__CH-COB
On peut remarquer qu'ei^ vertu des équations (i3) dp n^ ^, les quan* tités comprises entre les parenthèses^ dans les seconds menibres de ces
équations (1)9 sont les composantes pc^ et y de la vitesse ^, suivant
les axes Gx, et G^,.
' (4o)< OccvponsHQOus maintenant des trois pfB^af\\è^ éqaaiipn^ (A)^ qui sont propreipent les équations du mpuyenrieot de translation. Les intégrales qu'elles renferment auront pour expressions
DES PROJECTILES DANS L'ATR. ; t85
/, V- cos Wcr =f:'f:' [(I ^ M) >i'ir % COS. C
r.^*' 4. . il./i /«&
— «>/• ^ COS. Ç - aeZ-AV f cos Ç
-4- liP {qh' - piu') a"^ cos ÇJ sin C^W'ii
/ Vcos^ =/;'/r f7i -H 5./) ^"fc ^ cos'C
- «y/- ^! c6s. ç - 2^yy ^ cos ^
-H 2f^ (^V — ;;/*') lu" I cos ÇJ sin Ç<//ii ,
/. V- cos "^ =y;7;' Kl -^ 5./) ,'r % COS. ç
-•y'/'^cos-C-a*iW|cosÇ.
a.P (^y - ;iy) / I cos Ç j sin ^<di, ,
en négligeant toujours le carré de «.J'y substitue les formules (F) et (G) du n" 2 1 , à la place de /, /u.', /, a", a*", »" ; puis j'effectue les intégrations indiquées; il vient
/^ y. cos A«fo- = i ^/^ *; A ^ a7r,/.^;A (7A H- y'A. + /A,)
-^ T '^' ^* r7(A'* -t- ^'0 -H y(A'A; + hf'K) -t- /(a'a; -4- a"a;;)]
-^1"^*^% KV» " Z^^) (2Â' -+- A'* -+- A".) /y. cos ^ = i ^/. *! A, ^ 2^,/. ^; A. (>:A -p yA. -^ y"K)
-^ î '^'^ I lin» - p^) {'^hh,+ h% ~f- K'K) .
^ r^*' - p^') (2ÂÎ H- a;» -f- A»
l86 StJR LE BfOUVEMBKT
/V* COS fd<r = \ Tfl^ % A,-f- 2^«Z'^ A^ iyh -H yfh. H- y'A»)
-t- (7^»^ - /:ie") (aAî ^ *;• -+• *:•)]•
D'après la nature des neuf quantités h^^h^^ etc. , du n^ 1 2 , elles sont liee3 entre elles par les équations
A* + a; + a; = I , h\^ K' ^ A> = I , A, -4- K H- >^? = I , kh^^Hh\^K%=o, hh^^hfK^H%^Oy hA-^KK-^Kfh=o,
qui permettront d'éliminer six de ces quantités des trois formules précédentes, et de ny laisser que h^ A|, ^, dont les valeurs sont
ds ?'£^ ^- En observant que Ton a d'ailleurs (n^ 7),
on trouvera que tous les termes de chacune de ces trois formules , in-^ dépendants de ;i et ^ , disparaissent excepté le premier , et que ceux qui dépendent A.ep et q ^ se réduisent à une forme très simple. En vertu des équations (i) , d où Ton tire
et en substituant dans les trois premières équations (A) , les expressions , ainsi réduites, des intégrales qu'elles renferment^ nous
PES PROJBGTUiBS DA^S l'AIIL 187
aurons
'dF
, dx ds d* dx d(p^ + q^) ^dê , -,
où l'on a fait , pour abroger ,
3nD
de sorte que - soit j ainsi que -- , une ligne de grandeur donnée.
La détermination du double mouvement du projectile dépendra donc de l'intégration du système des équations (i), (2), (3), qui n'est possible que par approximation. C'est à quoi nous allons procéder dans les deux cas du tir de la bombe et du tir de la carabine , que nous considérerons successivement.
