DES PROJBCTILU DAN8 L'AIR
uôgent au plan an parallèle, at sous le même atogle u que dans le plan ^
du méridien y la portée 4r sera augmentée ou dlminuëe, selon que- ce -^
tir aura lieu vers Yest ou vers Y ouest; et pour atteindre à la même por^ !
tée , il en résulte aussi qu'il iaudra diminuer Taogle « , quand on tirera \
vecs Yest , et Tangmenter, lorsque l'on tirera vers 1 ooe^f •
L^angle a restant Irinéme /et le tir ayant lieu dans le plan vertical qui répond à l'angle AO4? égal à C, si Ton appelle Ç.la valeur de Tor-donnée z correspondante k u=^^y et qu'on ait égard à l'équation (y.) et k la valeur de t , on «n conclura
== ^ \e —cm — i) =— «<w.
Enfin y soit A la valeur de 9 qui répond à u = ^ , ou la déviation horizontale du projectile, mesurée par la perpendiculaire abaissée du point £. sur la droite OA j nous aurons
A=: T^yje — O^ir— il.
Cette^uantité étant -indépendante de €, et toujours négative, cela montre que la déviation dont il s'agit tombera sur le prolongement de Taxe OB, c'est-à-dire à droite de l'a^e OA, en regardant du point O vws le point Ë* Par conséquent, si Ton fait coïncider successivement la ligne OA, avec les quatre demi-axes des x et^, ou , autrement dit, si l'on tire successivement vers Yestj le ikordy Youest et le midi^ les déviations horizontales du projectile auront lieu respectivement, vers lejnidi, Yesij le nord et l'oi^^f , en conservant une grandeur constante.
On peut remarquer qu'il existera entre les quantités Ç et A, ce rapport très simple :
Ç= — Acosfcoty,
qui ne dépendra que de l'angle^ et de la latitude y du lieu de l'observation.
5o SUR LB w^vrmtmuT.
(i4}- Appliquop« ces diSéNiite irésukutft»!^ iifkUkciàk. Pear^iefaiy supposottâ le cestre C de k cible, placé êm W duMto QA 9 «t Mw^pUa pevpeiulicQLaire à cfUe droite ; deofl €6 pUn^ menons pw le poîot G ^ deuîK droite» 9 Tane liorizentale, et l'autre veiticak; suppeaMis qoe le soldat y qui tire du point O, yise de son mieux twb le point C^ et que le fusil soit juste, ou n'ait, par sa oonstructioii , aiieaiie tendanee à abaisser ou élever les coups , ni à les Âdre déyier à droite on à gauche. On prendra la distance donnée OC powr la valevr de «r; et ks^ quantités a et c étant aussi données, on calculera 1 angle « ui mojen de Téquation (/). Or, à raison du mouvenAcnt de la terre, k point O, où le centre de la balk atteindra le plan delà ctbk,^ suffisamment étendu, s'écartera du point G, et ses coordonnées rapportées aux deux lignes menées par ce dernier point, ou , plus exactement, leurs valeurs moyennes,, déduites d'un très grand nombre d'épreuves, seront les quantités Ç et A.
Gela posé, si Ton mesure à chaque épreuve, les coordonnées deG^ ; que l'on regarde comme positives, celles qui tombent , soit au-dessus de la ligne horizontale, soit à gauche, par raj^portau soldat, delà ligne verticale, et comme négatives , celles qui tombent, soit au-dessous, soit k droite ^ et ai 1 o& désigne par m et par /ce , kfi sommes de toutes ces ordonnées verticales et de tontes ces aheeisses horiaoaCales, divisées par \e aAmbre toial dea épneuves,^ supposé très grand, on aura, k très peu près et. Inès probabkment (^)
m :^;ï Ç, fit =;= 3i^
Quelle que soit la direction du tir, ou la grandeur de l'angle f , la viation moyen ne >e aura lieu à la droite du soldat, et convergera very la quantité A , négative et indépendante de C. Mais k moyenne m variera avec cet angle :^ elle sera nulle , quand on tirera dans le plan du
(*) Yoyez , sur ce potet , moû Mémoire sur la Probabiiité du Tir à ta Cible, inséré dans le n* lY da Mémorial dà f Artillerie.
