DES FROJBÈTILGS DANS L'AIR

il en résaltera

dy = ^ii \q^ — p€!) d.tT'.

On prendra dans c^Lte formule , v/aM Q pour la valeur de ^' (n^ 42), et— T^=Q P^^*" *^ valeur de €*f, d'après la formule (8) rëduite à son premier terme. On en conclura ensuite

les intégrales commençant au point de départ du mobile, ou étant nulles pour ^ ^ tang a.

Au moyen des équations (i) et (a) du mouvement de rotation, dans lesquelles oo supprimera le terme dépendant de ^ , on calcu-

lera par les qnadratares la valeur de la quantité qii — pÇ^ relative à chaque valeur de o». Ou aura donc ensuite , par de nouvelles quadratures, les valeurs de la vitesse ^ et de la déviation ^ , perpendiculaires au plan des a; et s, et corre^ndantes à chitqae point de la trajectoire de G ; ce qu'il s'agissait de trouver. Ces calculs numériques seraient fort compliqués et peu utiles à la pratique ; mais il y a un cas , que nous considérerons en particulier , dans lequel les

val«ars de ^ et ^ s'expriment très simplement ea fonctions de x et de t.

(46). Si l'on suppose la vitesse c nulle ou seulement très petite y 1« valeur de qti — pG^ relative à chaque valeur de », que l'on déduira des équations (i) et (a) , se composera d'une partie constante et d'une partie qui variera d'un point & un autre de la trajectoire. Or , le cas qu'il s'agjirA de coosidéier est celui oii cette seconde nartie

aOO SUR LE MOUVEMENT

demeurera très petite pendant toute la durëe du mouvement ; en sorte qu'on puisse la négliger dans les formules (ii)^ et y regarder qfi' — pff comme une quantité constante.

Soit f la résultante des deux vitesses ^ et ^; désignons par GF la projection de Taxe instantané GI sur le plan des (yx^ et Gr^^ de ces deux composantes; nous aurons

q = psînl'Gx,, P ^= pcosVGx^.

« Désignons aqssi par G^la projection de^G^ sur ce même plan. Il en

résultera

*' = cosx,Gy = sin^,GycosyGjr,, ^' = cos^^Gy = sin je^G^sinj^Gx,;

on aura donc

qa! — p& = psin z,Gy (sîn TGo?, cos j'Gx, — cos VGx^ sin^Gj:,).

Les angles VGx^ etyGx^ sont comptés à partir du même demi-axe Gx,, et dans le même sens, de Gx, vers Gjr^ : ils peuvent s'étendre depuis zéro jusqu'à 36o^. L'angle z^Gj- ne peut s'étendre que depuis zéro jusqu'à i8o^; ce qui rend son sinus positif. La vitesse p est aussi une quantité positive. Par conséquent, on aura sans aucune ambiguïté

qn' — pC = psin jg^G^sinTG^.

La valeur de ce produit sera donnée à Torigine du mouvement; je la représenterai par tij qui sera une quantité positive ou négative^ selon qu'en allant du demi-axe Gx^ vers Gry^ , on rencontrera la droite GF avant ou après Gy : elle sera nulle, soit quand Taxe de figure Gz^ aura une direction perpendiculaire au plan des x et Zy ce qui rendra nul l'angle z^Gj'^ soit lorsque cet axe Gz/, Taxé instantané de rotation GI et l'axe Gj se trouveront tous les trois dans un même plan , ce qui rendra zéro l'angle VGy. Ce second cas comprend celui que

DBS TROTBCTiliES DANS L'AIR. dOl

DOQS Avons exhmm^ pltis haut (rfi 4^)9 ^ û& Gx, on OL ëtait dans le prolongement de G^.

Gela pose y en observant que la valeur de Q est L^ à Torigine des intégrales contenues dans les formules (ii), 4a première donnera

en ayant aussi égard à la valeur Q^^/Hh de ^. Cette exponentielleétant

constamment plus grande que j'unité , on en CQûclut <}ue la vitesse ^

aura constamment le même signe , c*est-à-dire un signe contraire à celui de-fir, qui se déterminera d'après les signes de n et de i. La limite des valeurs de cette vrtesse, qu elle atteindrait dans la branche descendante de la trajectoire pour une valeur infinie de c^^ serait ih^ abstraction faite du signe, et par conséquent 4ràB petite , relativement

à la vitesse ^.