(4i). Dans le cas de la bombe^ supposons d'abord qu'à Torigine du mouvement , la droite horizontale GL , que nous prenons pour le demi-axe Gj?^, soit perpendiculaire au plan vertical desx et Zy dans lequel le centre de gravita G du projectile est lancé (n^ 1)9 et que ce corps reçoive une vitesse de rotation donnée autour de Gor^et n'en reçoive aucune autour de Gy^ et de Gz,. Tout étant semblable alors de part et d autre du plan des j? et z, il est évident que pendant tonte la durée du mouvement , le point G et la section du mobile qui comprend Gy, et Gz, ne sortiront pas de ce plan vertical. La rotation aura lieu constamment autour de la perpendiculaire à ce même plan; et comme on la dit plus haut, on prendra pour l'axe GL la partie de cette perpendiculaire qui fait un angle de 90® avec l'axe Gx. Pour une valeur quelconque de t^ nous aurons
nr:
l88 SITU LB MOUVEMENT
et en même temps (n® ^5),
= ces 9, y — — sin fl, = sînfl, y = cosô;
au moyen de quoi les équations (i) et (2) se réduiront à deux seulement , savoir :
La bombe tournera donc autour de la droite Gx, de direction constante, mais avec une vitesse variable, égale à ^, positive ou négative , c'est-à-dire dirigée de Gy^ vers Gz^ ou de Gz^ vers Gry^ (n^ 2), selon que Fangle Q ou z^Gz croîtra ou décroîtra. La quantité comprise
entre les parenthèses dans la valeur de ^ , étant la composante de la vitesse ^ suivant Taxe G/,, il s'ensuit que cette valeur sera zéro et que
la vitesse p atteindra un maximum ou un minimum^ toutes les fois que Gr^, sera perpendiculaire à la direction de la vitesse du point G, ou que Taxe de figure Gz, coïncidera avec cetJte direction, quel que soit d'ailleurs l'angle ô qu'il fera au niême instant, avec la verticale Gz. On saura ^ à l'origine du mouvement, si le point F appartient au demi-axe Gz^ ou à son prolongement ; par conséquent, on saura aussi^ d'après le signe de cosfl à un instant quelconque, si le centre de figure F de la bombe , se trouve au-dessus ou au-dessous du plan horizontal, mené par le centre de gravité G.
ËQ éliraiDant/7 entre les deux équations précédentes, on aura
^. = «^' il (ê cos ô -h J sin 9) , (4)
pour l'équation qui servira à déterminer, quand la yitesse du point G
DBS I^ROJËCTILBÔ DANS L^AIR. l8g
sera connue en. grandeur et en direction^ la valeur de 6 en fonction de ty qui exprimera la loi du mouvement de rotation. Si l'on néglige tout-à-fait la fraction i y on aura
h et b étant des quantités constantes , pour lesquelles on prendra les
valeurs initiales et données de ô et ^ j ce.qui çxigera qu€ les quantités
dépendantes de f, que l'on ajoutera à ces expressions de d et p pour les compléter ^ soient zéro pour f = o. Selon que la constante b sera positive ou négative, la rotation initiale aura lieu de G^^ vers Gz,, ou dans le sens opposé, de manière que dans le cas de b positive, les points de l'hémisphère antérieur du projectile, tourneront de l)as en haut, et ceux de son hémisphère postérieur, de haut en has, tandis que le contraire aura 4ieu dans le cas de b négative. Pour fixer les idées, je supposerai que la constante Assoit un angle aigu^ ce qui revient à prendre pour le demi-axe Gz,, la partie de l'axe de figure qui se trouvait à l'origine du mouvement, au-dessus du plan horizontal mené par le point G , et qui sera celle qui contient ou qui ne contient pas le point F, selon qu'à cette époque, ce second point était plus élevé ou moins élevé que le point G •
(4ti)« Les valeurs zéro des variables j*, 7, ^S font disparaître la seconde équation (3). En ayant égard en outre, aux valeurs de é et é" , les deux autres équations (3) deviennent
d^x , dx ds 2f/* dp dx . . ds .
cfl*^*^ dl dt 5 ^ ds ds ^ '^'^ dt '
d^z , dz ds ^ iktl^ dp dz . j ds , .
de ^ ^ di di^ ^ S ^ ds ds^ ^^^ dl
Leurs seconds membres ayant )0 pour facteur, il s'ensuit que lexcen* tricitéFG de la bombe, provenant de sa non-homogénéité, ne peut influer sur le mouvement de translation qu'à raison de la rotation.