DES PAOJECTILSS DAMS L'aIR. 5t
«NfaidiMi^ eU» aMeiadni ma maximum dans \t pfain tâogeiit à erini 4« pawlléfo^ 0t répottdni à an point G^, sttaë ao^desmis cm attniitsMMiB 4e la Ugoa knrisontale, neriée par le point G, sekrn qu'on tirera vers le^f ou vers V ouest. Si l'on vent que cette moyenne m soit nulle dans un plan vertical quelconque, comme dans le méridien, il faudra pour cliaque angle Cy augmenter la distance AC, de la quantité n, en conservant le même angle «, ou bien augmenter cet angle, de la quantité f, en conservant la même distance A G.
Voyons maintenant quelles peuvent être les valeurs numériques de <:es déviations Cet A, et s'il sera nécessaire dy avoir égard dans la pratique.
Gomme dans le dernier exemple du n^ lo, je prends 434 mètres par seconde, pour la vitesse de projection a, et la n>ème valeur de c, ou, ce qui en difière très peu, je fais c ;ss: o,oo3 pour la commodité du calcul. Je prends aussi 200 mètres pour la distance OG, ou la valeur de ^. Au moyen de ces nombres #t de la valeur de gf, Téquation (y) donne
et=ay5o^ On trouve , en même temps,
X = — 0,0063, Ç=a(o,oo54)cosb,
en prenant pour y la latitude de Paris. Or, ces déviations ne sont pas «ssefls considérables pour influer sensiblement sur la justesse du tir, ni même pour qu'on puisse les apprécier dans les moyennes de longues séries d'épreuves.
Dans le vide , on aurait
et en employant les donn^ précédentes, on en déduirait
a = 1 7' 56^', A =c — 0,0049^ C = (o,Oo44) COS C ;
5fl SUR l^B MOUVBMBNT
quantitës moindres que leurs analogues dans l'air, de sorte ique^ pour une même portée et une même vitesse initiale, la résistance du fluide augmente Tangle du tir et les déviations du projectile dues au n^ouvement de la terre.
(i5). A cause de la petitesse de la fraction n, on peut, quel que soit l'angle a, déduire des équations (A), des valeurs très approchées de x,^, z. Nous allons en donner les expressions , en nous bornant aux termes dépendants de la première puissance de cette fraction , dont on a déjà négligé le carré pour parvenir à ces équations.
En négligeant d'abord tout-à-fait la fraction n, on sera dispensé d avoir égard à la seconde équation (A), et les deux autres se réduiront aux équations ordinaires de la Balistique ^ savoir,
4^11 ds du
*• ^^ ^ dtdt d^% ds ds
de ^ ^ didi
^3rÂ-^fir=^-
on tire de la première^
du — «'
^=:aCOScltf ,
en comptant lare i à partir du point de départ O , et observant qu'on a
du
alors -^ = ^ ces ii pour 5 =so. Si Ton fait ensuite
di Pâ > la seconde des équations précédentes deviendra
dp du
li di S y
et d après la valeur de ^', il en résultera
du a* €9a* «*
DES PRdlBCni^V DAICS L'AIR. 55
On aura, e» même temps y
en sorte que p sera la tangente de 1 angle que la tangente à la trajectoire, au point quelconque M et prolongée jusqu'à l'axe des u^ fait avec cet axe. Au point O^ onaurà/?=tang a) dans la branche ascendante de cette courbe, p sera une quantité positive et décroissante; au point le plus baut^ on aura /9 = o ; dans la branche descendante , p se changera en une quantité négative et croissante, au point E ou le mobile retombe sur la droite OA, si l'on désigne par a! l'angle aigu compris entre EO et la tangente à la trajectoire , et par ^ la longueur de EO, on aura p^ — tang a! pour ci = 4v : on appelle a et a^, l'angle de tir et Fangle de chute, et ^ la portée ; dans le vide on aurait
