DES PROJKCTILES J>^1NS L'AIR
tion y et suffiront pour apprécier la grandeur de la déviation. En appliquant, par exemple, ces limites au tir de la bombe, tel qu'il a iieu dans les exercices àes polygones ^ c'est-à-dire sous Tangle de 4^^» avec une vitesse initiale de 120 mètres par seconde, qui donne une portée d'environ 1200 mètres, pour un projectile de 27 centimètres de diamètre et du poids de 5i kilogrammes (^); on trouve que la dëviattion du point de chute sera comprise entre 90 et 120 centimètres, lorsqu'on tirera dans un plan vertical, tangent au parallèle du point de départ. Elle aura lieu vers le midi, quand on tirera vers Vestj et vers le nord j si l'on tire vers Vouest. En l'évaluant à un mètre, et observant qu'un tel écart à la distance de 1 200 mètres , répond à un angle d'à peu près trois minutes, il s'ensuit que, pour atteindre plus sûrement le but, il faudrait tirer à gauche du plan donné, dans un autre plan qui ferait avec celui-là un angle de trois minutes, dont la considération peut influer sur la justesse du tir et sur la chance d'atteindre le tonneau , dans les exercices où le canonnier doit apporter beaucoup de précision. La déviation horizontale sera un peu moindre et s'observera vers Yestj quand on tirera vers le nord; elle sera un peu plus grande et aura lieu vers Vouest ^ quand on tirera vers \e/nidi. Ajoutons encore, que dans le tir de la bombe à grande portée, par exetnple à une distance du but, d'environ 4000 mètres, ce qui suppose une vitesse initiale d'à peu près le tiers de 800 mètres , sous l'angle de 4^^ 9 ^t pour un projectile de 90 kilogrammes et d'un tiers de mètre de diamètre, les limites de la déviation, en tirant à Yest ou à Vouest y .seront à peu près 5. mètres et 10 mètres; en évaluant donc sa grandeur à 7 ou 8 mètres , on voit que dans les sièges, des édifices et des personnes ont pu être atteints par la chute d'une bombe, à cause du mouvement de la Terre, et d'autres ne pas l'être, pour la même cause.
CSes nombres, et ceux qu'on a cités plus haut, se rapportent à une latitude moyenne; ils varieront avec celle du lieu de l'expérience : à
(^ La bombe de 10 pouces et de io4 Vires»
lO sua LE MOUVÊHBKT
réquateur, et lorsque le tir a lieu dans son plan, la déviation hort*' zontale s'évanouit, tandis que les accroissements delà durée du trajet et de la longueur de la portée j atteignent leur maximum; dans les liantes latitudes, ce sont, au contraire, la déviation qui approche de son maximum j et ces accroissements qui diminuent: au pôle ,^ la déviation horizontale, la même en ce point pour le tir dans tous les plans verticaux , surpasserait d'à peu près moitié celle qui a lieu dans notre région. Partout, les accroissements de la portée et du temps sont nuls, quand la vitesse initiale est dirigée dans le plan du méridien.
(i). Le projectile est une sphère homogène; c'est le mouvement de son centre de gravité onde figure que l'on considère j on y suppose sa masse entière réunie , et la résistance de Tair directement appliquée.
La rotation de la Terre a une petite influence sur le mouvement des corps près de sa surface ; son mouvement de translation n'en a aucune ; c'est pourquoi j'en ferai abstraction , et je regarderai le centre du globe comme un point fixe.
Soit G ce point. Au bout du temps quelconque f , écoulé depuis l'origine du mouvement, soit aussi M le point de sa trajectoire oii se trouve le mobile. Par le point G, menons trois axes fixes et rectangu-^ laires Gr,, Gj,, Ce,, et désignons par o^, , Jy , z^y les coordonnées de M rapportées à ces axes. En appelant Y la somme des molécules du sphéroïde terrestre , divisées par leurs distances respectives au point M , les composantes parallèles à ces mêmes axes, de Fattraction de la Terre sur le point matériel situé en M, seront exprimées, comme on
sait, par les diflFérences partielles ^, ^> -^î ©t selon qu'elles au-^
ront des valeurs positives ou négatives , elles agiront dans le sens des demi-axes Gj:^, G^,, Gr^, des coordonnées positives, ou dans le sens contraire. Représentons aussi par f la force accélératrice provenant de la résistance de l'air, et par A, yu, f, les angles que fait sa direction
DES PROJECTILES JDiAWS li'AlR. 1 1
avec des parallèles à ces trois droites , menées par le point M ^ de sorte que ^cosA, ^cos^e, ^cosy, soient les composantes de ^, suivant les mêmes directions que celles de Tattraction. En prenant le temps t pour la variable indépendante, dont la différentielle est constante, nous aurons
d^x dV
^' = + (pCOSA,
^ dV
d'z dV
-dF = dT -+- ^^^^^^
^ + (pcosyu, > (a)
pour les trois équations différentielles secondes du mouvement absolu du projectile dans l'espace •
