DES PROJECTILES DANS L'AIR. 17S

qui tient à la même cause que la difiërence entre les temps du trajet des deux balles.

De la formule (U) , on déduk^ en même temps^

<r =s sp 0,00201 •

La moyenne des déviations horizontales dans la série d'épreuves que nous avons prise pour exemple , était donc d'à peu près deux millimètres y à la droite ou à la gauche du soldat , selon que la partie su* périeure de la halle tournait de gauche à droite ou de droite à gauche ; mais comme la cible avait deux tiers de mètres de largeur, cette déviation n'a pas dû influer sur la proportion du nombre de coups qui ont porté; et vu sa petitesse, il aurait été impossible de la déduire des écarts de la balle , si on les eût mesurés à toutes les épreuves , ainsi qu'on l'a expliqué plus haut.

(36). La supposition du n^ 2g, relative à la grandeur de la vitesse c, et d'après laquelle nous avons formé les intégrales des équations (N) et (O), n'a plus lieu dans le cas où les rayures de la carabine sont parallèles ; ce qui rend nulle la vitesse de rotation de la balle à Torigine du mouvement , et conséqoemment aussi ^ chacune de ses trois composantes. On a donc alors c = o ; au moyen de quoi ces équations se réduisent à

et pour déterminer les quatre constantes arbitraires que renfermeront leurs intégrales , on aura

pour t= o. Le mobile n'ayant pas de rotation quand son mouvement commence , on pourra prendre pour la droite 6L à cette époque, celle que l'on voudra des deux parties de la droite suivant laquelle le plan des x, et j', coupe le plan des a: et ^ j pour fixer les idées , je prendrai la partie située à gauche du plan des x et z, ou qui fait avec l'axe des a; un angle très peu différent de 270®; et le demi-axe

de figura Gje, aéra ajlprs celui qui est compris dans lu partie antérieure du projectile (n^ 28). L angle donne h sera positif ou négatif selon que Gjk, , dont il exprime l'inclinaison sur le plan de a: et ^, tombera au-dessous ou au-dessus dé ce plan horizontal; langle i, aussi donné , sera celui que fait le plan vertical de ce demi-axe avec le plan des x et z y oèi est comprise la direction initiale du centre G : il aura une valeur positive ou négative, selon que le premier plan sera situé à droite ou à gauche du second. Pour que Gz, coïncide avec la direction de G , il faudra qu'on ait A = o et A = — b^ en désignant toujours par b Fangle de tir compris entre cette direction et Taxe des x. Enfin , ce sera le signe supérieur que Ton devra prendre devant C» ^^^^ ^^ troisième des quatre équations difiërentielles.

Cela étant, si Ton élimine p et q entre ces quatre équations, que Ton mette pour A sa valeur, et qu on ait égard à celle de Ç (n^ 26) ,

on aura

En intégrant par la méthode ordinaire , il vient

9k l'w d^gP«.pftr A, B, A', B', les constantes arbitraires, et où l'on fait , pour abréger,

qiWLUtité qwe Tp» supposera positive , pour fixer les idées.

A moip* que la fraction s ne soit extrêmement petite , m sera un nomJ>re assez considérable pour que la puissance m de i -h fiat devienne une très grande quantité pendant la durée du mouvement: 4^s l'exemple du numéro précédent , on aurait à peu près m = i5 , lors ïftèroe que cette fraction ne serait que le lo* de ce qu'elle était, et (n^af) surpasserait un million , par exemple, bien avant qu'on

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eàt t^lf. Pour que les angles 6 et Y demeurent constamment très petits 9 et les vitesses p et q aussi très petites y comme le snpposent les équations (N) et (O) y il faudra donc que cette puissance disparaisse des formules précédentes ; ce qui exigera que Ton ait A = d et A^ == o. Gomme on a

pour ï = o , il en résultera B == -^ et B'-= o , en négligeant le dernier terme de la première 'formule , et remplaçant par — m l'exposant ^ — m. A un instant quelconque, on aura, de cette manière ,

0=^ (i-+.A^aO"""-C, Y = o;

et à Torigine du mouvement , on aura , en particulier ,

en sorte que ce n^est pas dans le cas où Taxe de figure du mobile coïncidait exactement , à cette époque, avec la direction du centre G , et oii Ton avait A =: — A et A: = o , que cet axe demeurerait à peu près parallèle à lui-même pendant tout le trajet du projectile. En vertu de l'équation Y =s o , cet axe ne sortira pas du plan des x et z j et d'après la valeur de 6, qui approchera de plus en plus d'être égale à — Ç , il approchera de même de coïncider avec la tangente à la trajectoire , dont il ne s'écartera pas sensiblement dans la plus grande partie de ce trajet.

Pendant toute sa durée , on aura

p =s= ~- 2g^'^a(r^ ^af)""""' — ^, g==Oy rc=ao,

pour les trois composantes de la vitesse de rotation , qui aura lieu , par conséquent , autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical

des a:etZy et qui s'approchera très rapidement d'être égale à — -^ ,

c'est-à-dire à une quantité indépendante de € , pourvu que cette frac**

tioa soit , comme on vient de le supposer , assez grande ponr rendre m un nombre considérable. D'après la valeur de Ç, on aura

p = i^/MU (ï -h ftalf),

pour t = /'. Dans Texemple du numéro précédent , cette vitesse finale serait d'à peu près un tour entier en 102 secondes.

En vertu des valeurs de et W , celles de T, T', T", du n^ 3i, qu'on devra employer dans les équations (L) , seront

T=:6, T' = o, 'r' = -M(x4-,*ae)-'"^-aC,

en prenant le signe supérieur dans la valeur de T", qui avait le signe ambigu =F. L'expression de x restera la même que dans ce numéro; on aura j^ == o , de sorte que le centre G ne sortira pas du plan des x et z , non plus que Taxe Gz^ \ ce qui devait être , en effet ^ puisque tout est semblable de part et d'autre de ce plan vertical. Les intégrations indiquées dans la valeur de z^ s'effectueront sans difficulté; et dans cette valeur, en fonction de t et sous forme finie qui en résultera , on supprimera les termes qui auront m^ pour diviseur.

Nous n'insisterons pas davantage sur ce cas particulier qui ne saurait se rencontrer dans la pratique. Dans le tir de la carabine a rayures parallèles , pour peu que Jes angles A et A s'écartent des valeurs précédentes ^ 4 et zéro , ce qui ne manquera pas d'arriver ,

on ne pourra plus supposer, comme dans le n^ 27, que la balle tourne constamment autour d'une droite, qui s'écarte très peu d'un axe principal et soit toujours à très peu près parallèle à elle-même. Pour déterminer alors le mouvement de rotation et son influence sur celui de translation , il serait nécessaire de recourir à des approximations très compliquées que j'abandonne à ceux qui vaudront s'en occuper.

La longueur de ce Mémoire m oblige d'en ren\fqyer la suite à un autre , dans lequel il me restera à considérer t influence de la non-homogénéité des projectiles sur leur double mouvement de rotation et de translation.

PSS PftOfflCn^ILBS DiiNS l'A(R. 177

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