igo SUR LB MOUVEMENT
Pour les intégrer par approximation^ j'observe qu'en négligeant tout-à-fait f, on satisfait à la première de ces deux équations, en faisant
e désignant à l'ordinaire la base des logarithmes népériens , et a une constante arbitraire , pour laquelle on prendra la composante horizontale de la Titesse du centre G à son point de départ, ou correspondante à s =M>. Pour tenir compte de la première puissance de $ , je ferai donc
li étant une nouvelle variable qui devra être zéro pour t=:o. En représentant par e» la tangente de l'angle que la tangente en un point quelconque de la trajectoire du centre G fait avec une parallèle à l'axe des «r menée par ce point, on aura
dz ds dx ^/Z — ! 1
dx — *•' dt 'SI
Au degré d'approximation où nous devons nons arrêter , c'est-à-dire , en négligeant le carré de f , on pourra substituer pour/' et Q leurs valeurs précédentes , avec la première valeur de ^ , dans le second membre de la première équation (5) ; alors on aura simplement
du
^ :;= litlby/l ^ a,^COs{bt ^ V). (6)
La valeur de ^ étant
dt dx
la seconde équation (5) deviendra, en ayant égard, à la première, et
DES PRClJBGTILfiS t>AS3 L'âIR. I9<
faisant les réductions ,
^ ï = - ^ -*- '^^^ v/rir^'Lsin (Ai ^ *o- « <îos(*ï -H y)] r^ î
en y. joignant Fëquation
et divisant ces deux équations membre à membre , il vient
^ «-£/'^ (,-«,) +ie^ »/r+7 [«!(*«+.*')-• CM (4* 4 *oi«'",
OU, ce qui est la tnén^e cbose^
iHË. v^rih^[ain {bt -^y)~ »cos(Af -4- y)] c d$ ,
où l'on a daigné par Ala hauteur due à la vitesse a , de sorte qu'on ait
En intégrant, nous aurons
^. ilS^ f [sin(*f -+- y) — « cos (*f 4- y)] v/FTô^e'^ é& j > étant la constante arbitraire , dont la valeur sera
iT-^tang«\/n-tang^<»-Hlog(tang(ft-HVi H-tang=^(*)
iga ' SUR LE BiOUVEHBNT
en désignant par a la valeur de cà au point de départ du centre G, ou l'angle de tir du projectile , et supposant que les intégrales indiquées dans réquation précédente commencent à 5 = o. En négligeant g, cette équation donne
e*' = S/ifJih sjy — (ù\/\ -f- «• — log(û> -f. v/i -h- oi^^ ;
si donc, on fait pour abréger
y — (ô \/\ -f-a' — log (» -f- V'i -h «•) = ^ , [sin {bt + A') — «cos {ht -h A')] v/i -h »• = R ,
on pourra écrire cette même équation sous la forme :
^ e^' -Q=^mfQ^ud5-^it^1hy/\fKQds.
L'équation qui donne la valeur de ^^ pourra aussi s'écrire de cette manière :
En en retranchant la précédente membre à membre, on aura donc
doù Ton déduit
udjp = ^ — — P,
en faisant , pour abréger ,
DES PapJJBCTIIiEfi DANS L'aIR. ig5
dx dm
D'après Fë^fuation qui donne la valeàrde ^ ^ ; on aura
^ç« dt- V "*" ç*/ " s U y/gQ .
d'où Ton tire
vr^=-['-.-^+1^#]|> (8)
en observant que l'angle û> décroissant quand le temps ^augmente, il faut prendre le signe — devant le radical qui exprimerait la valeur
A àm
Enfin 9 on aura
A» «'(i + ^or, . «P i^/v/^R
pour l'expression du carré de la vitesse du centre de gravité G ou du mouvement de translation de la bombe.