L'équation {k) ne contepant^ ni le temps ty ni sa diflférentielle ii!r ,.est celle de la trajectoire \ et comme on a
y^i '^ p^ du=zds y
si on la multiplie membre à membre par cette autre équation, et qu'on intègre ensuite^ on aura
k étant la constante arbitraire, dont k vateur se déterminera en faisant 5 = o et /? = tang «, et sera , en conséquence ,
A=:tang«y/i«t-tang^«-4- log (tang a -h^^i -h tang^*) H
ca* co»^ •■
Cette équation (/) fera connattre Favc OM de la trajectoire, en foac-
^4 «Ua IiB MOUrBMSlIT
tion de la variable/? qui se rapporte à son extvénitë M. Ea la conbi^ nant avec les formules prëcëdentes y et faisant y pour abréger
on en déduira y sans diJQiculte ,
<fo.=-^, <&=-^, a, — ^, („)
équations qui donneront par les quadratires, les valeurs numériques des coordonnées de chaque point M ds la trajectoiw , et du temps t que le mobile emploiera pour décrire Tare OM. On en déduit aussi
pour la valeur de la vitesse du mobile en ce point M, qui s'exprimera, comme on voit , sous forme finie. Au point le plus haut, par exemple, oii Fou a jE? = o, on aura
Le rayon de courbure au point quelconque M s'exprime également em fonction de p ; en le désignant par R, on a
et , par conséquent ,
Il en résulte que si Ton appelle /la force centrifuge en ce mime point, on aura
DBS FBUncniiM DAN9 l'air. 55
de sorte qu'an point le pins liant, elle est ëgaleà la gnavitë, ceqnî doit être y en effet, puisqne ces denx forces s'y font ëqnilibre , quelle que soit la résistance de Pair, qui leur eat perpendiculaire* Si nous faisons
tang« = ev, tSLng a! i=: ^^ ,
et si nous d&ignons par le temps entier du trajet du projectile, audessus de la droite OA, ou depuis le point O jusqu'au point E, les valeurs de ^ et 9 s'obtiendront en intégrant celles de du et dt^ depuis p^=e^ jusqu'à p = — A)^ ou , ce qui est la même chose, depuis p = — ûi^ jusqu'à p = â», en changeant les signes des résultats; ce qui donne
Et comme «o paint Ë, oa «.x«=sOy oq «mu, en outre) cette équation transcendante :
pdp
qui servira à déterminer la valeur numel-ique de »', quand celles àee* et de ^ seront données.
Saas la résoudre , on en peut conclure que l'on aura e»' >« , ou que Tan^^le de chute surpassera toujours l'angle de tir. Eln effet , j'écris d'abord cette équation sous la forme
J p* Jo
puis je mets — ses limites dev
-p et — «i^ à la place àep et dp dans la seconde intégrale* iennent zéro et «'; et il en résulte
Jo P* — Jo 0»' ('»;
oh. l'on désigne par Q ce que P devient par le changement de signe de p^
56 SUR LX MQtrVBMBHT
de sorte qu'on ait
Q-=k^p \/i^f^^\og{p^\/i^p^).
en observant qu'on a identiquement ,
log( — ^^ \/i'i'p^)^\ùg{p^y/i^p^):=o.
Or, pour une même valeur àep^ cette quantité Q^ surpasse P*; les éléments de la seconde intégrale sont donc moindres que ceux de la première; par conséquent 9 pour qu'elles soient égales^ il faut que les limites de la première soient moins étendues que celles de la seconde ou qu'on ait <^ < û/; ce qu'il s'agissait de prouver.
Chacune de ces deux intégrales divisée par Cy exprime la plus grande hauteur à laquelle le molnle s'élève dans l'air; en sorte que l'on a
^ cjo P*'
en désignant par Z cette hauteur maxima.
