iv^ mmvwtxnw

jâ^prè$ le.teoips d^^^rle corps coGamenoi^paà ^esc^nd^^, ^ ^^ vaJbiurâ de ^ et 4e ir^mbCiif^ës à^bisoéoiide fiarlie lie a«i meuncnfeiisr^ «obtiendront en intégrant la seconde ëqaatian difRerentielle dn seccmd ordre et dëterminant les constantes arbitraires, par les conditions -^ =.o et

JE == A ' quand t ^ d^ ; ou bien , si Ton transporte l'origine des coordonnées au point le plus baut de la trajectoire , que l'on compte les z dans le sens de la pesanteur, et le temps t à partir de Tëpoque où le

mobile commence à descendre, les expressions de ^ et de z en fonctions de t^ seront celles du n^ 6. Elles subsisteront jusqu'à ce que le mobile soit retombé sur le sol , ou que l'ordonnée z, ainsi coixiptée, soit devenue égale à U \ en appelant donc d^ le temps de la cbute, et a^ la vitesse au point le plus bas ^ en «uisa

à eause de la valeur prëcëdeote de U y on ei^ condocA

et de là on déduit

*aV-g

Le temps total de l'élévation et de la chute successives du projectile peut être déterminé par l'observation; en le désignant par d, son expression sera la somme de 9^ et 9^ , en sorte que Ton aura

9V'^ = «c(taiig = a/p + rog('^^H^-ii^^i (g)

DES VMMWCmiMÊf UàîSB jJaIH. iS

ëqvatîoQ que ïim pourra faire- aiHPVÎr à k dëurminatiMi â« la constante 0^ relative a» oiolHfedbiit on «iiia> fait UflAge^ lorsque la vilfesM <le.prcyi^tîon a sera coonuer

Pour, donner un . exemple numérique de l'application de cas diverses formules 9 je suppose que cette constante c et la gravité g soient les mêmes que dans le cas du numéro précédent y et que la vitesse a soit aussi celle qui élèverait le mobile à lue hauteur h' égale à la hauteur h qui avait lieu dans ce même cas , de sorte qu'ôw ait

en prenant toujours le mètre et la s econ d a sexagésimale pour unités de longueur et de temps. L'expression de h' en fonction de. a, donnera réciproquenoent

a = v/f ( "' - = 68,89i on aura aussi

le temps d^ de la chute aéra 6^06, comme dans le aaa du numéro précédent ; et qoaiit au tempa de l'élévation y on aura

d'après son expression précédente en fonction de a. Dans le vide, on aurait , par les formules oïdinairas ,

a^ = a = SSy'j'j , 0, = ô' - 5,685.

Four une élévation à la mente hauteur A.' , la viteise de projection a

est donc moindre dans le vide que dans Pair , ce qui devait être

évidemment; mais, à raison de cette différence des vitesstes, le calcul

montre que c'est le temps ' ^ l'ascension dans le vide qui est

le plus grand.

36 SUR DS UOVrËMEMBÊ

(9). Peoila»! toute ki durée de rascensian du projectile^ son mouvelaeat horizontal sera dëtermiiié par les deux premières équations («) ,

dans lesquelles on fera ^^==i/z, et où l'on substituera pour ^, son exprès-

sion en fonction de ^ et de a du numéro précédent. En y faisant ^ en outre

dx I àr I

elles deviendront

di ^ ' ay^ c sïn l^ gc +{/ gtOBi \/gc

i^n^gc cos y ( t/^ 8in< \/gç — <» V^c co» < t/^c )

«* '^ «|/c tin I V^^c + ygcoêt \/gc ^

En intégrant ces deux équations simultanées de la même manière que celles du n® 6, et en remettant ensuite pour p' et q^ les vitesses

^ et ^ qui doivent être nulles quand f = o , on trouve

dx 4"**» ^g9akytwytàn(%runay)^a7tg ^gcoBycoê (aiinin y) .

di Cfc — 4«*»n'y)(«V^2ttnH/^+ V/^cosiv/^)

"~* gc — ^^sïn'^y '

4r 4^*a V^y sin> coi> cos (amsin }^) — » ayy ^/y cosy 8ip(aw< ain y)

^^ (je — 4«* Bin'>) (« 1/ c sin/ |/^c + V^^co» t V^gc)

d'oii Ton tire

__ 4«*a V^^ iiny co8> 4* aay j/gy cob > — aayic^y

4'**? l/yTsinycosy — ^ng y^gTcosy

jc — 4''*»iQ*V

DES PB0nCTII#B8 BANS L'AIR* ^

en faisant, pour abréger,

/cos{i nisïny)di m

a |/ c tin I l/gc + V^ géant ^gê ^

al jMppaiSaDtque Mi intégrales s'ëwnonîaseDt avec t^ a£n qu on ait X »-o txy ^ o , quand < »» o.