On prendra le plaA du méridien passant par le point de départ du ,* mobile, c'est-à-dire, le plan de ce point et de l'axe de rotation de la Terre, pour c.elui des y, et i^, ; les demi-axes Cy^ et Cz^ seront compris dans notre bémisphère , le second sera dirigé vers le pôle , et le premier sera compris dans le plan de l'équateur, ainsi que Taxe des j:,. On représentera par r le rayon vecteur CM , par 9 langle compris entre CM et le demi-axe Gz^, et par 4 l'angle que fait le plan de ces deux droites avec celui des y^ et z^; en sorte qu'au bout du temps f, les coordonnées polaires du mobile soient r, 0, 4» ^t qu'on ait en ^conséquence
z,=îrcosd, j^, = rsîndcos4j •r, = rsîn9sin4-
Soit aussi n la vitesse angulaire du mouvement diurne de la Terre; nr sin 6 sera la vitesse absolue de lair au point M, et cette dernière vitesse étant tangente au parallèle passant par ce point, ses composantes par rapport aux directions des coordonnées z^, y^ x^ seront zéro, — nrsinô •sin49 nrsinô.cos4j en supposant le demi-axe Cx^ dirigé vers Varient. Les deux dernières composantes pourront être remplacées par — nx^ et ny^*y au point M, les trois composantes de la vitesse relative du mobile et de Fair, auront donc pour valeurs,
13 êUR LE MOUVEMENT
abstraction faite du signe ,
et en désignant par 9^ cette vitesse , on aura
On considérera la résistance de Tair comme une fonction donnée de celte vitesse relative; et de plus , on supposera cette force directement opposée à cette vitesse : on aura par conséquent
pour déterminer les angles A, /«^, v, qui répondent à la direction de' ^ au point M.
Après qu^on aura fait une hypothèse sur la forme de la fonction <Pj les équations {a) ne contiendront plus que les inconnues ^^y Xfy z , et leurs différentielles^ ou, si Ion veut, les inconnues r, d, ^9 ^Q 1^& intégrant, du moins par approx^imation , elles feront donc connaître^ à un instant' quelconque, la position du mobile dans l'espace; mais dans la question qui nous occupe , c'est à des axes fixes à la surface de la Terre ^ et participant à son mouvement de rotation, qu'il faut rapporter la position du projectile, c'est-à-dire qu'il s agit de déterminer son mouvement apparent, tel qu'on l'obsei'veà cette surface, ce qui exige que l'on change les inconnues o^y, y/, ^,y en d'autres coordonnées.
(lï). Soit donc O, un point déterminé de la surface du globe. Par ce point, menons trois axes rectangulaires Oz% Qf^, Oj/j le premier dirigé suivant le prolongement du rayon CO, le second compris dans le plan du méridien et dirigé vers le nord^ et le troisième dans le plan
DES PROJECTILES DANS L'AIK* i3
du parallèle^ et dirige vers Yesty ou dans le sens du mouvement diurne. Au l>out du temps ty soient z%^, a/, les coordonnées du lieu M du mobile, rapportées à ces nouveaux axes. Si l'oa suppose qu'à l'origine du mouvement , le méridien du point O coïncidait avec le plan des jr, et z^y Tangle compris entre ces deux plans au bout du temps t^ sera égal à nt. Je désignerai par y la latitude du point O, ou plus exactement y l'angle compris entre le rayon GO et sa projection sur Féquateur; et je représenterai par / la longueur de ce rayon. Les coordonnées du point O, rapportées aux axes Gr^, C^^, Cz^^ se déduiront de jr,, f^y je^, en y faisant rxzzl^ = 90^ — y, ^|, = n/; en sorte qu'elles auront pour valeurs /cosysinnt, loosycosnt^ Isiny. D'après les formules connues dé la transformation des coordonnées^ dont on change à la fois^ l'origine et ks directions, on- aura alors
a/=(x, — /cos^sin nt)cosni — (jr, — /cos>cosnf)sînnf, y = {z, — /sin>)cos>' — (^^ — /cosycos7i^)sin7Cosn^
• — (or, — / cos y sin wf) sitty sin nty z' =^{z^ — / sin 7) sin 7 4- {y^ — /cos y cos nt) cos y cos nt
+ {x^ — 7cos y sin nt) cos y sin nt^
ou bien , en réduisant,
xf ^=^ X ^ QO%nt — ^^sin wï,
y == jt, cos y — y^ sin7 cos nt — x^ sin y sin nt^
j&^ == z,sin7-+-^,cos7COsn/-+- jc^^GOsysinn* — ly
d oii Ton tire réciproquement
x^ = x^cùsnt — ^sinysin/if -f- (z^ -f- l)cosysinnty y, = — x^ sïnnt — ysinycosnt-h {z' -4- tjcosycosni^
^/ =ycos7-H(z^-+-/)sin7,
pour les valeurs de x^^y^y z^^ qu'il faudra substituer dans les équations {a) y et dans celles qui déterminent la vitesse \> et sa direction.
i4 SUR LE MOUVEMBNT
Les coefficients de a?,, ^, , js^, dans les valeurs de x' j y y z! y dai* vent être les cosinus des angles que des parallèles aux axes des x^ , y^^ Zp menées par le point M^ font avec ceux des x^ j y ^ ^ \ et c'est^ en eèet^ ce qu'il est aisé de vérifier. Il s'ensuit donc que si l'on appelle ïl ^ fi' y if j les angles que fait la direction de la vitesse Vj contraire à celle de la force 9 j avec ces nouveaux axes , on aura
f^cosA^ s= — (^cosA. cosntH- f^cos/cc.sinn<^
pcos fjt! ^= — f^cosy-cosy-h i^cos^.sin>cosn*-h MCOsA-sin^sinn^y-
f/cos / == — i^ cos y . sin 7 — i^ cos fi . cos y cos nt-^i^ oos A .cos y sin nt.
