f\JP*^^^ ^^ " fy'^^^ ClZ^jb^^ €08 ci
oii Ton a mis Tunité au lieu de i -t- ei, et fait, pour abréger,
/»(4 — ^)c08r 1^ /*(* — ^) sin r ,. /
en supposant les intégrales indiquées, nulles pour t=zOy afin que^ , Ç 9 ^9 4S ^i^Qt aussi zéro *pour cette valeur dç t. En obfervant qu on a
fcdt
dr.
et ayant iégjird à la valeur de. ^^,Ç, on pourra écrire plus simplement les valçurs de p^ et gr'^ soufl la form^^
p* =5= ± 1 sin a -+- jff^ (cos 0" /cos o-.ça/ -f- sin crfsxn trxdt^ ,
ou bien encore sous celle-ci :
^I08 SUR LE MOUVBMBNT
en faisant, pour abréger ^
cas a- /(î -
f- /LMty ecscrda H
h sin 0- /(.i -
f* fjuity sin 0*^(7 s
sin a- /(i H
h f^aty QOsadtT -
- coso- /(i H
h f^aty sin 0-1/0- =
Dans la pratique, la constante /çst une très petite fraction, comme son facteur î (^). D après les données du n^ 36 , on aurait , par exemple y
Mais il a fallu la. conserver dans le calcul , parce qu'elle passe au dénominateur des expressions àidp' et ^^; ce qui la fait disparaître des
valeurs de ^ et. 4S et dune partie de celles de^ et ^.
En vertu de la .valeur de ^ — 1^ et des formules précédentes, on aura finalement
P fs' [t CO8 ^ -f y^ «n Ci — {Ànr— p) ces ci ] ^ / ;
ô = 90"*=*= bdt: g^(i — cos <r — g^) , 4 = 180® =F 90^ =•= ^ (sin <r — p,).
A raison de la petitesse supposée de gf^, les parties 9^ et 4' des angles et 4 9 et à plus forte raison les rappons ^ et ^, seront constamment
de très petites fractions, comlne notre analyse le suppose.
Ces formules (i 5) 9 joiqtes aux équations r=,c et ç = cty renferment les lois complètes de la rotation du mobile , au degré d'approximation ou Ton 6'eat arrêté. Elles sont . semblables à celles que nous avons énoncées en détail dans le n^ 36, et auxquelles nous n'avons rien à ajouter.
C*^ C'est par enrenr qu'il a été dit dans le n^ 29 que cette quantité n'était pat généralement très petite y afin de moliTer sa consenration.
DES PROXBOTILBS DANS L'AIR. ' aoo
(49). En substituant, dans les seconds membres des équations (1 3). les valeurs de p et q, et celles de a, é, etc., on négligera le carré de^ et le produit de b etjj^. D'après les formules (i5), on aura alors
g» — p€ == o , Par consëqueDt^ la première équation (i3) se réduira à
du ^fêou ^^^^ -
di "^ I +^< — ^ ^
et la variable u devant être zéro pour f ±=so, t>n en condura^a = o pour toutes les valeurs dé t. La variable x devant aussi être nulle au point de départ du mobile , il en résultera
en sorte que les valeurs approchées de x et -^ , auxquelles nous nous
arrêtons , seront indépendantes de la rotation et de Fexcentrioîté dû projectile.
En même temps, les deux dernières équatioQS (i3) d^ien^ront
dt i-jrittu ,^ (I + luuf ^i+jwrt»
En intégrant , on am'a
} + faiJ (i + ^/)« =P r + MS
les intégrales indi(|uées commençant à f s»; o, «fin qu'oto ait **:^o et IV = o , pour cette valeur de t.
