fMt
fUU^W ^
féom
di
dw 'di
en supprimant le facteur < , commun aux deux membres de cbacuiie d'elles. Avant cette suppression y le premier membre de la pkmnîère renfermait les deux termes : .
/«a*Ç* tf^aZ^
a(i +^«ïi)* ^^ t + ftat
DBS PROJECTILES DANS L^AIR. i45
Od a conserve le deuxième parce qu'il est semblable à d'autres termes du second membre ; mais on verra par la suite qu'il n'influe pas sen-siblement sur le mouvement du projectile* On a , au contraire y néglige le premier, qui est indépendant de iy mais de l'ordre de petitesse de ^ou
i*, c'est-à-dire 5 de l'ordre du cajpré de -^.Toutefois, si l'on jugeait
utile de le rétablir ^ il en résulterait dans fu et x^ des termes négatifs que je désignerai par — w et — /, et tels que l'on aurait
en prenant les intégrales de manière qu'elles s'évanouissent quand / ==o.
On déduit des deux dernières de nos trois équations
et au moyen de cette valeur de %v, la première donne
en faisait , pour abréger ,
et observant que l'on aura , par l'intégration par partie ,
Je substitua ces valeurs dans celles de -^ ^ -^j -^î les valeurs de x,
yj Zy qu'on en déduira , renfermeront des intégrales doubles qui se convertiront comme cette dernière y en intégrales simples ; et il en
rë&ultera
]46 aua lifi MOUVEMENT
,=ll.g(.^^)i«.(?/^-/^)
en faisant ^ ponr abréger ^
de sorte que Ç soit^ ainsi que Ç^, une quantité de Vordre de petitesse de b. Toutes les intégrales indiquées dans ces diverses formules commenceront avec t^ afin que les quantités u^ ^9 <^f ^9 T^ ^j soient nulles pour f =s o.
Ces formules feront connaître les trois coordonnées x^ y-y. Zy. du centre G à un instant quelconque ^ lorsque les quantités (ty Cy etc. ^ qui entrent dans les expressions de T, T', T^'^ auront été déterminées en fonctions de t. On peut remarquer que ces expressions devien* nent beaucoup plus simples, et qu'on en peut éliminer immédiatement six des neuf inconnues tty € y etc. y quand le mobile est un solide de révolution. Si Gz^y par exemple y est son^emi-axe de figure, les quantités/^ et/" qui se rapportent aux deux autres seront égales. A cause de Téquation /•+ /^ -♦•/" = o , qui laisse indéterminée une des trois constantes fyfyf^y on aura f =/'' = — 1 , en prenant /= 2 j et, en vertu des équations (la) , les expressions de T^T' , T", se réduiront à
T = 3(V ~ i) ^ iv/Ç, T" = ayy H- 3(y -t- ay?'» — i)Cf
DES FROJBCTlIiES DANS L'AIB. 147
en sorte qu'elles ae contiendront plus que les trois inconnues > 9 V , y. D'après Fëquation de l'ellipsoïde (n^ a3) y son axe de figure aura a/ -«- nêl pour longueur ; chacun des deux autres axes sera ëgal à al—* 1/; il sera donc allonge ou aplati y selon que la fraction § aura une valeur
positive ou négative ; et abstraction faite du signe , - exprimera la mesure de sa non-sphéricité 9 c'eât-a-dire , la différence entre son plus grand et son plus petit diamètre , divisée par son diamètre moyen.
(27). A l'égard du mouvement de rotation , on supposera que l'axe insrantané GI s'écarte constamment très peu de Fun des demi-axes de l'ellipsoïde 9 par exemple de Gz^ ou de son prolongement; ce qui exigera qu'à l'origine du mouvement et pendant toute sa durée , les vitesses p et g soient très petites par rapport à r. Cette hypothèse suffirait^ sans qu'il fût nécessaire d'eu ajouter aucune autre relativement aux quantités /, /^ 9 f ^ pour qu'on pût calculer les valeurs de py </, r, et celles des angles (p ^ '^y 6^ en fonctions de t\ mais afin de simplifier le calcul , je supposerai en outre que l'ellipsoïde soit de révolution et que Gz^ appartienne à son axe de figure.