En vertu des valeurs de x^jr^^ z^^ on aura aussi
dx ' dx' ^ d/ ^ • ^ . ^^ • *
-^ — ^/ = -^ cos nï ^ sin y sm wf 4- ^ cos y sin nt ,
dr dx' • ^ ^r' • dz'
-^ "l-nx, = j^ sin n* — -^ sm y cos ^t -^-ji cos 7C0S nty
dz, dy . ^«'^•
^« ^cos7+^sm7,
pour les valeurs précédentes de — i^cosA, — i^ cos /te, — i^cosvjet toutes réductions faites , il en résultera simplement
^1 dsf I dy I d£
PCOSA' = -gr-, PCOS;*' =-è> f^COS/ =-^.
La vitesse relative v du mobile et de l'air, est donc en grandeur et en direction , la vitesse même du projectile dans son mouvement apparent ; ce qui tient à la nature du mouvement de rotation du fluide, et n'aurait plus lieu, en général , si l'air avait un autre mouvement , comme dans le phénomène des vents alises, par exemple. Si Ton appelle s l'arc de la trajectoire apparente, compté à partir d'un point fixe sur cette courbe et dans le sens du mouvement du projectile , on aura
la différentielle ds sera positive ainsi <j;ue dt^ et les équations précé-
D£S PROJECTILES DANS L^Altt.
dentés donneront alors
Cela posé , les équations (a) deviendront d'abord ^ cos nt ^ sm y sm nf + -^ cosy sin nf
(dJ • - . dy • ^ dJ \ o
-^ sin tit-^-^ sin 7 cos nf — -^ cos > cos Tin — v?x
— -^ Sin /!« — ^ smy cos nf -+- ^ cosy cos nt
fdJ ^ dy' • • ^ rf*' • \
^^ \"S"^^ ^sinysinnï-h -^ cos y sm /i<^ — n^,
^ . ÇCOSA^,
^cosy ^-^p-siny = — -h^cosir;
en considérant successivement Y comme uhe fonction à^x^yy^^ z^y et comme une fonction àe x' yj' j z' ^ on aura
dV dV ^ dV ' .
^ = — -jj^ Sin y sm nf — -^ sin y cos nt+ -^ cos y ^ dP = s;COsysin/if -|-^cosycos7i*-+- ;^siny;
et il sera facile de changer les équations précédentes en celles-ci t
^ = — 2n^ siny + n^[/siny - (y+/)cosy]siny h- ^r-<P% , ^ (*) ^ = 2n^ cosy— n^[/siny— (x'+ /) cosy] cosy 4- ^— ^,
qui seront les équations du mou?ement apparent^ qu'on se proposait
i6 SUR LB MOUVEMENT
de trouver^ et que Ton réduira à une forme plus simple par les considérations suivantes.
(3). La Terre étant composée de couches à très peu près sphériques^ concentriques 9 et dont chacune à partout une même densité , la valeur de V est de la forme
où l'on désigne par /^ une force très peu difierente de l'attraction au point O^ dont la distance au centre G est l\ par t ^ une petite frac* tion qui a pour valeur^ environ ua 3oo*; et par U, une fonction donnée de j/, ^^ z^ La valeur du riayon vecteur r du point M sera donnée par FéquatioA
Si O est voisin du point de départ du projectile^ les coordonnées x' ^ y ^ z! j seront très petites par rapport k l^ dans toute Fétendue de la trajectoire; on pourra alors développer les différences .partielles
^ , ^ , ^ , en séries très convergentes , ordonnées suivant les puissances et les produit? de y, ^^^ y; et le développement correspondant de U sera
F étant une constante arbitraire ^ et G, H> etc.j des constantes données.
Au point Oy les composantes de Tattraction, suivant les axes des
x'^y'^z^ ou les valeurs de -^p, -rp-y -^^ qui répondent à a/ = o,
y = c, z' o, seront «/G, «/H, — f-^ffK. Pour en déduire pelles de la pesanteur, il y faudra ajouter les composantes de la force
J}m FROJECTlLBft BANS L'AIR. I7
centrifuge due à la rotation de la Terre; or^^es trois composantes sont zéro, — n*/sinycos7, nHcos^y^ en observant qu'an point O la force centrifi]|;e est 4gale à nHiiosy j et dirigée suivant le prolongement de la perpendiculaire à l'a^e de rotation, de sorte que sa direction fait avec les axes des j/, y, j3% des angles égaux à 90*, QO^^-h^, y. Far conséquent I si Ton appelle g^ la pesanteur en ee point ^ et g^/V, kf y les angles compris eqtre sa direction et les axes des j/.^ y, ^% ou
g:COSg^ = ifOy
g cos A' = if EL — nPl sin y COS7 , ^ (c)
gcos^ =5 — y 4- «/K.4- n^/cos'>,
pour les Vialeul*s complètes de ses trois composantes. Ces formules doivent coïncider avec les seconds membres des équations (6)^ en j supprimant les termes dépendants de la vitesse da mobile, et y faisant a/ = o,y = o, x' = o;ce qui a lieu effectivement. On vérifiera de même que les composantes de Fattraction jointe k la fcMrce centrifuge , qui répondent au point M^ coïncident aussi avec ces seconds membres , en 7 supprimant seulement les termes relatifs à la vitesse du projectile, et quelles, que soijent les coordonnées 3C^ yj' ^ ^ .