Au moyen de ces expressions , de f^ et %v , nous aurons
dt i +Mai J (i + fUiiy ^ 1 + ftat^
dz aÇ tid^fg' r jsin j"^p^)cdt
di i^aat i + féoij (t + ftaty
On a immédiatement
en intégrant par partie, on a aussi
/ (COSr + yj log (l -|. fUU) cdt (I +^)» »
ji^r-Hf^i = log (. + ^) /si^fi^
r ftin r — ^J log (i 4* /igl) cdt ^
on définira donc des formules précédentes ,
/ (COT r 4. g J log (1 4- ^ /) cdr i (I -h^O» J
«=;(*-+- ^) log (1 -4- ^0 -<- i [i —(I -*- ^«0*]
Ces expressions des «ordonnées 7 et « , en fonctions de f , jointes à
DES PROJECTILES DANS L'AIR. ^Ii
la valeur précédente de x^ feront connaître la position du point 6 à chaque instant. Toutefois, pour chaque valeur donnée de <, les intégrales qu'elles renferment ne pourront se calculer que par la méthode des quadratures , ou par la réduction en séries convergentes , comme dans le n^ 34 • Mais si Ton compare les termes dépendants le f 9 dans les fornotules (R) du n^ 3i , à ceux qui leur correspondent lans les formules qu'on vient de trouver, on voit que leur différence essentielle consiste en ce que les termes des premières ont le. facteur commun a, au lieu du facteur beaucoup plus petit c/, dont les .ermes des dernières sont affectés ; ce qui montre que dans le cas dont lous nous occupons, l'influence de la non-homogénéité de la balle mr son mouvement de translation , et par conséquent sur la justesse du tir de la carabine , est beaucoup plus faible et peut être négligée relativement à l'influence de la non-sphéricité de ce projectile.
(5o). Le second cas du tir de la carabine que nous voulons encore considérer, est celui oii Taxe instantané GI ou son prolongement, i'ècarte constamment très peu du rayon 6^ , et coïncide exactement ivec celui-ci à l'origine du mouvement. Pour cela , il faudra que la constante c soit zéro, que la valeur initiale de p le soit aussi , et que e rapport de p k q demeure constamment une très petite fraction, j^n vertu de c = o et de la seconde équation (i), la valeur de
f- sera toujours très petite, ou autrement dit , on aura, à un instant
quelconque ,
en désignant par — y la valeur initiale de ^ , et par eo une variable constamment très petite et nulle pour t = o.
On veut en outre qu'à l'origine du mouvement, l'axe instantané 61 ou son prolongement , coïncide avec la direction de la vitesse a du point G; ce qui exige que le demi-axe Gj^^, situé alors au-dessus du plan horizontal des x et ^ , coïncide avec cette direction, et fasse, en conséquence, l'angle 90® — A avec Taxe Gz. Gomme on a (p = o
3ia SUR LK MOUVBMBNT
pour t = Oy et 9 à un instant quelconque ,
cosyfjtz ==:€''=: sin fl cos ^ ,
il s'ensuit que b sera la valeur initiale de 9 ; le demif*aze Gz^ sera donc situé à Torigine du mouvement , aunlessus du plan des x et y^ et le «entre F de la sphère au-dessus ou au-dessous du plan horizontal ) «elon que la fraction t sera positive ou négative (n"* 38). Le demiaxe Go^^ coïncidaQt à cette époque avec la droite GL^ dirigée vers le noeud ascendant L sur le plan des xeXjr^ de la section du corps perpendiculaire à Gz^ , la rotation autour de Gy^ aura lieu de Gx^ vers Gt/^ la valeur initiale de q sera donc négative (n^ a), et la constante y positive : la valeur de y sera comme celle de c , qu'on a citée plus haut )
sura
Enfin y quand le mouvement commence , 6L ou Gx^ étant perpendiculaire à Gx y l'angle 4 oa LGx y sera égal k 90^ ou à 270^ , comme dans le cas du n"^ 4^ y selon que la rotation initiale se fera de droite à gauche ou de gauche à droite.
Pour t = o 9 nous aurons donc
ce qui servira à déterminer les constantes arbitraires dans les intégrales des cinq équations (2) et (i4) du mouvement de rotation.