Si. la vitesse de projection a n'est pas extrêmement grande,, le pro* duit ut ne cessera pas d'être une petite fraction , et par la comparaison des valeurs de jt et de j^ , on s'assurera facilement que la déviation y dans le sens du méridien , sera aussi très petite et négligeable , par rapport à la déviation x dans le sens du parallèle. Quant à celle-ci , si Ton néglige le cube de n dans son expression , et si Ton y supprime, en conséquence, le terme qui contient T, on aura

oii Ton prendra

a l^sin i ^ gc -f- |/^co«i ^ gc

ou , ce qui est la mênae chose ,

^ J («•c + g')coi- / ^gc ^ (fc y c J ^a^c ^ g) gin. , |/^7« g'

Ces intégrales s'obtiendront par les règles ordinaires : si on les él depuis < = o jusquà t=^V ^ et en ayant égard à la valeur de V du numéro précédent , on trouve, toutes réductions faites ,

ec en désignant par ^ la déviation ce qni répond kip^^V , ou an point

38 8UR liB MOUTBMBtlT

le plus haut de la trajectoire , il en résultera

ô = i. . ir II ir pxr lOS ■ ,' ■! ■ ! ff » r . .. . — tf I.

<? La |/c (aV + ^) ^ l/u'c + ^ — tf V^r J

J'appellerai IV ce point le plus ëlevë, et je désignerai par a! et V les oomposacrtes parallèles aax ases des x tt dea j^ , de k^ tîMsse horizontale dont le mobile sera animé en te point. Leurs taleilrs se

déduiront de eelles de ^ c* ^ qu^on vient de former, en y ikisant

t = &\ d'où il résultera . , .

/ anl/eoo«> 211 «ofv

,/ 4n«(d— ^^) gin >co8y «^ — *' * .tilt /.Ai; **4jt " f

en négligeant toujours le cube de n. Cela étant , si l'on transporte l'origine des cordonnées en ly; que l'on compte les z daua le Sieœ da la pesanteur, et le temps t à partir de l'époque où le mobile à atteint ce point ly, les déviations horigoatales du mobile, pendant toute la durée de sa chute, seront exprimées par les formules du n^ 6, en ayant égard aux termes relatifs aux vitesses d et If indiqués à la fin de ce numéro. Au degré d'approximation où nous nous arrêtons, ces termes» dans l'expression àe a:^ se réduiront à

l'intégrale étant pnse depuis f=o. Dans rjexpressioo, de^,, ils auront 71^ pour facteur ; en sorte que la déviation dans le sens du méridien continuera d'étr« très petileet négligeable par rapport à la déviation dans le sens du paraHèle. En représentant par ^^ cette dernière déviation , CQmptée à parûv de 1a verticale du point Q^, et qui aura lieu

DES PftfiiMfftUUIBJLMSJU'AlR. %

guaiKl,Jle.prqîficAile. sfx^ ^^ tombe »ar h sçl^ U ytilt^iir d«, S"- , sç déduica de celle de J" du n° 7 , en j faisant *=ô, > et y ajoutant la formule qu'on vient d^ecrire , dans laquelle ôp étendra Tîntëgrale jusqu^a cef le valeur

de L De celte manière , on aura

Le «MHps ^/eat îd celoi de la thute toUile d<ii ^nobtèa-i ^6nt la ^laiëor a fêlé/ dmtiuje ^lans k nuinéro fMnésédcoiit, et é'«près laquelle 4'€sprtnioiî d» la dériartôra ^ y pendamt^élévatîoii d» mobile, pourra ^étrire^ftOQS'oetle fMmM :;

an 008

* iV^,;- »')•

Maintenant , soit J" la déviation totale du projectile, comptée de son point de départ O et sur le sol, & Yest ou à i^ouest de ce points sdbn que sa valeur sera positive ou négative ; nous aurons évidemment

résuhat que l^on pourra eoitiparer à fa mesure directe de cetfe quantité i.

Dans le cas du vide ou de c==o,. les équations (e) ne contiennent pas ds *, elles conviennent donc aux parties ascendante et descendante de la trajectoire; et comme elles sont linéaires et à coefficients constants, no «n peut déduire les ^rietara exact» de ^ , ^ , ^ , en fbttctions de f , par les règles ordinaires. Pour plus de simplicité^ si l'on néglige le

carré de n, on trouvera