Dans ce cas, on pourra prendre pour Gx^ , tel rayon que l'on voudra, de la section du mobile perpendiculaire à Taxe de figure et passant par le point G; pour fixer les idées, je supposerai que ce demi-axe soit le rayon qui coïncidait, à l'origine du mouvement, avec la droite GL dirigée vers le nœud ascendant de cette section sur le plan horizontal des a: et J'y ce qui rendra nulle la valeur de l'angle f ou xjGhy qui répond à f =" o. Le demi-axe G^^ sera le rayon perpendiculaire, à cette même époque, à la droite GL et situé au-dessus du plan des xet^; la rotation initiale autour de Gz,, aura donc lieu de Gx^ versG;^^) par conséquent y la valeur initiale de r sera positive, et ce sera du demiaxe Gz^ même , et non de son prolongement , que l'axe instantané GI s'écartera très peu. Le sens de cette rotation sera donné, et fera connaître, si .l'angle dièdre, formé des deux angles jk,GL et xGL, est aigu ou obtus , et consëquemment si Gz, est la partie de l'axe de figure <^ui se trouvait primitivement au-dessus ou au-dessous du plan des x
l48 iVR LE MOUVEMENT
et/. ËQtîo les valeurs initiales de cet angle dièdre et de l'angle LGjr, con)ptë vers la droite GLà jiartir de Go*, seront données; ce qni déterminera complètement la position du mobile à Torigine de son mouvement* Ces valeurs seront celles des angles d et 4 <IQÎ répondent à / = o, et qu'il faudra joindre à ^ = o.
En faisant/'' =^/S dans la dernière équation (K), elle se réduira à dr=Oy et donnera r=c y en désignant par c une constante positive. Si l'on néglige les carrés de ^ et Çj on aura e^=c^ pour la vitesse angulaire du mobile; ce corps tournera donc uniforméi^nt et toujours dans lé même sens , mais autour d'un axe GI qui coïncidera successivement avec différents rayons de cet ellipsoïde , et ne restera pas non plus parallèle à lui-même pendant le mouvement du point G. En appelant à un instant quelconque, Ç l'angle IGz,,et x langle compris entre Gx, et \â projection de GI sur le plan des x, et j^,, compté à partir de Gx,, dans le sens de la rotation autour de
Gz, , on aura
p == c^cosx, q = c^sin;tv
d'où l'on tire
? = c V;>- ^ ^•j ;^: « arc (tang = p,
pour les formules relatives à la direction de l'axe variable GI, dans l'intérieur du mobile. Si l'on désigne par a! et ¥ les valeurs àe p çii q
relatives à / = o, les rapports 7 et - devront être de très petites
fractions positives ou négatives, et les trots constantes a' j h\cy dé<^
termineront en grandeur et en direction , la vitesse initale de rotation.
Qîla posé, si Ton fait/=:2, f =^ — r, /"= — i, r:=ic\ dans la quatrième et la cinquième équation (K); que l'on substitue dans leurs seconds membres, les valeurs de j/,y , tf , du numéro précédent; et que l'on néglige le carré de ^, elles deviendront
DBS BROJECTILSS DANS L'AIR. 149
Or, pour que les vitesses p et q demeurent constamment très petites, il faudra que les seconds membres de ces deux équations soient aussi de très petites quantités; à raison de la petitesse de / et de la grandeur de a, leur facteur commun n'est pas très petit, à moins que § ne soit, une fraction eltrémement petite; il faudra donc , en ^néral, que les premiers termes €y et ay des trinômes contenus entre les parenthèses, soient de très petites quantités de l'ordre de la fraction ^; ce qui arrivera, soit quand y sera constamment une très petite fraction, soit quand cela aura lieu pour et et pour 6. Le second cas se présente effectivement dans le tir de la carabine rayée en hélices; et pour cette raison, nous allons donner à son examen , tous les développements que Timportance de la question exige.
(28). On suppose Tinclinaison des hélices constante et la même pour toutes. En vertu de cette inclinaison, soit i la longueur d'i^ûe portion de l'axe , pour laquelle chaque hélice , prolongée s'il est nécessaire , ferait un tour entier. Immédiatement avant de sortir de la carabine, le centre G de la balle parcourra pendant un temps r très court, une longueur ar sur l'axe de l'arme; dans le même temps, la fraction d'un tour entier qu'elle achèversr, sera donc à la
circonférence 27r, comme ar est à f, ou égale à ^^; par conséquent
en divisant par t, on aura
Tira
pour la vitesse angulaire de rotation dont le mobile se trouvera animé en sortant de la carabine, et qui aura lieu autour du prolongement de l'axe, c'est-^nlire à très peu près autour de la direction initiale et donnée de la vitesse du centre G. Je dis à très peu près pour plus de
l5o suit LS MOITVJKMENT
gënëralité^ et afin de comprendre dans les calculs suivants, le cas ou par suite d'une petite inégalité entre les inclinaisons des différentes hélices, ou par toute autre cause, la direction initiale de G ne coïnciderait pas exactement avec l'axe de l'arme prolongé au dehors. D'après cette valeur de c, la balle fera sur ello-méme, dans chaque unité
de temps ^ un nombre de révolutions égal à t , ou , autrement dit ,
la durée de chaque révolution aura - pour valeur.