(i6). Pour avoir égard maintenant aux seconds membres des équations (h)y je désigne^ en général, par la caractéristique ^, placée devant une inconnue quelconque, la partie de sa valeur qui dépend de /i. Cela étant, il faudra substituer dans leurs premiers membres, les valeurs
de ^ et ^ que l'on vient d'obtenir, augmentées de ^ ^ et ^ ^ , et j metire ^^ ^u lieu de ^; mais puisqu'on doit négliger le carré de n, il suffira d'employer, dans les seconds membres , ces valeurs précédentes de ^ et ^; et de cette manière, en multipliant ces équations par dt , nous aurons
DES PBOYBCtILCS ^iÉiHB L'AIR.
cdsJ§
^cosecosy, -^ sm y gFsm ^ C0S7,
^COSb cos>.
On simplifiera ces équations, en faisant
En les mnltipliant ensuite par e^* y et ayant égard à Téquation (Q de la* quelle on tire
aV^ccot«i
elles deviendront
Vî
j^ oo««siny^ p^cos«8inecos>, — 22^ oos«ea8^cos>.
PK«e
De ces fomrales » jointes au précédentes , on cooclnra
anco*
gcwy fpdp
cP
»wiii|C<o>» f/t^
cP
an coê C C08
les int^prales étant fsimè 4e manifère qu'elles s'éyanoniaMnt à Torigine du mouvement, ou quand pe=s», attendu que les valeurs de $ et ^
du numéro précédant, et ^ ;=; ^ ^ ^0, satisfont d^à au> conditions
58 SUR LE MOVVBKBNT
de la vitesse initiale. Quant à l'accroissement de la vitesse même , il se déduira de ceux de ses composantes en observant que d'après lexpres-
sion dé^ da n^ II, on a
^dt—di^di^d^^di — 7/TT^VTt'^P^dty^
d'où Ton conclut
En intervertissant Tordre des caractéristiques <^et ^, on a
ttdu dtu j\dv dtv «dit <//«
Si donc on multiplie les équations précédentes par dt\ que l'on y mette pour cette différentielle, la troisième formule (jn)\ et que l'on intègre ensuite, on aura
jjv ^^^ ^^^ an gin 3k /Y^ /*<jp\ - anainCcos^ /V^E /V^N
les secondes intégrales s'évanouissant aussi/quand p^=^ûf.
De ces trois formules , on déduit cette équation .
sin € cos > ^ -H cos 6 cos > J^i^ -h cos y^z =« o
indépendante de n , et qui fait voir qu'au degré d'approximation où nous arrêtons, la rotation de la terre n'augmente ni ne diminue la
DES PilOiaCVtLIMI BANS L'AIR. Sg
distanoe du prajectilê , pendant tonte la durée de sou mouvement y au jplan du parallèle passant par le point O.
(17). Dans cKaeune de ces mêmes formoies, tes deux intégrales successives peuvent être considérées comme das intégrales définies , prises depuis m jusqu'à py ou^ si Ton veut, depuis p jusqu'à », afin de rendre la variable p croissante et sa différentielle positive, dans^ toqite Vétendue des intégraticms.
Si Ton élend ensuite la seconde intégrale depuis ^^^ — 4/ jusque p = a^ dans la première formule, et seulement depuis p ^ o jusqu'à p^=sieê dans la troisième , on aura les accroissements de la portée et de la hauteur maxima' dus an mouvement de la terre , savoir :
N %ncoë € toêy P» fdp f^» pdp\
frw * sn 006 C 001 y /*• /dp Pm dp \
quantités qui s'tévanouiront l'une et l'autre dans le plan du méridien où l'on a cos ^ = o.
De même , si nous faisons , pour abréger,
ansm
în y /* • /dp r ^àp\ an 008 y /"• /dp r'' P^P \
si, de plus, nous désignons par A la déviation totale du projectile, d'un côté ou de l'autre de OA^ c'est-!-à-dire la distance du point E.oh il retombera sur le plan horizontal mené par le point O, à cette ligne
OA , nous aurons .
