèdent, à cau3e de leur facteur /qui sera toujours une ligne d'une très petite longueur , et à raison des hypothèses que l'on fera tout-à-Fheure sur leurs autres facteurs {f—f) p , {f—f)q y {f'--f)r \ nous les négligerons , en conséquence ^ dès à présent ; et ^ de cette manière , on trouvera , pour ces équations ,