Par hypothèse, VajB de rotation s'écartant très peu de Gz,, il s'en^ suit qu'à Torigine du mouvement , ce demi-axe devra faire , ou un très petit angle, ou un angle très peu différent de i8o^, avec la direction du centre G, et consëquemment un angle très peu différent de 90^ avec l'axe des Zé En même temps , la droite GL devra être à très peu près perpendiculaire au plan des 4P et je 5 où est comprise cette direction; cette droite s'écartera donc très peu de Taxe des J" ou de son prolongement, c'est-à-dire, que la valeur initiale de l'angle 4 différera très peu de trois fois 90^ ou de 90^, selon que la partie supérieure du mobile tournera de gauche à droite ou de droite à gauche ; pv conséquent, si l'on désigne par A et k des angles très petits, positifs ou négatifs , on aura
d = 90^ H- A, 4 =*= ^7^^ -•- A ou 1^. SX go^ ^ kj
pour ï s o.
Dans le cas de la première valeur de 4 9 ou de la rotation de gau-^^ che à droite , le demi-axe Gz^ appaf tiendra à la partie antérieure du projectile , et fera un très petit angle avec la direction du centre G ; dans le cas de la seconde valeur , ou de la rotation de droite à gauche , il appartiendra à la partie postérieure, et ce sera un angle très peu différent de 180^ qu'il fera avec cette direction. En efiet, dans le premier cas, selon que le demi^axe de figure compris dans la partie antérieure du mobile, tombera au-dessus ou au-dessous du plan des x et y y l'angle dièdre formé de Fangle LGx, égal à 270^ -4* A, et de
DES PlIOnSGTlLBa BAKS L^AItli i5i
TangieLG^^, sera un.pea plus petit ou an peu plus grand que 90^ j ce qui suffira pour que Gz, tombe également au-dessus ou au-dessous du plan horizontal ^ et ooïncide avec le demi-axe antérieur : au contraire y dans le second cas , selon que ce demi-*axe tombera au--dessus ou au-dessous du plan horizontal^ Fangle dièdre forme de LGjt , égal 90^ -4^ ky et de Fangle hGy^ j sera obtus ou aigu , et Gz, tombera , en conséquence^ au-dessous ou au-dessus du plan des x et ^j ce qui le fera coïncider avec le demi-axe appartenant à la partie postérieure du projectile^
Pour qu'à l'origine du mouvement, ce corps tourne exactement autour de la droite suivant laquelle le centre G sera lancé, il faudra que Ton ait d'abord A=sO} il faudra en* outre que le demi-axe Gz, soit dirigé dans lé sens même de la vitesse initiale de G, ou en sens directement contraire ; Ce qui exigera que Ton ait aussi A s= =f= & , selon que Gz^ tombera au-dessus ou au-dessous du plan des ;r etr^ c'est-à-dire , selon que la rotation aura lieu de gauche à droite , ou de droite à gauche. Si Ton veut de plus que la direction initiale de l'axe instantané GI coïncide parfaitement avec Gz, , il faudra que €^ et b'
soient zéro. Mais généralement les constantes A, ky-j —, seront de très
petites fractions positives ou négatives dont les valeurs proviendront de ce que^ dans l'intérieur de la carabine ^ Taxe de figure de la balle n'aura pas tout-à-fait coïncidé avec l'axe de l'arme, et de ce qu'en sortant, l'axe de rotation se sera aussi écarté, un tant soit peu ^ du premier axe ^ du prolongement du second.
Maintenant les deux j^remières équations (i) donnent
sin «^ s=s — psinç "^ q cos ^, ^^s± pcosip — ^sin^j
les vitesses pet g ayant été supposées constamment très petites, on en cepcUit que les f itesses ^ et 2, le seront aussi^ dans le cas, du moins,
iSa SUR LE MOUVSMBNT
OÙ d'n-est pas un très petit angle ; par conséquent 4 ^^ ^ s'ëcartenmt constamment très peu de leurs valeurs initiales; et si Ton désigne par Y et 9 des angles très petits , positifs ou négatifs^ dont les valeurs soient h %\ h pour t^=^ o^ on aura , à un instant quelconque ,
== po^ + e, 4 == ^70* -+• * ou 4 = 90^ -♦- V*
Nous négligerons les carrés et les produits dé e, V, *, *. La troisième équation (i) donnera alors d^ =cdt^ et conséquemment 9= ct^ à cause de ^ - o quand f = o. Les équations précédentes deviendront ensuite
2" == — f^sincï — {fcosctf — =?; ^coscf — ^sincf.
On aura ^ en même temps j
« ss db Bsincf db Wcosct^ al' => sinety € == db &Qosct =F Ysincf, 6* = coscf, 1, / = — 0;
les signes supérieurs répondant au cas oà la rotation a lieu de gauche à droite, et les signes inférieurs à celui où elle se fait de droite à gauche. Les équations (M) se changeront en cdles^ci :
^ — -fC^ = A(ecoscf — V sin et dzKcos et). ) ^ •+• 5 iCfi =5 — A(esin c* -h IF cos c/db Çsincf), j
en négligeant les produits ÇB et ^ , et faisant y pour abr^r ,
4v^' — > Kl +/«)• ~ ''•
U s'agira donc d'intégrer le système de ces quatre équatioûd (N) et
DES VROnCTlXiBS DXSB l'AIR. iSS
(O), da premier ordre, linéaires et à coefficients variables ^ ce qui est possible, ainsi quW va le voir.