«t cette dëyiaJtion s'olMeryera à la gauche ou à la droite de l'obseryatenr
60 6QR IiV IMWITMfMNT
placé on: O, at %09xné Yets OA» a^an cpn» m yakiw mm positive oà négative. Le premier terme Y exptiuMrck cette lêkdmtj, quand le tir aura lieu dans la direction du parallèle ; et celte quantité ^ d'après son eaLprcssion , étant toojorm^ native dans doIn hémî^hère où la latitude y ost positive y il a^enauit qm la dénaftion ^^^hxtven alors vers le midti cpa vers le nordj selon que Fou tiret» ven Vest ou vera Youest: ce sera le contraivo, comme c^ dnt élrs, dans Fatrtre hémisphère. Le second terme Y^sinC exprinwra Veatoès, positif ou néçatÂf, 4^ la déyiatio») luraqve Yon tircm dans ma autr« plan^ sur la déviatioQ^ relative au (^«u vertical taag^m «« paxaUète.
Au point R9 rwgle de chuta a^^ià/ devxa é€ra t«| que Tou ait z-^^z ^^ihf par conséquent, «i Tou met 4/ 4^^' au lien de « da« l'expression de r , et que l'on étende , dans celle de Sz , la seconde intégrale depuis p ^-^eêl jiU«qu'à f> s» «^^ un aura
en négligeant la* farré êit Sàify et désignant par P e& que P devieut quand on 7 fait p = — t/y on a , d^ailleurs ,
et comme cette dernière intégrale est fendue nulle par la valeur de eJ il en résultera
f^ / anoosCcosy p/. /*• •^ /*•» ^\
pour k partie dp Ifungkide ekutei, due au mouvement de la tenre.
^6»^ si Tun iMt 4/ ««- <[^^^ à la plaee du «^, daw. l'éKppessiun du ft, et que Ton n^lige le carré de Sb/ , on en conclura
BBS PaOflOnLM BANS S/AlR. 6i
pour la valeur de i6 correspondante à celle de ^^ En comparant ces valeurs à Texpression de Y ^^n auva aussi
Ce sera raecreisMmeDt poskil ou négatif du temps (}ae le mobile emploiera à aller du point O au point E.
i8. L'appïtcation de la méthode des^ quadratures atWL intégrales doubles que ces diverses formules contiennent, exigerait des calculs très pénibles; mais on j suppléera pârr les considérations suivantes qui nous conduiront à des valeurs numériques assez approchées pour qu'on puisse juger de l'influence du mouvement de la Terre sur celui du projectile.
La plus petite et la plus grande valeur de P rëpondent k pz=aet
kpz=e/y et sont y'^^~$^ et Fj quelle que soit la variable p, on aura donc
on a d'ailleurs et par conséquent
d'où il résultera , abstraction faite du signe y
En ayant égard à l'expression de 9 ^ on trouvera nareillement
63 SUR LB MOVVtMBHT
> '^'^^f^ , V < nS^acosmêiny,
Pour des valeurs données de a et a, les tables du tir feront connaître les valeurs de 9 et <9 qui entrent dans ces limites de V^ ainsi que langle de chute af etsa, tangente c/ j d'où l'on déduira la valeur de V. au moyen de Tëquation
■+- «' -+- log {et ■+• y/'l -f- et'
H- «' Vi -f
. o/' -+- log (<• -H Vl -+- o/*]
^ Je prendrai pour exemple le tir de la bombe ^ tel qu'il a lieu dans les exercices des Pofygones. Le poids et le diamètre du projectile étant 5i kilogrammes et 37 centimètres, on trouve à peu près 2 5oo mètres
pour la valeur de - calculée par la formule du û? lo, et rapportée à
Tétat ordinaire de lair. Sous l'angle de tir de 45^9 1^ vitesse corre»-
^ pondante à une portée d'environ 1200 mètres , est évaluée par Lombat^
à un peu moins de 1 20 mètres , de sorte qu'en prenant toujours le
mètre et la seconde pouf unités de longueur et de temps , nous ferons
û) = i , a — 119^54 c = o,ooo4-
En employant aussi l'angle de chute , la portée et le temps du trajet , calculés par le même auteur {*)y nous aurons, en même temps ,
gf == 5o*»8^ « == 1182, ^ = i6,25.
An moyen de ces données jointes à celles-ci :
(*) Traité du Mouvement des Projectiles^ p. a3i>.
