VI

le temps t étant compté à partir du 'départ do projectile, cest«â^

4o • SVK LE BfOUVBMSMT

dire^à pàrtirde Tëpoque oh x^jr^z^ ^, ^, sont zëro, et o4i Foo a -j,— *-

Quand le mobile sera retombe sur le sol , on aura encore z = o ; si donc on appelle toujours 9 le temps entier de son élévation et de sa cbute successives , et J" sa déviation totale dans le sens du parallèle , il en résultera

Cette valeur de ^ montre que la déviation aux» lieu â ï^uest du point O^ et sera proportionaelle au cube de la vitesse de projection. On la déduit aussi de la souocie des valewra de ^ #fc ^,9^^ déve^ loppant, suivant les puissances de c^ d'abord ksiMpMiaioDS.de*^ et 6^, ce qui donne

^ == :; — -cr + etc. , fl, = -— ^H-etc;

g 3^ -•- — • » "' — g 6g^ puis celles de S* et i.'y et faisant ensuite c=o , d'où il résulte

en sotte que les deux déviations successives S' et i^ sont égales, dans le même sens , et moitié de la valeur de ^ qu'il s'agissait de vérifier.. Pour c == Oj l'expression précédente de o^se réduit à

ce qui s'accorde aussi avec celle que l'on obtient en faisant < s= ^ , dans

ÂX.

l'expression de -j- relative au mouvement dans le vide. (10) Prenons pour exemple, comme prëcëdemment ,

7 = 5o«53', ^ = 9,81075, l = 400,01, a^ 68,89, fl' ^ 5^^8, fl;«= 6,06;

DES PROJECTILES DANS L'AIB. 4i

nombres qui supposent que le mètre et la' seconde sexagésimale soient les unités de longueur et de temps , et qui répondent à une élévation h' du mobile dans Fair^ égale à i58'',54« A cause de

vrr

on trouvera pour ses déviations

de sorte qu'elles s'observeront à Vouest du point O , et que celle qui a lieu pendant Tascension du projectile surpassera Tautre d'environ 9 millimètres. On aura , en même temps ,

af ^ 0,012043,

pour la vitesse horizontale du mobile au point le plus haut de la trajectoire j et c'est à raison de celte vitesse, dirigée vers Vouest y que dans cet exemple , le corps retombe à Y ouest du pied de la verticale de ce point, et non pas à Yest^ comme dans le n^ 7. La hauteur h' restant la même, on aurait, dans le vide,

ce qui fait voir que la résistance de l'air a diminué la déviation totale d'environ 28 udillimètres.

Pour donner un second exemple , je supposerai que le projectile soit une balle de plomb lancée verticalement par un fusil d'infanterie, et que sa vitesse de projection soit

a = 434- Si l'expérience est faite à Paris, on aura

A 2 SCR LE MDUVfiMBMT

et pour plus d'e&actiliid^, si l'on veut tenir oompte de k perte de poids du mobile dans Tair, il faudra diminuer nn peu cette valeur de g^ et la réduire à 9,80750.

En répétant Texpérience un grand nombre de fois, et observant à chaque épreuve la durée totale de l'élévation et de la chute successives du mobile, si l'on prend la moyenne de ces durées pour le temps 9, l'équation (g) fera connaître le coeffident c de la résistance^ relatif au projectile dont on aura fait usage. Pour fixer les idées, je prendrai

valeur qui se déduit de celle qui avait lieu dans l'expérience de M. Reich , en admettant que ce coefficient soit en raison inverse de la densité et du diamètre du projectile , et que dans cette expérience, où il avait o,oo25 pour valeur , la densité du mobile était environ les deuK tiers de celle du plomb , et son diamètre à peu près deux fois et demie celui d'une balle de fusil; ce qui donne o,oo25 . | . 7, ou à peu près 0,004» pour la valeur de c relative à cette balle. Les unités de temps et de longueur sont les mêmes que dans l'exemple précédent. Gela posé, par les formules des n^ 8 et 9, on trouvera

h! = 5449^^9 a' = — 0,0208, fl, = 499^01, ff = 7,3567, ô, = 14,474,

pour la hauteur à laquelle le projectile parviendra, sa vitesse horizontale au point le plus haut, la vitesse verticale qu'il acquiert en retombant, les durées de son élévation et de sa chute successives ^ qui sont^ comme on voit, très inégales. On en conclura ensuite

La déviation J"^, qui a lieu pendant la chute du mobile, se ferait donc à Vest du point O; ce qui signifie que la vitesse horizontale, acquise à Vouest pendant l'élévation , ne sucrait pas , comme dans

DES PROJJBCTILB9 DAMS L.'A1R. 45

l'exemple précédent, pour rendre la valeur de ^^ négative. Dans. le vide 9 on aurait, pour la même vitesse de projection,

^^=.9601, a' = — 0,9217, ûf, = « = 434,

«'=«^ = 44,245, ir'«^, = — 37,186, ^=^54,372;

où l'on voit combien les résultats seraient différents de ceux qui ont lieu dans Tair, surtout à Tégard de la déviation <r que la résistance du fluide réduit à environ un 5oo* de sa valeur dans le vide.

