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feudrait cODsidërer à' la fois ce mouvemeut et celai que le mobile communique au fluide : par l'effet de ce dou^ble mouvement ^ le fluide exerce à chaque instant une certaine pression , en chaque point du mobile et normale à sa surface; cette pression , différente de celle qui a lieu dans Tetat de repos , produit la résistance proprement dite que le 'mobile éprouve , et à laquelle il faudrait encore joindre la force tangente à la surface y provenant du frottement de ce corps contre la couche fluide qui le touche. C'est ce que j'ai pu faire , en effets dans mon Mémoire sur les Mouvements simultanés du pendule et de Vair environnant {^)y et ce qui m'a conduit à déduire de la théorie , la correction nouvelle que M. 3essel a fait subir, d'après Texpérience , à la longueur du pendule à secondes» J'essaierai, par la suite^ d'étendre mou analyse au cas du mouvement progressif des projectiles dans l'air, et de déterminer, s'il m'est possible, la pression que le fluide, qu'ils déplacent en le comprimant d'un côté et le dilatant de l'autre, exerce sur leur surface, ou la résistance qu'ils éprouvent, envisagée sous le point de vue que je viens d'indiquer. Je n'ai pas besoin de dire combien la connaissance de cette loi, exacte et générale , serait importante dans beaucoup de questions , et , par exemple 4 dans le problème de la Balistique, Mais pour l'objet que je me suis proposé dans ce Mémoire, j'ai pu admettre comme étant suffisamment approchée , la loi ordinaire de la résistance proportionpelle au Carré de la vitesse.

C?est aussi Newton qui a donné le premier exemple de la détermi^ nation du mouvement d'un corps pesant dans un milieu résistant. Quand le mouvement est vertical, il a résolu le problème, en supposant la résistance proportionnelle, soit à la vitesse , soit à son carré; mais lorsque le projectile est lancé dans l'air suivant une direction quelconque , il s'est borné à considérer le cas de cette force proportionnelle à la simple vitesse, en observant toutefois que ce cas n'était pas celui de la nature. Les àexx% équations que Newton a du intégrer

(*) ToQM XI de« Mémoires de F Académie des Sciences.

pour dëterminer les composantes horizontale et verticale de la vitesse* à un instant quelconque^ sont linéaires , du premier ordre et à eoef^ ficients constants ; et les deux inconnues y sont séparées y de sorte que ces deux équations se résolvent indépendamment Tune de l'autre , et que leur solution ne suppose réellement qu'une simple int^ration immédiate. Il n'en est plus de même dans le cas de la résistance pro« portionnelle au carré de la vitesse : les deux inconnues entrent à la fois dans chacune des équations du mouvement, qui ne sont plus linéaires; et ce n'est que par une combinaison particulière, que l'on parvient à j séparer les variables et à les ramener aux quadratures , ce que l'on regarde comme la solution complète du problème* Elle est due à Jean Bernouiili , qui l'a donnée dans les actes de Leipzig de 17 19, plus de trente ans après la solution de Newton, et à une époque où le calcul intégral avait déjà fait de grands progrès. Gepen* dant, Ëuler,'au commencement de son mémoire sur cette matière^^(;^), exprime sa surprise de voir que Newton se soit arrêté au eas de la résistance proportionnelle à la simple vitesse, et n'ait pas considéré le cas de la nature j lui , dit-il , qui a résolu bien d'autres problèmes plus difficiles. On sait d'ailleurs que la question de la trajectoire dan3 un milieu résistant en raison du carré de la vitesse, fut proposée comme un défi , anx géomètres du continent , par un Anglais nommé Keil, qui croyait le problème insoluble, parce que son illustre com^ patriote ne l'avait pas résolu. Maintenant le calcul numérique des intégrales qui expriment le temps et les deux coordonnées du mobile en fonctions d'une quatrième variable , s'effectue aussi simplement que la question le comporte, et en poussant les approximations aussi loin qu'on veut. On en peut voir un exemple dans les Exercices de calcul intégral , deLegendre (^, oii ces coordonnées sont calculées à moins d'un cent-millième de leurs valeurs»

Indépendamment de la force centrifuge provenant de la rotation de

(*) Mémoires de V Académie de Berlin y année 1 7,53, n Tome !•', page 336.