(29). A moins queTinclinaison des hélices ne soit très faible ou toutà-fait nulle, la vitesse angulaire c sera très grande, à raison de la grandeur de la vitesse de projection a. Si celle-ci est, par exemple, de 400 mètres par seconde , et que chaque hélice fasse un tour entier pour une longueur iàe son axe,, égale à six mètres, la vitesse csera à peu près égale à ce nombre 4oo, en prenant la seconde pour unité de temps , ou d'environ 60 tours par seconde. Les quantité^ sin et et cosc< varieront donc , en général, très rapidement; or, si Ton désigne p%r p'yfgy q'y g,i Vj 9^, 4S 4/9 ^^^^ inconnues indépendantes de langle c/, et qui varieront avec beaucoup moins de rapidité, on pourra satisfaire aux équations (N) et (O) , par les expressions :
p 'sz^ p^ cosct -h g' sin et -^ p,y
q =^ q' cosct — p^ sin et -f- ^,,
e = ¥ coset -f- 4^ sincf h- fl,,-
y = 4' coset — ô' sin et -h 4/7
car en les substituant dans ces éc^uations et égalant , dans les deux membres de chacune d'elles, les coefficients de sin et y coscf, et les termes indépendants de cf , les douze équations que l'on obtiendra de cette manière, se réduiront à huit, c'est-à-dire à un nombre d'équations distinctes , égal à celui des inconnues. On trouvera pour ces huit équations
ao
di
l54 SUR liE MOUTmBMT
dq, , 3
Mais si l'on néglige^ dans les quatre premières^ "^^^éu P^ l'apport à cq' elcp\ ainsi que ^ et ^ relativement à c^ et cW et si Ton y met Tunitë
au lieu de t — - f ^ on en déduira
et ^ en substituant dans les quatre dernières ^ ces valeurs de q\ p\ Vy 4^ il en résultera
dt "*
équations dont les intégrales contiendront quatre constantes arbitraires p au moyen desquelles les expressions que Ton a prises pour p y q y d ^ 4 ^ seront les intégrales complètes des équations (N) et (O). Des deux premières de ces équations (P), on tire
en intégrant, désigant par C et D les deux constantes arbitraires, et ayant égard à la valeur de A, il vient
p; + ,,- = C, arc(t.ng=||)=.[?<« + j^]*D; et si l'on représente par C^ et TV deux autres constantes arbitraires , et
DBS PROIBCTILM DAN8 L'AIR; i55
qa'on fasse y poar abréger ,
on en déduira
p^ = Csin a' + D' cos;v', ^/ = C' cos A' - jy sîn X'.
Abstraction faite du second membre de la troisième équation (P)9on déduirait de méme^ de cette équation et de la quatrième ,
9, = Asin A^ -4- BcosA,, 4/ = AcosA,— BsinA,,
en faisant aussi
et désignant par A ejt Q deui constantes arbitraires qu'il faudra changer en des quantités variables pour avoir égard à ce second membre. Pour déterminer les valeurs de ces nouvelles inconnues^ on aura alors
dK • dB ^ dk dB * ^ Ac^y
et par l'intëgration , on en d^aira
A = A^ =f/^ cos a,A , B = B^ =fc y ^ sin x,d^
A^ et B' étant les deux constantes arbitraires: pour fixer les idées , on supposera que les deux intégrales indiquées sont zéro en même temps que la variable t.
Au moyen de ces valeurs de A , B, fl,, 4/ j Pf>Çn et de celles de q\ p' ^V ^ '\' y les intégrales complètes des équations (N) et (O) seront
p= Csin a' -h ly cos y db ^ sin cf
-H £(8'=*=/ ^ sin 7<^yin{ct— A,)+ (A'qp/ 7CosA//t)cos (ci— A,)] , g = C cos a' — ly sin a' -fc ^ cos et
-*- £(B' ds/ f sin h^) cos(ct— A,) — (A'sf/-^ cos A/fe)s in(c/— A,>] ,
ao*.
l56 SUR LB MOUVBIfBMT
= (A.'=rif^ cosA,<ô) sin A, -4-(B' =*= f^ sin K/ii\ cos \
-4- 1 [ IVsin (c«— A') -+. Ocos (cl — X')] , Y = (A' t^f ^ cos A/ft) cos A, — (B' dtf^ sin A,</;f) sin A,
H- j [ly cos (c* — A') ~ C sin {et - A')}.
En y faisant t:s=Oy et ayant ëgard aiu valeurs initiales dejo, ^, &^ 4r et à celles de A et Ç, nous aurons
= ly ^ 435.' A% y = e ^- ^*(B' =fc *),
= B' -f. iC, A = A' -+- iiy.