Le rapport de ri^l à g* est uqe fraction très peu différente de i ; si donc ojn néglige les carrés et le produit de ces deux fractions^ et si Fon observe que la force g est une quantijté positive^ on déduira des équations précé(^ente$
g^— f — «/K — fflcifs^y^ cosifc' = --r I î,
ce qui fait cqq naître l'intensité de la pesanteur au point O, et montre que cette, fof ce fait avec Taxe Oz' , un angle dont le. supplément ièst de. Fondre de petitesse de #•
. Dansie ^développement de V, je infligerai les termes qui ont t* pour diviseur , ^t ceux qui ont | pour diviseur et e pour coefficient.
r8 SUR L% movvBKXfrr
De celte maniera, on ftnra
A ce degrë d'approximatîoQ ^ il faudra aussi négliger les termes des équations (b) qui dépendent de n' et de Fune des variables a/ y j' y^' \
car, si Ton fait — = «T^ , le terme n*a/ , par exemple , deviendra ^^, et
sera par conséquent du même ordre de petitesse que ceux qui se trouvent négligés dans les différences partielles de Y.
Gela posé , et en ayant égard aux formules (c) , les équations (&) se réduiront à
dF = =*" (i-siny — -3jCOsy)-hgrcos^ — 4>
ds *
dy »„<^„:«. ^j ^u ^^4/
dt
an -^sin>-hgrcos*' — ^^, } (</)
de
2»-5j-cosyH-ê^oosA'-f- ^ ~ ç^;
mais aQn de les rendre plus immédiatement apj^icaUes , nous y changerons x/ ^ "/ y z'^ en d'autres coordonnées peu différentes de celles-là.
(4). Pour cela, élevons par le point O, une verticale Oz dirigée vers le zénith y ou en sens contraire de la pesanteur, et dans le plan horizontal, perpendiculaire à Ozj tirons arbitrairement deux axes Oar et Oy, perpendiculaires entre eux. Soient x^y^ z, les coordonnées de M , rapportées à ces axes Ojt, Oy , Oz. On aura
z = — y cos ^ — j^ cos h! — jt'cos V ,
en observant que Oz fait avec les axes des xf ^y ^ z\ des angles égau)( aux suppléments de g^, h! ^ V. On aura, en même temps ,
y ^ x^ cos a/Oy + y'oo^yOy + z' cos z'Oy , X =s» x'cosyOx-hyoosyOxH-z^cosz'Ox.
DfS PaO»GTILBS DANS L'AIR. 19
On pourra supposer que Ox et Ojr ç'ëcartent très peu de Ox^ et O^^ de sorte que les angles âr'Ocr et^^O^* soient de Tordre de petitesse de la fraction i. En négligeant leurs carrés^ on aura alors
cosj/CXr = I, cos;^0;^ = i.
Je supposerai de plus y que Pare O^ soit compris dans le plan du méridien ; l'axe Oj/ étant perpendiculaire à ce plan , nous aurons
cosjt/Ojr » o; «t comme on doit avoir
cosa/Ox . cosyOx -+• cos j/Oy . cosy Oj^ H- cosgf'cos A' = o,
il en résultera aussi
cos^Oj: = o,
«n observant que le produit cosgf^cos A' est de Tordre de petitesse des quantités que nous négligeons. Enfin ^ à cause des équations
cos x^Ox . cos i!Ox -h cos x^Oy . cos z'Oy + cos g'coskf — o , cos^'Ox . cos zfOx -+- cosyOjr . cos z'Oy -+- cos h' cos A' s= o ,
et de cos kf =^ — i ^ nous aurons
cosz'Ox = cos g', cosjg'O;^ = cos A',
et par conséquent
a; = a/-|-Vcosg% j^ = y -h 2^ cos A'.
De ces valeurs de j:, y, z, on déduit réciproquement
90 SUR liE MOUVBMBXT
X^ — X — JSCÔSg'^
jf — y — zcosA^,
z^ = z H- j: cos g^ H-^ cos lil ,
en négligeant toujours les carres et le produit de cos ^ et cos K .
Maintenant 9 après avoir éliminé a/ ^ j^ , z' ^ des équations {d)^ on les changera facilement en celles-ci :
d^x fdr . dx \ /dt -, . . dr ,, \ dx
rfY dx . , /</« , . , dx ,, \ dr
On pourra^ pour plus de simplicité , négliger les termes de ces formules qui ont n cosg^ ou ncos A^ pour facteur, et dont Tinfluence sur les valeurs de Xyj'j Zy serait à peu près insensible. On négligera
par la même raison , le terme ^ , provenant de la variation de la
pesanteur dans le sens de la hauteur, et l'on considérera l'angle 7, comme exprimant la latitude du point O.