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la Terre 9 et qui influe sur le mouvement des corps pesants , en dimi^ nuant la gravite, d'une' quantité variable avec la latitude; cette rota«tion produit encore y dans ces mouvements, certaines déviations qu'il est intéressant de connaître, soit en elles-mêmes, soit pour savoir jusqu'à quel point elles peuvent influer sur la trajectoire dès projec* tiles, et s'il est nécessaire d'y avoir égard dans là pratique de l'artiller rie. Plusieurs physiciens ont mesuré, avec autant de précision qu'il a été possible, les petites distances dont les corps qui tombent d^unç hauteur considérable, s'écartent du pied de la verticale. Laplace et M. Gauss ont soumis celte question au calcul; mais en intégi^ant les équations de ce mouvement à très peu près Vertical , ils ont fait abstraction de la résistance de Tair , qui peut cependant avoir quelquefois une influence extrêmement grande sur le résultat» J'ai donc pensé qu'il serait utile de reprendre ce problème en entier, et den étendre la solution au cas général où le projectile est lancé dans Tair, avec une vitesse et suivant une direction quelconques^

Pour cela , j'ai d'abord formé les équations différentielles du mouven^ent absolu dans Tespace, en rapportant à des axes fixes les coor-^ données du tnobile; puis j'en ai déduit les équations du niouvemcnC apparent, tel que nous Tobservons près de la surface du globe, ou * rapporté à dœ axes fixes à cette surface, qui participent, ainsi que nous, à ta rotation de la Terre. CSes équations diflférentielles sont très compliquées; mais, en prenant la seconde de temps pour unité, la vitesse angulaire du mouvement diurne est une très petite fraction -y ce qui permet de les réduire à une forme plus simple. On en déduit alors quelques conséquences générales, dont voici les énoncés.

Le mouvement de la Terre empêche uu liquide, contenu daus un ^ vase et tournant avec une vitesse constante autour d'un axe vertical ,. de parvenir rigeureusement à une figure permanente, qui serait celle d'un paraboloîde de révolution , si la Terre était considérée comme immobile.

Si un corps se meut sur une courbe donnée et attachée fixement à, la surface du globe ^ l'équation différentielle de son mouvement ne

contient pas la vitesse de rotation de la Terre , et ce mouvement est le même 9 en conséquence, que si la Terre était en repos. Ainsi, pour une valeur donnée de la pesanteur, résultante de la figare et de la rotation du sphéroïde terrestre , les oscillations du pendule sont les mêmes dans tous les azimuts autour de la verticale; r^ultat qu'il était important de démontrer, vu le degré de précision que Ton apporte maintenant dans la détermination du pendule à secondes, en différents lieux de la Terre. Mais le mouvement diurne et la direction du plan des oscillations ont une petite influence sur la tension variable que le fil éprouve pendant qu elles ont lieu , et qui n'est pas rigoureusement la mène dans tous les azimuts.

Enfin , quand un projectile est lancé dans Fair suivant une direc« tien quelconque , la rotation de la Terre n'augmente ni ne diminue la distance à laquelle il se trouve à chaque instant , du plan parallèle à Féquateur , mené par son point de départ.

Avant de chercher les intégrales des équations du mouvement ap-? parent , dans le cas général , d une grandeur et d'une direction quel-? conques de la vitesse initiale , j ai considéré les cas particuliers les plus simples. Le premier est celui où le mobile part d^un point situé k une hauteur donnée itu-dessus du sol, et est aban4onné à l'action de la pesantenr, sans qu'on lui imprime aucune vitesse particulière, de sorte qu'il commence à tomber verticalement. La vitesse à son point de départ , provenant de la rotation de la Terre à laquelle il partie cipe , étant plus grande que celle qni répond au pied de la verticale, on comprend que le mobile, quand il a atteint le sol, doit s'écarter du pied de cette ligne, à Vest ou dans le sens du mouvement vrai de la Terre. Mais le calcul peut seul donner la mesure de cet écart, surtout lorsqu'on a égard à la résistance de l'air: il fait voir, en effet^ que la déviation a lieu vers Vest^ et qu'elle est nulle dans le sens du méridien. Pour comparer à l'expérience, la formule qui en exprinie la grandeur, j'ai choisi les observations de ce genre qui ont été faites en i833 par M. le professeur ^eich, dans les mines de la Saxe. La hauteur de la chute était de i58 mètres et demi; et M. Eeich a cou*