La seconde équation (i i ) devient d'abord

D'après les premiers termes des formules (7) et (8)9'Ony fera

et à cause de ^!igh^=z a y on en déduira

pour l'expression fort simple de la déviation perpendiculaire au plan des a: et r. Sa différentielle conservant le même signe pendant toute la durée du mouvement, cette déviation aura lieu constamment

ao2 ' sya l4£ Mpiiv^ff^T

d'iif» roénioc^té-de et plan, et^^'a^t^i^dr^ pas de i^^l^iHiwm. Daç^ le vide, où Ton a .m

les valeurs de j^ et -^ seront zéro.

Sous Tangle de tir de 45^, et pour une portée d'environ iaoo"^ , la vitesse de projection , dans l'exemple du n^ 4^ , est d'après Lombard ,

d'efivjrqn i^QT p^r §ecpnde^ sa composante horizpntale, est ^^, x>u à

pëtt pm» So'^'jiJeiiempôda trajet élaût de i6 aaaHudeB^ tt k diamètre

d^.prfyeçliile ç§al fii.o*,37 j> la formule: préc^nte donnerfi ai]i$^ k ,très

pour lu. |(léviatioi> hori^uontale au poipt à» chjute de la boitoho; en aorte qu'il faudrait que la vitesse angulaire n fût extrêmement grande pour que cette déviation, due à la petite excentricité GF, devint seulement égale à un mètre/Cette conclusion , jointe à celle du n^ /|3, prouve que dans le tir de la bombe sphérique , sa non-homogénéitë a très peu d'influçnce, en général, sur le mouvement de translation , quoiqu'elle puisse en avoir beaucoup, comme on l'a vu plus baut, sur la rotation (de ce projectile.

(47). Appliquons actuellement le système des équations (i), (2), (3) , au tir de la carabine rayée en bélice.

Dana ce cas, la trajectoire du centre de gravité G s'écarte constamment fort peu de l'axe des x^ horizontal et compris dans le plan vertical où ce point a été lancé primitivement. Les composantes

^ et ^ de ^ sont donc très petites par rapport à cette vitesse , pendant toute la durée du mouvement. Cest pourquoi nous négligeront leurs carrés, leurs produits, et les produits « ^^t « Jj a Texcep-

tien, toutefois, de ce dernier produit dans les seconds u^embms diea

DES mOfiCTlLfiS DANS L'âTI?: do5

équations (1)^ du les Wmes dépend^ints dé « ^ né seront pas ^ dam

notre exemple, d'un ordre de gi^ndeur moindre que cetx qui en sont indépendants^ ainsi qu^on le verra par la suite. De cfette manière,

on aura -j^ = •^, et les équations (i) et (3) se réduiront à

Or, si l'on désigne par b la valeur initiale de ^, ou de la tangente de Tangle du tir, et par a la vitesse de projection du centre G, qu'on pourra aussi prendre pour la valeur initiale de -^ ; et si l'on fait, pour abréger,

ifêa^

S'. ^H-^-êf'Ci -4-,^iiO«=-ç,

< on satisfera aux trois dernières de ces équations (la)» en prenant (n« a6),

dx a . dr dz «C . .

?/, 1^, w, étant trois nouvelles variables qui devront être nulles pour ts^o* Il faudra que ^ et Ç soient des quantités du même ordre que 6,

afin que la vitesse -j^ demeure toujours très petite par rapport à -^.

On négligera le carré de ^ et le produit <Ç, comme le carré de ^

^ SUR LE MOUVBMSNT

etleprodait »'^« La coDStante b sera la valeur de Ç qui repond à

<=d* le tir ayant lieu au-dessus du plau horizontal , mène par le point G, cette constante sera une quantité positive; et l'on pourra la prendre pour l'angle du tir dont elle est la tangente , et faire sin 3 ss 6 et COS& = i .

Par la substitution de ces valeurs de -^^ ^^ -^^ dans les équations auxquelles elles doivent satisfaire ^ nous aurons

dt^ i^fÊoi Zà dt ï+^éoi vff^^ r^Jr

ir*,-f^=-,-f^ (1^ -P^' } («3)

dw futw fêla

pour les équations d'où Ton tirera, les valeurs de u,. i^, u^, lorsque celles de py Çj Ay Cy etc. , auront été déterminées au moyen des deux premières équations (la)^ savoir :

di V a/(i+,.«0' » ( v.M

auxquelles on joindra les équations (a) et les expressions de «^,^, etc., du n* 26.