(43). Les formules (7) feront connaître par les quadratures^ les valeurs de j: et js correspondantes à cbaque valeur de co^ après quon y aura mis pour t ses valeurs approcbées et données par le premier terme de la formule (8), et pour m ses valeurs calculées ^ aussi par les quadratures^ au moyen de la formule (6). Ces valeurs numériques de x et ^ serviront è construire par points, la trajectoire du centre G. La formule (8) déterminera de la même manière, le temps que G emploiera à parvenir en cbaque point de cette courbe. Gela étant, les formules (7) et (8), jointes à l'équation (9), renfermeront la détermination complète du mouvement de translation , du moins au degré d'approximation où nous nous sommes arrêté, c'est-à-dire, en négligeant les quantités de l'ordre de petitesse du carré de 1. Les parties de ces diverses formules qui sont indépendantes de cette frac* tion , coïncident avec les formules ordinaires de la balistique.
ig4 SUR LE MOUVBKBNT
La quantité P que contiennent 1m termes d^mkUtûts de § , peut être simplifiée par l'élimination de u , dont la valeur en fonction de «^ résultant de la formule (6) en y faisant
dépendrait en conséquence de deux quadratures successives. En effet 9 en négligeant $ dans cette quantité P^ on y pourra faire
ds = \/i -^cù^dx = — n. ^ ;
et comme on a identiquement
Vi H- »'db = — ^</.^,
il en résultera
2/ufQ'uds == /ia/.Ç- = mÇ* — /Ç>*«?w; ce qui fera disparaître u de lexpression de P.
En changeant u en cette autre quantité ^^ on aura de même
Au moyen de la formule (6) et de la valeur précédente de dt qu'on y doit employer, on aura aussi
Jb — ^^ v/r^T^cosCtt -4- 4')rf«.
Gela étant, nous aurons
DES PROJECTILES BANÏ L^ÂIR. igS
pour l'expression la plus simple de P.
La valeur tiomërique de cette <|tiâtititë ^ CMmespouddnle â chaque valeur doou^ de â»^ exigerait nëautnoins un calcul très ptfmble; mais
la considération du facteur 61 y^^ commun à tous lesttimes qui dé^
pendent en outre dé f dans les formules (7)9 (3), (9) , suffit pour montrer que ^influence de la rotation du projectile sur son mouvement de translation ^ est tr^s petite et négligeable dans le tir de la bombe, du moins dans la supposition du n^ 4^-
S^l s'agit 9 par exemple, defla bombe de 27 centimètres de diamètre, et du poids de 5i kilogrammes^ on pourra évaluer à ^Soo mè-
très la longueur de la ligne -» En prenant la seconde et le mètre pour
unités de temps et de longueur , la quantité ^ est à très peu près égale au nombre ^'. Si donc on suppose la vitesse initiale de rotation h y telle qu'en vertu de cette vitesse, le projectile ferait un nombre n de tours pendant toute la durée du trajet , et si l'on prend environ 16 secondes pour cette durée, en supposant que le tir ait lieu sous l'angle de 4^^> o^ %xix^
en sortb que si Ton avait n ;= i , ce qui est sads doute exagéré dans la pratique^ et « =0,01 , le produit de « et de W y-, qui mesure pour
ainsi- dire l'influence de la rotation et de l'excentricité de la bombe sur son mouvement de translation , serait à peine un dix-millième. (44)* En vertu des formules (7) et (9) , et en négligeant toujours le carré de e, l'équation (4)9 multipliée par dt^ deviendra
rf,?^ c= — '^ '»^^;.'+;') (cos fl 4- « sin ô) Jo,. (10)
196 SUK LE MOUVEMENT
Si l'excès de 6 sur bt -f- 6^ y qui serart nul dans le cas de t =2 o ^ demeure un très petit angle pendant toute la durée du mouvement ^ on pourra aussi mettre bt-\~V k la place de d dans le second membre de cette équation. Alors, au moyen de la valeur de t^ correspondante à chaque valeur de o», on calculera^ par une première et une se-
conde qtfadraturey les valeurs de ^ et 9^ relatives à cette valeur de
iiù\ on connaîtra donc en chaque point de la trajectoire du centre de gravité G^ la vitesse de rotation p du mobile , et l'angle zGj?, de son axe de figure avec la verticale j ce qui achèvera la solution du problènie.
A l'origine du mouvement , si le projectile n a reçu aucune vitesse de rotation y de manière qu on ait i^ c= e , on aura, à un instant quelconque >
^•5? ^'^P — - ^v^^Q3 (<^0S *' H- ^ sin V) da>.
En mettant — QdQ au lieu de s/i -4^ de^^ et intégrant une première fois, on en déduit
C étant la constante arbitraire. D après la formule (8), on fera, dans cette dernière, •
et en déterminant C de sorte qu'on ait à la fois
= tang * ,
" 2ftk
nous aurons