J'admettrai Thypothèse ordinaire de la résistance de lair , proportionnelle au carré de la vitesse; et je ferai, en conséquence,
c étant un coefficient proportionnel à la densité de l'air au point M, que l'on pourra, en général, considérer comme une quantité constante dans toute Tétendue de la trajectoire : si l'on appelle ^ la hauteur due
à la vitesse ~ de sorte qu'on ait ^. = 2g^ et ^ = 2cg^y il faudra pour
l'homogénéité des quantités ^ et g^, que 2C^ soit un nombre abstrait^
on que ^ soit une ligne. L'air étant un fluide pesant^ exercera en ou*-
BBS PROJECTILES DANS l'AIR. ât
tre , sur le projectile, une pression hydrostatique ; ce qui exigera que l'on fasse subir uqe. diminution à la pesanteur g qui aurait lieu dans le vide ; de plus cette réduction sera elle-même susceptible dans le mouvement progressif que nous considérons, d'une modification semblable à celle qui répond, d après la remarque de M. Bessel, au mouvement oscillatoire du pendule; mais nous ne nous occuperons point ici de cette question; et nous regarderons la valeur de g comme une donnée de l'expérience.
Les équations différentielles du mouvement apparent du projectile^ se réduiront donc finalement à
(dy • dt \ ds dx
d^r àx • ds dr » . ^
d'z dx ^^^ ds dz
Elles suffiront pour déterminer au degré d'approximation que Ton peut désirer , l'influence de la rotation du globe sur ce mouvement on n'oubliera pas que les axes des a: et des j sont les intersections du plan horizontal, avec les plans du parallèle et du méridien, et qu'à partir du point O, les x positives sont portées du côté de Vesty les x négatives du côté de Youest^ les j' positives vers le nordy les j^ négatives vers le midi\ L axe des z positives est vertical et dirigé de bas en haut.
On appliquera tout-à-rheure ces équations à divers exemples; au^ paravant il y a quelques remarques qu'il ne sera pas inutile de faire.
(5). Les équations (e) s'étendront facilement au cas d'un point matériel, assujetti à se mouvoir sur une courbe donnée et attachée à la surface de la Terre.
Pour cela , représentons par
2% BVÏL LE MOUVEMENT
les deux équations de cette courbe; L et U étant des fonctioiis données de X y J'y z. Il suffira^ comme on sait^ d'ajouter aux seconds membres des trois équations (e) , les quantités correspondantes
dh , dU ^L . , dU dL . fJU
dans lesquelles t» et cJ sont des coefficients inconnus. On éliminera ensuite ces deux nouvelles inconnues ^ en ajoutant les trois équations après les avoir multipliés respectivement par dxj dy^ dz\ les termes dépendants de n disparaissent en même temps , et il vient
dsd^s j ^ ^^ f r\
-^ ^ — gdz - c^,, (/)
en observant qu'on a
dxd^x -4- (fyd^y + dzd'z z=-d.ds*== dst^s,
dx ^ djr *^ dz
dx-^^dx-^^dz =dL'==o.
dx ^ dx ^ dz
On pourra tirer des équations de la C09rbe donnée y des valeurs de x\ y y Zy en fonctions de 5 ; en les substituant dans Téquation (/) y on aura donc^ entre les variables s et ty l'équation diiSerentielle du mouvement sur cette courbe. Il en résulte qu^abstraction faîte de la partie de g qui dépend de la rotation de la Terre y cette rotation n^a aucune autre influence sur le mouvement dont il s'agit. Ainsi ^ par exemple 9 en- chaque point de la surface du globe, et pour une valeur donnée de g^, les oscillations du pendule sont indépendantes du mouvement diurne, et les mêmes dans tous les azimuts autour de la verticale; ce qu'il était bon de foire voir, vu le degré de précision que l'on apporte maintenant dans les mesures du pendule à secondes, en diffiérens lieux de la Terre.
La pression exercée pair un point matériel sur la courbe qu'il est
DES PROJBCTtLES ï)AKd L'aTR. ^3
force de décrire , n'est pas, comme sa vitesse, indëpendante delà rota*tioû du globe; c'est ce que Ton verra en effet, en la déterminant de la manière suivante.
Je représente par X , Y , Z , les seconds membres des équations (e), abstraction faite des termes provenant de la résistance de l'air; on aura
2n(Jsin7 — ^cosy),
Y = — an •£ sin >, N .