(5i). En négligeant tout*à-fait p eX cà^ dans les équations (2)9 et y faisant c ==: o ^ elles deviendront
7sin<p=~, sinô^=ycos<p, ^ = cosÔ^. (i6)
Je les multiplie toutes trois membre à membre , puis je supprime les facteurs communs j il vient
DES PROJEGTILBS HAHS L'àIR. ^jg
d^ nM
sîn^ sinfi J^ = cos^ x^os^j^^
ou 9 ce qni est la même chose ,
sin ^ V C08 6
"▼ MU â ■*' ^
Qos ^ ^ sin â
ëquatioD dont l'intégrale est
cos^ sin = sin 6^
en observant qu'on ^ à là fois (p=:o et 9=^^.
En multipliant membre à membre les deux dernières équations (i6) seulement, nous aurons
sin ^ = y cos ^ cos ;
précède tang9
mBih
il en résultera
■ ^% ycW SES ' ' , I 1 1 . r ' I ^moJL «
i;^ co8fV^co8^6 — sin*^
En intégrant par les règles ordinaires, de manière qu'on ait f==o pour f 3s o , on trouve
y* = i» - arc(tang=: i^Sl=^\ •
a \ ^ 8in 6 8111 f /
On aura enfin
C08» V^CM»* — MII«f »
tnaëquent
4= iSo» :^9oo 4- arc (sin = ^).
ai4 ' BUR JLE MOUVEMENT
C!es formates donnent les içaleurs de f, 9 ^ 4 9 ^^ fonctions de ^ ; on en déduit réciproquement ^
€08 b nnyl sin b
sm(p = j , cos (p = -^ ,
sm4 = =^ — Â"^^ c^s4 = =F-^, ( V 7; sin = A 9 cos = cos b cos >:f ^
en faisant y pour abréger^
\/sin^ yt -4- sin' ^ cos* yf = A ,
et considérant A comme une quantité positive. Dans les expressions de sin 4 ^t cos 4 9 comme dans la double valeur de 4 dont elles sont déduites, les signes supérieurs 9e rapportent au cas où la rotation initiale a lieu de droite à gauche , et les signes inférieurs au cas où elle se fait de gauche à droite.
Ces formules (17) feront connaître y en fonctions de ty les parties des valeurs de fi, 4^ ^^ indépendantes de f ^ et par conséquent à chaque instant, dans le cas de f:s:o, les directions des trois axes Go:,, G/*^, Gz^y ou la position du mobile autour du point G. Oh en conclut que les axes Gx^ et Gz^ y fixes dans l'intérieuk^ de ce corps, et la droUe GL , font alors des oscillations isochrones , savoir : G«r^ dans la seéÊfh du mobile perpendiculaire à Gz/y de part et d^autre tde GL, et d'une amplitude égale à 90^ — 6; cette droite GL , dans le plan horizontal, de part et d'autre de sa direction initiale sur ce plan , et dont l'amplitude est de 90^ j jorz^ autouf de la, verticale Qz , non comprises dans un même plan , et ayant pour amplitude son écart initial b de cette droite. La durée de chaque oscillation entière est la même pour ces
trois sortes de mouvements, et égale à — ou à - ; ce qui serait à peu
près un soixantième de seconde dans l'exemple du n^ 36.
Puisque les équations (16) ont été déduites des i^^rmules (2), en y supposant nulles les vitesses p et ry et la vitesse g constante, il s'en-
DES PBOJECTILBS BANS L'AIR. ai£
suit qu'elles appartiennent au mouvement de FOtation uniforHie' au«* tour d'un a:&e fixe. Un tel mouvement peut donc se dëcompmer dans les trois mouvements simultanés d'oscillations qu'on vient de décrire; et réciproquement trois semblables mouvements se résolvent toujours en un simple mouvement de rotation , dont Taxe et la vitesse sont invariables^ ce qu'on peut regarder comme un théorème relatif aux lois du mouvement d'un corps solide , indépendantes dé sa forme et des forces qui Hle sollicitent. Les Ibrmuleis (2)^ sur^lesqiielles on s'est appuyé^ ne supposent aucune forme particulière au mobile , et n'exigent pas non plus que les trois droites Gx^j ^7*^9 Gz^| rectangulaires et fixes dans son intérieur ^ soient des axes principaux.