Je fais 9 en outre ,
ca„ y === c5„ 4g! =:/.
a^ et &^ seront de très petites fractions données: /exprimera aussi un nombre abstrait , mais qui ne sera pas gënëralement très petit y quoiqu'il ait ( pour facteur.
On tirera des équations précédentes
on aura en même temps
(hRSô=» /t^os^/^^^»/» /^ sin A/ft = a»/,
en faisant , pour abréger ,
DES FRdECTILBS DAI78 £y*AiS« iSj
et il en résultera finalement
e = (2^ =px^ sm>i,+ (t=^^=b>.^co»X,
Les intégrales A» et A» ne pourront pas s'obtenir soms forme finie j on ne ponrra pas non plus , pour en obtenir des valeurs approchées , y remplacer sin A, et cosA, par A^etrunité; cai-, malgré le facteur a qui sera toujours une très petite fraction , la quantité \ , à cause de son autre facteur, aura pour valeur un nombre qui ne sera pas très petit.
(3o). Ces formules (Q) , en y joignant les équations r = c et ^ = ci, renfermeront les lois complètes de la rotation de la balle autour de
son oentrfe de gravité. , .
Si à l'origine du mouteltnent, Taxe de figure et l'axe de rotation ont coïncidé l'un et l'autre avec la ligne suivant laquelle le centre G a été lancé , ce qui exige , comme on l'a dit plus haut , que l'on ait
h = =f: b, A = o , tf, = 0, b, = o,
lS8 fiUR liB MOUVEMENT
les formules (Q) se réduiront à
= =*= (i/^« [Çsin et (A — A^^ sin (c« — A,) - A^/cos (cf — A,) ], * == =fc (r:^[Ccoscf-(*-A/)cos(c<-A,) +
e = =F [A./sin A, H- (A — A/) cos aJ , , M[^ 1= sp [A,/cosA, — (i — A/)sînA,].
L'angle et entrant dans les deux premières formules et n'étant pas contenu dans les deux dernières ^ il s ensuit que Taxe de rotation GI fera, dans l'intérieur du mobile, des oscillations très rapides autour du demi-axe Gj^^, tandis que celui-ci en fera de plus lentes dans l'espace. Les amplitudes des unes et des autres seront dailleurs constamment très petites. L'amplitude ^ des premières aura pour valeur ( n*^ 27 )
A raison du dénominateur (i^/uaty^ elle diminuera donc continuellement pendant le mouvement. Elle diminuera aussi à cause du facteur/, à mesure que la vitesse c de rotation augmentera de plus en plus ^ et l'on pourra la regarder comme insensible 9 quand la longueur i de Taxe de l'arme , qui répond à un tour entier des hélices , ne sera qu'un multiple peu considérable du rayon l de la balle. Dans ce cas le mobile tournera, donc sensiblement autour de son axe de figure pendant toute la durée de son mouvement ; ce qui n'empêchera pas cet axe de changer de direction et de tourner autour de la droite Gjt. En effet , à un instant quelconque , appelons tr l'angle que fait la projection de Gz, sur le plan perpendiculaire à Gjc et mené par le point G, avec la verticale Gz ; angle qui sera compté à partir de cette ligne de Gz vers Gj ou en sens contraire, c'est-à-dire, de droite à gauche ou de gauche à droite, selon que tr sera positif ou négatif. Soit
DES PROJfiCriliBS DANS L'AIR. i5$
aussi p l'angle zjGx à cette époque. D'après ce que y et y représeiH tant (n^ 7)^ nous aurons
y = sin p sin a- y 7" = sin p cos o- j mais y en négligeant les carrés et le produit de e et Y , on a
on aura donc
p c= W-h0», (T =aharc( tang= *)î
et, dans le cas où Ton néglige/^ il en résuFtera
Or, cette valeur constante de p montre que 6z^ décrira autour de 6x , un cône droit dont Touverture ne dépendra pas de la vitesse c ; de plus, l'angle A^ étant une quantité positive, et le signe supérieur répondant au cas 011 la rotation du mobile a lieu de gauche à droite ^ et le signe inférieur au cas où elle se fait de droite à gauche , il s'ensuit que Gz, tournera autour de Gx , dans le même sens que le projectile autour de Gje^; mais Tangle A^ n'étant pas proportionnel au temps, la rotation de Gz^ ne sera pas uniforme, comme celle du mobile, et les durées de^ révolutions de Gz^ varieront pendant le mouvement.
(3i). Puisqu'en négligeant, comme plus haut, les carrés et les produits de T et , on a
7=±i, y==:pY, y' = --0.
i6o SUR i;b mouvem&kt
il en résultera pour les valeurs de T, T', T'y relatives à un ellipsoïde
de révolution
et ce sont ces valeurs qu'il faudra employer dans les expressions de Jc , y y z y données par les équations (L).