Ta — an-gjcosT' — g^; ^xr^y^A-- -
et ces quaotités exprimeront les composantes horizontale «t verticale de la force qui agit sur un point matériel pesant, en mouvement dans le vide, prés de la surface du globe. Par le point quelconque M de sa trajectoire, je mène trob axes rectangulaires, savoir, le rayon de courbure , la tangente dans le sens du mouvement, une des deux parties de la perpendiculaire au plan osculatenf. Soient P,Q, K, les composan*" tes de la même force , suivant ces trois demi-axes \ la force Q diminuée de la résistance de l'air, fera varier la vitesse du mobile sur la courbe donnée ; la force R multipliée par la masse de ce corps , sera une* composante de la pression exercée sur la courbe ; l'autre Composante aura pour valeur le produit de cette masse et de rexcès de la forcé
centrifuge sur la force P \ excès qui sera égal à - ^r^— P,en désignant
par p le rayon de courbure au point M* Or, on voit que la résultante de ces deux dernières forces , ou la pression totale que la trajectoire éprouvera en chacun de ses points , dépendis , à raison des forces P et R, du mouvement diurne du globe, de sa direction par rapport » celle de la vitesse du mobile, et de la latitude du point O.
Supposons, ptir exemple, qu'on n'ait point égardà la résistance de l'air, el que le mobile décrive uniformément, dans un plan horizontal, un cercle du rayon A, avec une vitesse angulaire m. En plaçant lorigine O des coordonnées au centre de ce cercle, et comptant le temps t à
partir d'un passage du mobile dans Taxe des x ^ on aur^
X = Acos/n<, y = Asin/n^, z ==: o;
d'où il résultera , pour ce cas particulier,
X == îmnAsinycos/irf, Y = 2mnAsin7sin/nf, ,!Zi = — !2m7iA cos 7 sin m< — ^,
Cette dernière force , prise avec un signe contraire et multipliée par la masse du mobile , e2.f)rimera la pression yariable que la trajectoire éprouvera dans le sens de la pesanteur. La résultante des forces X et Y sera égaie à amnAsin y, et dirigée suivant le prolongement de A; elle s'ajoutera à la force centrifuge m*A^ et il .en résultera pour la pression borizontale, une valeur constante, égale au produit de imriK sin y + m*A, et de la masse du mobile.
Si Ton considère, deméme, le mouvement du pendule simple dans un plan vertical, que-^ soit l'angle compris entre ce plan et celui des x et s, que l'on désigne par A la longueur constante de ce pendule, et, à un instant quelconque, para l'angle qu'il fait avec la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur , on aura
^ = A€psésind, ^ = Asin ^sin.fl^ ^=^~Acosfl, rii = Ad9.
Sans qu'on soit obligé de négliger la résistance de l'air, 1 équation (/)
fera connaître sous forme finie, la valeur de ^ en fonction de 0, et
Fou en conclura sans diflS.çulté la tension variable da fil , ainsi que la force Q perpendiculaire au plan des oscillations. En calculant cette dernière force, ovL trouve qu'elle çst trop petite pour écarter sensiblement le pendule de son plan, et avoir aucune influence appréciable sur son mouvement.
Quoique d'après les valeurs générales des forces X, Y, Z, la formule ^dx -h Xdy -h TÂz se réduise à — ^dz^ on n'en doit pas conclure
DBS P&OXBCTILBS BA^S I/aIR. a5
qu'un liquide komogéne , soumb à ces forces, contenu dans un vase, et tournant uniformément autour de l'axe Oz^ parviendrait à une figure permanente, ainsi que cela a lieu, lorsqu'on a seulement égard à la pesanteur et aux forces centrifuges des points du fluide , résul^ tantes de sa rotation. En effet, pour cet équilibre des forces centrifuges et des forces X, Y, Z, il faudrait que celles-ci, étant réduites à des fonctions de j: , ^ , js , satisfissent identiquement aux conditions d'intégrabilité de la formule Xdx-i-Ydjr -hZdz^ savoir :
rfX rfY ^^ ^ ^
4y dx^ d* ~ d%^ dz '^ df'
Or, en désignant parm la vitesse angulaire et constante du fluide, on aurait , dans le mouvement dont il s agit ,
dx ^-r- 4T î ^
-=.^my, f, = ±/iM:, -3 = 0,
et par conséquent X = 4: 2/imxsin7, Y == + ^nmy sin y, Z = ^^ aiimycos> — ^\
ce qui ne satisfait pas aux équations précédentes, excepté au pôle, oii Ton a 7 = 90^. En tout autre point de la Terre, la figure permanente d'un liquide tournant dans un vase, autour d'un axe vertical, est donc rigoureusement impossible, à raison du mouvement diurne de la Terre \ mais la vitesse angulaire n de ce mouvement étant une très petite fraction , moindre qu'un millième , quand on prend la seconde pour unité , il s'ensuit que cette impossibilité ne saurait être reconnue par l'expérience.
(6). Reprenons actuellement les équations (e) du mouvement apparant d'un point matériel entièrement libre ^ et supposons d'abord que la direction de la trajectoire s'écarte très peu de la verticale; en
sorte que les cosinus -£,et -^ , des angles que fait la tangente au point
quelconque M, aved les àtêâ horiZontaoi des x et des j^, soient de très petites frâctîonâ^ doât on tiëglîgem les carrëS et le produit. Les expressions de XyjyZy èh fonctions de f, seront différentes, selon que le mouvement aura lieu dans h sens de la pesanteur on en sens contraire j nous considérerons ces deni câs Successivement en commençant par le premier.