(52). Pour déterminer actueHemenf les déplacements de l'axe instantané GI^ dans l'intérieur àa mobile ^ qui sont produfts par la ré-
sistancede Tair, il> faut recourir amX' équations (14)9 dans lesquelles on fera c = o et ^ = — y^^, çt l'on substituera les valeurs de A^ €y a" y €!'y résultantes des formules (17) ^ et de celles du n^ 25; lesquelles valeurs seront simplement ^
« = 7 sin bsïn ^f, £ = db cos 5 y J' = cos B si» 7t, , C? torf sin A j
au moyen de qupi les é(|uations dont il: s'agit ^^yjiiendTont
dp' ^^, 5tf€a*(tosb'àzZ^^^ày^. \
dm . itM*^ (sin > g: ^ eos ft) sin yi Ç v /
. di ~ ^ ^ni+f^' • I
La valeur de p qu'on en déduira s'exprimera sous forme finie en fonction de f ; celle de â» ne pourra se calculer que par les quadratures ou par la réduction en série convergente j mais les quantités b et jetant supposées de très petites fractions^ il s'ensuit que la quantité œ pourra être négligée par rapport k p^ dans la détermination de Taxe GI sur le plan des demi-axes Gx^ et Gy^. On pourra aussi dans la preniière des deux formules précédentes y réduire à l'unité le facteur
SUR LB MOUTBITEMT
COT& dessin à; en intégrant ensuite de manière qn^on ait p qnaod f 3s G ^ et en ayant égard k la valeur de y, on anra
p, ^^ ^ Bti
Notre analyse suppose que le rapport^ soit une très ptite fraction; le rapport r^) 4ans le tir d« la carabine^ est un nombre considéra* bie , éffàij par exemple ^ k eniriron 3oo dans le cas du n^ 36 ; pour que Texpression dé "^ que nous obtenons , soit admissible pendant toute la
durée du mouvement^ il faudra donc que i, ou le rapport de l'excentricité FG de la balle à son rayon , soit une ifraction extrêmement petite«
Lorsque le fAOte^r ij; sera efifectivecàent une très prtite fractioD,
cette râleur de ^ aura lieu pendant toute la dnrée du trajet de la
balle 9 et en conséquence^ l'axe de rotation GI s'approchera de plus en plus d'une position fixe^ pour laquelle on aurait
cosIQ^^ =;? dh rî) ^ » •
mais quil tie Saurait atteindre pendant cette diiréèr. Quand . an contraire^ le facteur A ne sera pas une petite fraction, la valeur
de'^n^ pourra être employée qu'au commencement du mouvement,
ou pour de petites valeuts de t. Au-delà de ces valeurs, Fexpres*
sion de ^ qe nous sera pa$ connue : Taxe instantané pourra faire de
grandos oscillations départ et d'autre d^ Gjc^y ou même des révo^ luttons entières autour du point G[, on rMtaant toujours dans le plan de Gx", et Gy^y k panse de>:=«% a«>» 6 par h^^di^se.
En adoptant les valeurs de g pu -^7 -4* a», et de p^ donnëespMr les équatioDS (k8) , et les si^bsiituapt dans les éqnatioas (9)^ on dé^ duira ensuite de cellesHri^ les parties d^s aoglea^, 4? ^9 V^^ dépentf
DES PROJECTILES DANS L'aIR. aij
dent de la première puissance de i , au moyeu de, celles qm en sont indépendantes , et qu'on a déterminées dans le numéro précédent. De cette manière^ on conuaitra Tinfluen^e de la non-homogénéité de la balle, sur les directions à chaque instant de ses. axes principaux Gx^, Gr^^, Gz^. Mais ces parties de ç, 4 ? ^) seraient exprimées en fonctions de f 9 par des intégrales compliquées, et que nous supprimons ici parce que leur réduction en nombres , par la méthode des quadratures, n'aurait aucune utilité dans la pratique.