Il faudra négliger T', et le second terme de T dans les termes de x parce qu'ils dépendraient de l'une des variables Ç, XI y Z, y de l'ordre de petitesse de by et qu'ils ont i pour coefficient. On devra aussi négliger y sous les signes^, les termes de j^ et js provenant de Y et et qui contiendront sin (et — A^) et cos(c< — /) ; lesquels termes acquerraient, par l'intégration y un diviseur qui les rendrait du même ordre de petitesse
par rapport aux autres termes, que les quantités ^9^9 ôT^ ^j ^^^
ont été négligées en formant les équations (P), par rapport à celles que l'on a conservées.
Gela étant, si l'on désigne par h^ l'excès de h sur qp 6, de sorte qu'on ait
les équations (L) deviendront
i log(. + ^) î![jflj., - l.g(. + ^,f\,
lia TT 2ia
r = =fc — U -»- ~ï — U'
« ^ i [(*-+-S')log(n-A««ï)-îg'(i-4.Aai/)>-hi^]
DES PROJfiCTiliBS DANS i/AIR. l6l
OÙ Pan a &it pour abroger
/•[>,/ CM A, — (ft — A./) sin X,] log (i + /^O J^ __ -^j
rlta. — *) co« \ — (*, — *") «'P > J l og (' +/^) J^ TT/
log (i -^. ^)/A^»EA±|^^^:nf2L^ ^«
r [A,/8in A, + (ft — ^/) co« \] log (i + ^^) j^ y
log (X ^ ^) y(^.-*)"°y^.-*vo.^ ^^
r[(fl, ~ *) sin X, + (b, — AQco» xjlog (1 -h ^1) ^^ ^ y.
et où les intégrales sont supposées nulles quand f =so.
Ce sont donc ces formules (R) qui renferment les lois du mouvement de translation de la balle ^ dans le tir de la carabine. On en déduira tout-à-rheure les conséquences principales. Auparavant il est bon de rappeler que l'on fait ici abstraction du frottement de lair contre la superficie du projectile, dont on a examiné les effets dans le second paragrapl\^. Ce frottement pourrait être fort considérable, à raison des rayures de la surface produites par celles de la carabine; mais son influence sur le mouvement de translation ne serait cependant pas très grande , parce que l'axe de rotation s'écarte constamment très peu de la direction à peu près horizontale de ce mouvement (n^ i6). Quoiqu'on ait supposé au mobile la forme d'un ellipsoïde, les résultats suivants conviendront néanmoins à tout corps très peu allongé ou très peu aplati , selon que la fraction t sera positive on négative , et dont les sections perpendiculaires à son axe de figure sont à fort peu près circulaires.
(33)« Au bout d'un certain intervalle de temps que je désignerai par t^ y le mobile retombera sur le plan horizontal des x et /, passant
ai
iBù St7A LB MOfTlTEMENT
par son point de départ O. J'appellerai E la projection du point de chute sur Taxe Oxy et je représenterai par ^ la distance OE, ou la longueur de la portée. D'après la première équation (R) , on aura .
en négligeant le carré de « , et désignant ^ à l'ordinaire ^ par e la base des logarithmes népériens , on en déduira
ce qui fera connaître le tenips if du trajet, correspondant à une portée donnée. Le coefficient de €, dans cette ù^xmvXe^ est une qpaatitîté négative \ car il s^évanouit quatrd ptMUr eist zéro y et ii diminue sans interruption lorsque fjtm croît indéfiniment. Il s'ensuit donc que la portée restant la même ^ la non^sphéricité du projectile diminue ou augmente la durée du trajet, selou^que la fraction s est positive ou négative ^ c'est-a-dire selon que ce corps est allongé ou aplati. Au degré d'approximation ou nous nous sommes arrêtés, cette durée f est d'ailleurs indépendante de la rotation du mobile.
Pour t^sst'y on aura s s^s 09 en substituant la valeur précédente de 1 «f. f4Mt^ dans la troisième formule (R) , égalée à zéro , on obtiendra donc une équation entre b et ^y qui servira à déterminer l'angle de tir correspondant à une portée connue , ou réciproquement ^ la portée qui répond à un angle b donné. En faisant aussi t=stfy dans la seconde formule (R) , et désignant par ^ la valeur de / qui en résultera , J" ex-^ primera la déviation du projectile à l'instant de la chute ^ comptée sur la perpendiculaire au plan vertical des a: et z ^ à gauche ou à droite de ce plan ^ suivant <[ue sa valeur sera positive ou négative. Cette équation z &= o et la valeur de ^ renfermeront les quatre quantités U,V,U',V', dépendantes à la fois de la forme et de la rotation du projectile; mais dont les deux dernières différeront essentiellement des deUx autres > et devront ét)*e suppritùéès , ^an& les i^staltats mfùyens du tir à îâ cîMe, ainsi qti'on va l'expliquer.