La balle, en sortant de la carabine, est animëe d'une vitesse de rotation très rapide, autour du prolongement de l'axe de l'arme c'est-à-dire autour d'un diamètre qui s'écarte très peu de la ligne de tir. Ce petit écart est dû généralement à des causes qui ont lieu tantôt dans un sens et tantôt dans un autre; son infinenoe sur la justesse du tir, se détruit dan» les résultats moyens d'un grand nombre d'épreaves ; c'est pourquoi nous en ferons abstraction , et nous supposerons qu'à l'origine du mouvement, l'axe instantané GI, ou son prolongement, cohicidait avec k direction de la vitesse du point G. De plus, pour ne

DBS PftOJTBCFlLBS DAKS li'AIR. 305

pfis rettdxd le calcol desTaleun approchées ée ;> , ^^ ^^ 4 9 ^9 ^^P compliqqë et presque impraticable , on supposera 'aussi), comme dans le n^ 17 ^ que cet ajce GI s'écarte constamment très peu de Tan des trois axas principaux du projectile. Mbis «4|ous considérerons successivement le cas oùrCet axe principal est Taxé de figure GjsSy , et celui où il est l'axe Gy^ compris à l'origine du mouvement daus le^ plan vertical des J7 et ^ : Texamende ces deux cas^cofiduira à des conséquences très différentes , et suffira pour donner ane idée précise de rinfluence dé la npn^homogénéité d'un projectile spbérique, sur sa rotation et par suite sur son mouvement de translation. Dans l'un et l'autre cas, nous supposerons 9 pour plus dé simplicité , qjxe la rotation initiale a lieu exactement autour de Taxe principal, ou autrement dit, nous ferons abstraction du petit écart qui pourra^ exister à Torigine du mouvement, tantôt dans un sens et tantôt dans un autre, entre Taxe Gz^,ou l'axe Gjr,y et Taxe de rotation.

(48). Je suppose donc, en premier lieu, que Taxe instantané GI coïncide, quand le mouvement commence, avec l'axe de figure, et s'en écarte constamment très peu. La constante c sera une très grande vitesse angulaire qui aura pour valeur

en désignant par /la même ligne qjie dans lé n^ 28. Les variables p et q seront zéro pour^ = o, et demeureront constamment très pe* tites par rapport à c. Cette constante étant positive , ce sera de la partie Gz, de l'axe de figure que l'àxe GI s'écartera constamment très peu; en sorte que langje IGj^^ sera toujours très petit, et à peu près

^1 à - V/^* -4- g^. A l'origine du mouvement, la droite GL sera

perpendiculaire au plan des jc et z. Si la rotation initiale a lieu de la droite à la gaucbe de l'observateur tourné vers Gxy Tangle LtGjc , à cette époque, sera égal à 90^; il sera égal à 1170^, si cette rotation a lieu de gaucbe à droite. Pour que Taxe de figure coïncide au même

2o6 sua liB MOUVEMENT

instant avec la direction dû tir ^ il est aisé de': voir qn'il ia^ftt que la partie Gz, de cet axe fasse l'angle go^ ^ h avep l^axe' O^^ et; que ce soit son prolongement qui tombe aor la ligne de tir ^ daqs le cas du premier sens de rotation, tandis que dans' le cas de Tautresens, ce sera cette partie Gjs^ineme qui tombera sui* la ligne Âé tir^ en faisant l'angle 90^ -i- A avec la verticale Gz.

Puisque les vitesses p et g sont , par hypothèse y constamment très petites ^ il suit des deux premières équations (a) , que les quan-^

titës ^ ^t ^ 1^ seront aussi , ou y autrement dit, que les parties va-

riables de 9 et 4 9 seront constamment de très petits angles. Nous ferons donc, à un instant quelconque,

en prenant les signes supérieurs ou inférieurs , selon que la rotation initiale aura eu lieu de droite à gauche ou de gauche à droite, et désignant par 9' et 4^ des variables très petites, telles que Ton négligera les carrés et les produits de d', 4S ^> ^^ <iui seront i^uHes pour f = o. D'après la troisième équation (2), et en observant que (p est zéro pour f = o, on aura ^ = cty au bout d'un temps quelconque; et de ces valeurs de , 4 9 ? 9 îl résultera (n? a 5)

A = dz {^1 b — ff) sin et ^ 4' c^s et y

€ = =t: (=T= A — ô^) cos et zt 4' sin ci, af z=z =3p cos et y €^ =z dtz sin et j

%" = sin et y & -=• cos et.

De cette manière, les deux premières équations (:i) et les équa tions (14) deviendront

^ — p cos et -^ q sm c< 3= o ,

-^ -i- p sm et -h q' cos cï = o ,

DBS PB0J]BOTlIiES IUK& li^AlR. ^07

Par le prbcëdë d'intégration du n^ 39 , on en déduit

' " /i flfp'co» ct+fq sïn cl ± (b — Ç) sin c/]

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