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da de la moyenne de io6 expériences , une dëviation à Vest^ de 28 millimètres et un tiers. Il a aussi trouvé À très peu près six secondes pour le temps de la^hute; au moyen de cette donnée, j'ai pu calculer^ sans aucune hypothèse , le coefficient de la résistance de l'air que le mohilo a dû éprouver; et ensuite , la formule a donné 27 millimètres et demi pour la déviation ; ce qui diffère de l'expérience^ de moins d'un millimètre. Dans le vide, cette déviation ne surpasserait pas d'un dixième de millimètre, celle qui a lieu dans l'air ; en sorte que dans cet exemple, la résistance de l'air n'a eu qu'une influence insensible. Quand le projectile part de la surface de la Terre, et qu'il est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse donnée, on conçoit que , pendant la durée de son élévation, il doit s'écarter de la verticale, vers Vouestj ou en sens contraire de la rotation delà Terre. 41 semble qu'ensuite, durant sa chute, il devrait se rapprocher de cette ligne, et retomber à peu près k son point de départ; mais il n'en est point ainsi. Parvenu au point le plus haut de sa trajectoire, et lorsqu'il a perdu toute sa vitesse verticale,- le projectile, en déviant vers Vouestj a aussi acquis une vitesse horizontale dans le même sens, en* vertu de laquelle il continue à dévier dans ce sens, du moins pendant une partie de sa chute. La difficulté analytique que Ce second cas présente, est de raccorder, pour ainsi dire , les deux mouvements successifs 9 ascendant et descendant, du projectile, qui sont exprimés par des formules très difierentes, lorsque Ton tient compte de la résistance de Pair. Pour appliquer à un exemple la formule relative à la déviation totale du mobile , quand il est retombé sur le sol , j ai supposé que ce corps fût une balle, tirée verticalement par un fusil d'infanterie, avec une vitesse d'environ 400 mètres par secondes. La grandeur de cette déviation varie beaucoup avec celle de la résistance de l'air; en donnant successivement au coefficient de cette résistance des valeurs qui soient entre elles comme quatre et trois , on trouve des déviations vers Youest dans les deux cas, mais d'environ un et trois décimètres : dans le vide, celte déviation s'élèverait à une cinquantaine de mètres j en sorte qu'elle est réduite à un cinq-centième de sa valeur, parla plus grande des deux résistances.

8 SUR LB MOUVEMEMi;

J'ai encore examine en parttcalier y le cas ou la vitesse initiale da projectile est presque horizontale , ce qui comprend ^ pour fixer les idées y le tir à la cible. On trouvera dans mou M^KfrPÎro les formules qui s'y rapportent et qui en expriment toutes les circonstances , selou que le tir a lieu vers tel ou tel point de l'horizon. Ici, je me bornerai à dire que la vitesse initiale étant toujours d'environ 4^o mètres, et la distance de la cible, placée au but en blanc j égale à 2100 mètres, les déviations horizontale et verticale de la balle , dues au mouveuient de la Terre, s'élèveraient à peine à un demi-ceutimètre, c'est-rà-dire qu'elles n^influent pas sensiblement sur la justesse du tir et sont inutiles à considérer dans la pratique. Ces déviations sont également négligeables dans le tir du canon, et dans tous les mouvements qui

ont lieu suivant une direction à peu près horizontale.

Dans le cas général, les effets quiB produit le mouvement de la Terre dans le mouvement d'un projectile, sont d'abord des accroissements positifs ou négatifs, sojtde l'intervftHe de temps q^e le mobile emploie à aller de son point de départ au point ou il retombe spr le terrain , soit de la distance du second point au premier, que l'on appelle la portée Jiorizontale. Les sigues de ce$ accroissements dépepdent de la direction du plan vertical dans lequel le projectile est l^ncé : il y a augmentation dans une direction et diminujtion dans une autre; leurs valeurs sont exprimées par des intégrale^ doubles, dont le calcul numérique serait très pénible. Le mouveoient diurne fait, en outre, sortir le mobile du plan vertical où il a été projeté; ce qui donne lieu à une déviation hprijsontale , dont la valeur se compose de deux parties distinctes, exprinjées aussi par des intégrales doubles. L'une de ces déviations partielles est indépendante de la direction du plan vertical^ elle a toujours lieu k drpi^e 4^ l'observateur placé au point de départ et tourné vers la trajectoire; à notre latitude, on peut la considérer comme étant l'effet principal de la rotation du globe; et, heureuse^ ment, on en obtient des limites plus faciles à calculer que sa valeur piéme, qui se réduiront en nombres, si l'on veut, au moyen de la longueur de la portée et de la durée du trajet ^ données par l'observa-