Les auteurs qui ont écrit sur la Balistique ne s'accordent pas sur le coefficient c de la résistance de Pair: plusieurs même le supposent dépendant de la vitesse du mobile; ce qui revient- à considérer la résistance comme n'étant pas proportionnelle au carré de cette vitesse. D'après son expression le plus généralement adoptée , et que j'ai citée dans mon Traité de Mécanique^ on a

p étant le rapport de la densité de l'^ir a celle du proiectile^ et d son diamètre, exprimé en mètres. Le rapport de la densité du ploinb à celle de Teau étant 1 1 ,352, et en prenant 825 pour celui de la densité de l'eau à la densité de lair, qui répond à la température , à U pression et au degré d'humidité ordinaires, on aura, à peu près ,

et si le diamètre de la balle est

dusi o,oi635, il en résultera

ou environ les troifr-quarts de la valeur de c, dont nous venons de faire

usage. Toutes les autres données restant les mêmes , on trouve S^ = — 0,^10785, ^,= — O9OO0149 J'= — 0,2099,

c'est-à-dire une valeur de ^à peu près double de celle que nous avions obtenue. CTest d'après cette valeur de p qu'on a effectué plus haut, la diminution de valeur de g^ due au poids de l'air déplacé par la balle.

(11). Considérons actuellement le cas général où le mobile est lancé du point O, suivant une direction quelconque , qui fait avec Taxe vertical Oz, un angle donné &; et désignons par a sa vitesse initiale.

Soit OA la projection horizontale de cette direction; appelons 6 langle AOx que fait OA avec Taxe Ox des a: positives (n^ 4) i angle qui sera compté vers le nord à partir de Ox , ou à la gauche de Tobservateur placé en O et tourné vers Vesty et qui pourra s'étendre depuis zéro jusqu'à 36o^. Par le point O, menons une autre droite horizontale OB, perpendiculaire à OA, et telle que Tangle BOx soit égal à €+90''. £n désignant par i^ et i^ les deux coordonnées horizontales du point quelconque M de la trajectoire^ rapportées à ces axes OA et OB, on aura

X ~ ucosC — psiné, j'=« wsin€-hi/cos€,

pour les valeurs de ses anciennes coordonnées x et j^.

Si l'on n'avait point égard à la rotation de la Terre, ou à la fraction 72, le projectile ne sortirait pas du plan vertical des axes OA et Oz;

pendant toute la durée du mouvement, Tordonnée (^ et la vitesse -j ,

perpendiculaires à ce plan , seront donc des quantités de l'ordre de petitesse de 71; nous négligerons, en conséquence, les carrés et le

produit de -£ et de n. Nous aurons alors

DES PROJECTILES DANS iJAIR. 45

et les équations (e) deviendront

du • fi • ^ ^ ^

2n-^sinbsiny — ^'*"5 COS7

ds du fi ds dif . ^

du fi ' ds du ' fi ds dv ^

: — an^cosesiny-CgjjjsmC— c^^cosC,

^du fi ds dz

' 2n^^cos€ cosy — g — c-ji^^, ou y plus simplement ^

i^u ds du dz fi

d^v ds dv . du ' ^ d»

d^u fi

^cosC-

d'v • fi

d*u • fi .

^^cose

Cul • UM * J9 x / T \

in-j-siny -i- in-j^siuh cosyy \ {nj

di^ di di

d*z ds dz du fi

-T — hC-r -r-*-fif = ^^":j:COSbCOS7.

dt^ di dt ^ di '

Pour déterminer les six constantes arbitraires que renfermeront les intégrales de ces trois équations, on aura , pour <= o, les six conditions initiales :

a=:o, i^ = o, je = o, -^ =a costf , -^g = 0, -^ =flsin*,

où l'on a fait 6 = 90^ — a, de sorte que a soit l'angle compris entre la direction de la vitesse a et sa projection OA , qui sera positif ou négatif 9 selon que le mobile aura été lancé au-dessus ou au-dessous du plan horizontal , mené par le point O*

(12). Si l'angle «test positif et très petit, la trajectoire s'écartera aussi très peu de la droite OA, tant que le projectile sera au-dessus de ce plan horizontal. Dans cette partie de la courbe^ on pourra négliger

le carré de -^ j et comme la différentielle du sera constamment posi-

tive , on aura alors ds = du.

46 SUR LE MOUVfiMBNT

En uégligeaDt également le produit n ^ , les équations (h) se réduiront à

itu di^

d^v du dif du •

d^s du dz , du gf

eu bien , en faisant

du ^^^ / A» ^^ / du t

dî — "^ dî — ^' Â" — *^

et observant qu'on aura

il en résultera

di/ j

cr = — an sm >.