DES FROJJftOTIliBS Q4N5 iJAtH. l68
(33). hm Gonstante$ a,^ h^^ ky h' , renfensDëes dans U^ et V', auront des valeurs pour ainsi dire accidentelles , résultantes de ce qu'à Forigine du mouvement ^ Taxe de figure et Taxe de rotation de la balle s'écarteront plus au moins, mai6 toujours^ très peu, par hypothèse^ de la ligne de tir , c'est-à-dire de la direction in^itiale du centre de gravité G. Dans une longue série d'épreuves , ces écarts auront lieu tantôt d'ua côté et tantôt de l'autre, et les valeurs de U' et Y^ qui leur correspondront seront aussi tantôt positives et tantôt négatives , de telle sorte que la somme des valeurs , soit de U', soit de V^ divisée par le nombre des coups , sera sensiblement égale à zéro. Gela étant , supposons que Ton place le centre de la cible au point 1^ donné sur l'axe Ox, que son plan soit perpendiculaire à cette droite et assez étendu pour être atteint à chaque coup , et que l'on mène dans ce plan deux . axes , Tun horizontal et l'autre vertical , auxquels on rapportera les coordonnées positives ou négatives des différents points où la balle viendra frapper pendant la série des épreuves. Supposons ^ ensuite 9 que cette série se compose d'un très grand nombre de coups tirés aussi exactement quil sera possible, dans le plan vertical de J7 et is 9 et en visant vers le point £ j avec une même carabine , des balles de même forme^ une même vitesse de projection a^ et sous un même angle b , déterminé par Téquatipu z = o ,. dans la«quelle on aura fait abstraction du terme dépendant de y^ A raison de ce dernier terme de la valeur de jz^ et à cause de la valeur entière de^ , il arrivera que les balles s'écarteront du point E, au-dessus ou audessous du plan des a: et ^^ à gauche ou à droite de celui des a: et z\ mais la somme des ordonnées verticales des points oit elles frapperont y divisée par leur nombre et en ayant égard à leurs signes ^ sera très probablement et à très peu près zéro; et, en même temps y la somme des abscisses horizontales , divisée par ce nombre qu'on suppose très grand , sera à très peu près constante , et égale à la partie de ^ indépendante de U^ Si ^l'étendue de la cible n'est pas assez considérable pour qu'elle soit atteinte par toutes les balles , les déviations verticales et horizontales ^ qui répondront aux derniers
ai
s64 SU^ ^^ MOUVElfENT
termes des expressions de is et de j^ ^ contribueront à diminuer , dans une longue série d'ëpreuves^ la proportion du nombre des coups qui porteront; leur effet se confondra avec ceux des écarts de la ligne de mire^ autour de la droite OË, qui sont dus à ce que le soldat ne vise exactement, ni suivant cette droite , ni même dans le plan vertical qui la contient ; et il faudra , en conséquence , faire abstraction des quantités U^ et Y', soit dans le calcul de l'angle de tir au moyen de l'équation z == o , soit en calculant la déviation moyenne des balles dans le sens horizontal.
Il faut encore observer, relativement à ces quantités U' et Y', qu'elles s'évanouissent non-seulement dans les moyennes d^un grand nombre de coups, mais aussi à cbaque épreuve séparément, lorsque l'axe de rotation de la balle coïncide y à l'origine du mouvement , avec la ligne de tir, quel que soit d'ailleurs le petit angle que fait l'axe de figure avec cette ligne , provenant de ce que celui-ci ne coïncidait pas parfaitement avec l'axe de la carabine avant la sortie du projectile.
£n effet , dans ce cas particulier, le demi-axe de rotation GI est d'abord compris dans le plan des o^ et z , et fait , avec la direction de la vitesse initiale du centre G, un angle égal à zéro ou à i8o^, selon que la balle , c'est-à-dire , sa partie supérieure , tourne de gauche à droite ou de droite à gauche ; on a donc , à l'origine du mouvement ,
IGz =90^ cp b y IGj^ = 90° , IGo: = 90^ q= (90^ qs b) ,
où les signes supérieurs correspondent au premier sens de rotation et les signes inférieurs au second; on aura, par conséquent,
cos IGz = d= A, cos IG^ = 0, cos IGx = db i,
en négligeant le carré de b. D'après ce que et, €, etc. , représentent (n^ 7) , on a d'ailleurs, à un instant quelconque , ces trois équations :
cos IGz, = y cos IGo: -f- 7/ cos IG^ -h y^ cos IGz , cos IGy, = € cos IGx -*- €' cos IGrf -4- 6" cos IGz , cos IGx, = d cos IGjt -f- af cos IG7 -f- «^ cos IGz.
DBS PROJBCTILiBS DANS L'AIR. ]65
Pour ^ s= o , on a en particulier
9 = 09 fl c= 90® -4- A , 4 == 3 . 90** -+- A, ou 90** -4- A 9
et si l'on néglige les carres et le produit de A et A , il en résulte
7 = =fci, y=:q=A, y' = — A, A, £»' ==t 1, a" = o.