Soit donc D un point de la verticale Oz^ cfii le mobile était situé à l'origine du mouvement et d^où il à été abandonné, sans vitesse initiale, à l'action de la pesanteur. J'appelle h la hauteur DO de ce point de départ au<-desstiii du sol ; pais , sans changer les directions des a: et des j^y je mets h — z à la place de z dans les équations (e) et (f) ; de manière qùé là nouvelle ordonnée z soit comptée à partir du point D et dans le sens de là pesanteur. Si Ton compte aussi Tare s à partir de ce point et dans le même sens que z , on aura
ds = dzj s = z, i' = 57, en négligeant ^ et ^•^ L'équation (/) deviendra
oa pourra l'employer an lieu de Tuné des trois ^uatiotis {e) , dont elle est une conséquétice; eïueooâel^yaitit les deux premières, «n aura, en même temps,
-5î; = ^n(i8my-f-^co8y)-C5--^, J
Je multiplie l'équation (f) par 2dz , j'intègre ses deux membres et je fais
il ea résulte
DES rROieçTiiiW DAHS l^'AIR. a7
i du r j
équation linéaire et du premier ordre^ dont l'intégrale complète est
et où l'on pourrait supposer que g* et c fussent des fonctions quelconques de je : on désigne ici, et I'qq ooDtiQuçra dç représenter dans tout ce Mémoire, par e la base des logaridimes népériens.
En remettant pour u Pinté^ale que cette l^tre r^^résente , et différentiant ensuite par rapport k Zy il vient
c ^ = !icfgdz — 4ce- ^f^^fe^f^'^ {fgdz) dz ;
d'où Ton tirera une fonction de z multipliée par dzy pour la valeur de dty puis une expression de t en fonction de z. Ainsi lequation {/'), du second ordre, à coefficients variables et non linéaire, est néanmoins intégrable sous forme finie, quels que soient les coefficients g et c. Gomme ils sont dans la question présente, des quantités constantes, on aura simplement ^ par les règles ordinaires,
en observant qu'on doit avoir ? = o et z==o, quand t = o.
Je substitue cette expression de ^ dfti» 1« éqMttQlW (f^) 9 H j'y fais , en outre ,
di —P^ Â - 9- Elles deviennent
D'après la théorie des équations diffiérentielles linéaires , pour intégrer celles-ci je fais d'abord abstraction du second membre de la première. J'en déduis alors ces deux autres équations :
g^P-J^ — are (p^-^q^) siny -= o, dont les intégrales sont
arc (tang = ^ ^ = B -h ^nt sin>,
en désignant par A et B les deux constantes arbitraires. On en conclut
a8in(2fil«iDy) + ^coeÇairtMiiy)
P et^F + e-tVgr >
aco8(aiminy) — » 6iip(amwn>^) ^
a el b étant deux autres constantes arbitraires qu'il faudra changer conformément à la théorie citée y en des variables inconnues y pour avoir égard au second membre de la première des équations données^ et déterminer les valeurs complètes de ;i et ^. De cette manière , on aura
shi (2/if sin >) ^ -4- cos (a/it sin y)^= 2 {e^^^^er^') nyj^ cos > ,
cos (2?irsin>)-2j — sin (2n« siny) 5^«=»05
DES PaarBGTU.B8 DANS |i'AIR. 39
d'où l'oa tire
da == an i^ co»> («•'^ —«"*''*) »»o(anfsm>) dit , </A = in \/\ co8> («••^«» ~ « -'»^«') cos (airt sin >) dt.
J'intègre ces différentielles, pais je substitue leurs intégrales à la
lie A* ^^
place de a et by dans les valeurs Aep etg, ou des vitesses ^ et ^. En
déterminant les constantes arbitraires par la condition que ces vitesses soient nulles quand t ss o , il vient
4r 4iy cos y r >' P (yK«n y) («*^^' — c-**^»*) n •iny"! .
d'où il résulte .finalement
, %ngco$y r /• coê (2m sm y) dr y
^ ~ ffc +Vwn*y L V e^e + e-^^r* J'
les intégrales étant prises de manière qu'elles s'évanouissent avec ty afin qu'on ait aussi x = o et j^- ~ o pour ^ = o.
Lorsqu'à son départ du point D, le projectile aura reçu une très petite vitesse horizontale dont les composantes parallèles aux axes des X et j^ seront désignés par a^ et 6 ' , il est aisé de voir que les quantité
qu'il faudra ajouter aux valeurs de ^ et ^ seront respectivement
211^ coi (%ni ttoy) «l* ^b'sïn (aninp y) 2b' cos (ani tioy) — 2a' •m (ani tin y) ^
et^ en même temps ^ il faudra augmenter x et jr^ des intégrales prises
3o SVK LB MOUVBMfiNT
depuis t=o, de ces mêmes quantités multipliées par dt. On suj^osc, dans la question présente , que al ^tll sont zéro.
(7). Si l'on fait abstraction delà résistance de l'air, il faudra faire c = o , et Ton aura
•^ = ^^ [i — cos {int sin y) — inH^ sin^ y ] ,
pour les formules relatives au mouvement dans le vide.