(53). Il ne nous reste plus qu'à déterminer les parties des coordonnées x^j'jZj du point G, qui dépendent de t.
Puisqu'au degré d'approximation que notre analyse suppose , on doit négliger dans les seconds membres des équations (i3), les termes qui auraient ipour facteur, il s'ensuit qu'elles àe réduiront à
du ikfêau 'ftoylit
dt ^^ i+i^i i+ftat^
dv fUiif ^__ ftoyla'
— — « ■■lii.* t ■ ■ . ■■ ■ ■ ■ ■ li
-dt : 1 + fUit i«4-^i'
en observant toutefois que l^s .cODséqaeoo«squi e'eiiidéduiro&t, ne
conviendront quaux iraleurs de f ou de A qui rendront le rapport ^,
une très petite fraction.
D'après les formules (17) , on aura d'ailleurs (n® 25),
ût = ^ sin&sin^f, a' = sp cosyt, a" = cosAsiny*.
En intégrant les équations précédentes, et observant que u, 1^, w^ doivent être zéro pour f = o , on trouve
fialsinyt
Mal(i — coa>/)
i+fsat
où Yon a inis 'b et l'unité à la place de sin b et cos'b.
3i8 SUR LS MOUVEMENT
Je sabstitne ces Valeurs dans celles de ^y, ^, ^, du n^ 47- En
intégrant ensuite et désignant par S^x^ ^y Jz, les parties de coordonnées a: , j, z, du centre de gravité G de la balle ^ qui dépendent de € , c'est*à-dire les déviations horizontales et verticales de ce point ^ dues à la non-homogénéité du projectile^ on aura
t.^ ' L. f^àli f i (l -f» ftai) y C<>«yl — fUt ain y<— y] ,,
if ^ :r= fzaU fj^^ dt.
Diaprés la valeur de 7 ^ on a
y 2ir'
quantité très petite en. général , et à peine ^ale k o^ooS, dans l'exemple du n^ 36. Il eH résulte i\ue par le procédé de l'intégration par partie 9 on pourra réduire ces expressions de ^x^ Sj, S^Zy en séries très 'êotpvèrgetites^ ordonnées suivant les puissances de ^. En s'arrétant au prëniiëi^iertne de «hacdue de ces séries, nous aurons
*- = ± y-^ri^. [(• - >^) «» >' +«(«»>«- 0]* ^.
y(l +fUll) »
Cette valeur de la déviation Jy , perpendiculaire au plan de projection de la balle , ne pourra être qu'une petite fraction de l'excentricité el ou GF, toujours moindre que —, ou quun centième dans
l'exemple du n^ 36. Le premier terme de Jk pourra, au contraire, approcher beaucoup de $ly ou même surpasser cette petite fraction do
DES PROJeCTIlifiS DANS jJaLIX. 2ig
rayon. En prenant, comme dans l'exemple cite, environ 2,5 pour la valeur de i -t- /uLat à la distance de 25o mètres du point de Sëpart du projectile, ce terme deviendrait à peu près ëgal à el; en sorte qu'à cette distance, et abstraction faite du second terme de la valeur de Sz , le centre de gravité G, au lieu d^étre retombé sur le plan horizontal mené par son point de départ , ainsi que cela aurait lieu si la balle était homogène , se trouverait à une hauteur FG au-dessus ou au-dessous de ce plan : au-dessus, si la fraction e est négative; au-dessous, si elle est positive; c'est-à-dire au-dessus ou audessous , selon que le point F est en avant ou en arrière du point G. C'est là l'effet le plus sensible de la non-homogénéité de la balle, que nous puissions déterminer dans le tir de la carabine. A raison du facteur &, la déviation Sx, k chaque instant, sera beaucoup moindre que la déviation éiz correspondante.
2ao SUR LE MOUVEMENT
ae