On a 9 en même temps ^
cos IGx, = a, , cos IGy, = *,, cos IGi5, = i ,
en négligeant les carrés de a^ et h^. Or, en négligeant de même les produits hh et hk y et observant que tous les signes supérieurs se correspondent y ainsi que les signes inférieurs y ces diverses valeurs rendent identique la première des trois équations citées , et réduisent les deux autres à
donc à cause de A = =f= ft H- A% les quantités U' et Y' seront zéro , ce qu il s'agissait de prouver.
La valeur de S y réduite à son premier terme, sera, par conséquent,
aia
Uî
et à raison du double signe , le sens de cette déviation changera avec celui de la rotation du projectile • Au contraire, en supprimant le dernier terme de l'expression de z , Téquation z == o ne contiendra plus aucun terme ambigu , et l'angle de tir que Von en déduira sera indépendant du sens de la rotation. Mais cet angle b dépendra de la grandeur et du signe de i ; en sorte que s'il a été déterminé par le calcul ou par l'expérience j pour des balles aplaties , il ne pourra pas servir, avec la même vitesse de projection a et à la même distance 0£ , pour des balles allongées^ et vice versé.
l66 SUR LE MOUV£MBNT
Cette remarque importante pour la pratique se trouve confirmée par des épreuves relatives au tir de la carabine , faites sous la direction de M. le lieutenant-colonel de Poncharra, et dont il a bien voulu me communiquer les résultats. La cible qu'il s'agissait d'atteindre, étant située à une distance de l'arme égale à 25o mètres^ on a conclu de la moyenne d'un grand nombre d'épreuves effectuées avec des balles aplaties ^ 62^3o" pour l'angle de tir ; en tirant ensuite à la même dis^ tance et sous le même angle, on a atteint la cible 87 fois sur 100 avec de pareilles balles, et seulement ^gjois sur 100 avec des balles allongées ; diflférence que l'on doit attribuer à l'influence de la forme du projectile sur l'angle de tir, relatif à une longueur donnée de la portée. L'avantage aurait été, au contraire, pour les balles allongées, si l'on eût tiré, à la même distance, sous un angle différent, préalablemient déterminé par l'expérience pour des balles de cette forme. Dans ces épreuves , la vitesse du projectile s'élevait à 384 mètres par seconde ; la cible était un rectangle de deux mètres et deux tiers de mètre de côtés ^ les axes des balles aplaties avaient o",oi467 et 0",oi693 de longueur, et ceux des balles allongées o"',oi69:2 et o"',oi9i8. Les hé* ' lices de la carabine, au nombre de six, faisaient un tour entier sur une longueur de 6», 226, et par conséquent (n^ 29), les balles tournaient sur elles-mêmes avec une vitesse de 61 ou 62 tours par seconde.
(34)- Les intégrales que renferment les expressions de U et V contenant, sous le signe y, d'autres intégrales Ai et A^ qui ne peuvent pas s'obtenir sons forme finie , il s'ensuit que le calcul des valeurs numériques de la déviation S" et de l'angle b se rapporterait aux quadratures doubles, ce qui le rendrait très pénible. Mais par le procédé de l'intégration par partie, on peut, comme on va le voir, réduire A| et A3 en séries ordonnées suivant les puissances croissantes du rapport 7^. Or, malgré la petitesse de «, il arrivera souvent, et je supposerai en effet, que ee rapport soit une assez petite fraction pour rendre ces séries très convergentes , du moins dans leurs premiers termes. C'est ce qui aura lieu effectivement dans l'application numé-
DES PROJSGTtLfiS DANS L'AIR. 167
riqne que notis feroos plus has à F^xemple que l'on vient de citer , où oe rapport y sera à peu près -an 25*.
Ainsi , en ayant ëgard à .rexpression de l'angle \ compris dans les intégrales A^ et P^ (n^ 29) , M en faisant
nous aurons
/Lcadt t=: p (i -H f^aty dX/y
et à cause de (p? 26) il en rësultera
A, .»a:^ [(b ^ g') (1 —OOS A,) -- g^/Cl -.- ^'Sin aAI»
les intégrales étant prises depuis A^= oqui répond à f = 0. En intégrant par partie autant de fois qu'on voudra , et remettant toujours sous les signes/, la valeur précédente de dt , il est évident que chaque nouvelle intégrale acquerra le facteur p, et que Ai et Xi se trouveront réduites en séries ordonnées suivant les puissances de cette fraction. On aura, de cette manière,
/(i -^- /ttaf)*cosA^/ZA, = [i — i.i.3.p^(i -t- /LLOty
-+- i.2.3.4.5.p<(i -4- fjLaty — etc.] (i -4- fMi*)^sin A, — [i.a — i.!i.3.4.p^(i ^ fjuzty -t- i.2.3.4-5.6.p4(i H- /utaty — etc ]p(i -4- /uuity^i — cosA,), /(i -h fjurty^m hfdhf == [i — i.a.3.p'(i -4- /juaty