Quelle que soit cette résistance , ou la valeur de c, il est facile de voir que le coefficient de J/ sous le signe / dans l'expression de a: , est
toujours aunlassous de ^4 l'intégrale est donc moindre que -t^ et,
conséquemment , la valeur de x est positive ; ce qui montre que la déviation du projectile dans le sens du parallèle , se fera toujours vers r^5f ou dans le sens du mouvement vrai de la Terre. £n observant que la vitesse /i de ce mouvement est une fraction moindre qu'un millième 9 quand on prend la seconde pour unité, de sorte que le produit nt ne peut être aussi qu'une petite fraction , idans toutes les expériences qu il est possible de faire sur les déviations horizontales des corps qui tombent d'une hauteur consîdérafale, on conclu», sans difficulté, de la comparaison des valeurs générales de j? et^, que là deuxième doit être regardée comme insensible par rapport a la première. C'est donc aux erreurs inévitables de ce genre d'observations qu il £tut attribuer les déviation;^ dans le sens du méridien , que quelques physiciens ont observées. U suffira par conséquent de consid^er la déviation dans le sens du parallèle, ou la valeur de x.
En négligeant le carré de nt dans l'intégrale qu'elle renferme, on aura
/ji7rr7-.TvV = X^fe ^"^ (**°8 = ''' "^"^
'W'F + e-'V^«' Vgc ^ ^ ^ Wf'
DES .PBOJBCriLBS DANS l'air. 3i
jr d^sîgnwa^ k l'ûrdinaire^ le r^iportde.la circoDfét^noe au diamètre. Si Ton appelle d le temps total de la chute employé par le mobile pour atteindre le sol, ou tomber de toute la hauteur DO^ et que Ton de* signe par «T la valeur correspondante de a: , on aura donc à très peu près
celte hauteur DO ayant étë désignée par A, on aura, en même temps ,
et dans ces équations il faudra faire
^ == 8^' êf=^ (9580557) (i — 0,002588 • cos 2>) ,
en prentrat k secoiide et le mètre pour unités de temps cit die longueur. Quand les valeurs de A et de d sei^oat données par l^observati<iii , la seconde de ces équations fera connaître la valeur de c relative au projectile dont on aura fait usage ^ et ht première déterminera ensuite la déviation horizontale , que Ton pourra comparer à celle qui aura été observée.
Pour donner un exemple de cette comparaison , je choisis les expériences faites en 1833, dans les mines de Freyberg, par M. le professeur Reich. Les valeurs de A et de d étaient
dans le lien de Tobservation , un avait
y =5= 5o^ 53% ^ = 9*81075 i au moyen de ces valeurs , on tttmve après quelques essais ,
d v^ic »- 0,95 , ^«400,01 ,
5â SUR LB MOtJVEMSNT
de sorte que la ligne reprësentëe p«r • ëCa 4oo mètres; et l'on trouve ensuite
ou à peu près vingt-sept millimètres et demi. M. Reich a conclu, de la moyenne de 106 observations,
ce qui diffère du résultat dû calcul, de moins d'un millimètre. Dans le vide , pour la valeur donnée de la hauteur h , on aurait
et en négligeant le cube de n/ dans Teipression de ^ qui répond à c = o , et 7 ûisant t=^ B , on aurait aussi
^ =^ \gr^cosy = 0,027644 9
en sorte que la résistance a augmenté le temps de la chute du mobile, de 0,376, ou d'un peu plus d'un tiers de seconde, et diminué la déviation ^, de 0,0001 5 , ou de moins d'un sixième de millimètre.
(8). Je suppose maintenant que le projectile soit lancé verticalement et de bas en haut, avec une vitesse donnée que je représenterai par a.
En comptant z dans le sens de ce mouvement et à partir du point de départ O, cette ordonnée sera positive dans toute l'étendue de la trajectoire; mais la différentielle dz sera positive dans la partie ascendante de cette courbe, et négative dans sa partie descendante.
Or, si Ton néglige comme plus haut les carrés ^ et ^,, on aura
^5 = + rfej et la différentielle d!s devant être constamment posi-
DES l»ROISC!rit«tt DAlfJ L'AIR. 3^
positive (n* a) , il faudra prendre ds=^dz dans la première partie , et 4b ??s ~- dk dans la seconde; au UMyeo de qaai , Fëquaticm (/) aura ces deux form^ différentes, savoir :
d^ dt'
pendant que le mobile s'çlèvera , et
pendant qu'il descendra.
L'intëgration de la première dé ces deux équations donne
dt \a 1/
c cos / ^gc *^ y^g mn t \/gc) V§
^log(ay/|sinr V^ H- cos f Vgx?) ,
où. l'on a déterminé les deux constantes arbitraires, par les conditions — = a et z = o quand * = o. Ces expressions de -^ et z ^n fonctions
de t^ auront lieu jusqu'à Tépoqueoii l'on aura -^ = ^ et oii le mobile cessera de s'élever ; en appelant V le temps de son élévation , on aura donc
a Vc cos y S/^c — \^ sin V Wgc ^ o; d'où l'on tire
et par suite
^ ^ V^ ^^^ 0^°^ ^ "* V^^^ *' = -élog\/*-
en désignant par A' la plus grande hauteur à laquelle le mobile parviendra.
