DES PROIECTILES DAI^S L’AIR
déniés donaeront alors
dt / dx' / dY J dz'
V = COSA'= cosm' = -^, cos/ =-5;.
Cela pos^ , les équations («) deviendront d’abord
^ cos nt — ^ sin y sin nf + ^ cosy sin nt — an sin nt-\r^ sin y cos nt — ~ cos y cos nf) — n'-r.
rf-i'
tt*.
Ç cos A,
rf**' . tPr' •
— -j^siùnt — ^ siny cos cosy cos nt
— an cos nt — >sin nt 4- ^ cos > sin n/) — ny^
rfV
= -^ + ^COSfi,
d'y fi . rfv .
cos 7 4- S'.n y = ^ 4- fcos » ;
di'
en considérant successivement V comme une fonction dej:,,^^, 2^, et comme une fonction de a/, 2', on aura
rfv «/V ■ rfV .
= 5^cosnt — ^sinn/,
dx d\
^ COS 7 sin ^ cos 7 cos nt 4- ^ sin 7;
dw . . ^ dV . , I dV
= — -J— sin 7 sin n/ — sin 7 cos nf 4 - ^ cos 7,
et il sera facile de changer les équations précédentes en celles-ci : fi fdy - di \ . 1 J , ft di
sin7-{- n’[ysin7 - (2'4-0cos7]sin7 -j- g— (p^ > ^ (*)
dV
^ = an ^ C 0 S 7 — n’* [/ sin7 — (*'h- /)cos7] COS7 4 - ,
qui seront les équations du mouvement apparent , qu’on se proposait
SUR LE HOUVEUKNT
de trouver, et que l’on réduira à une forme plus simple par lés considérations suivantes.
(3). La Terre étant composée de couches à très peu près sphériques, concentriques, et dont chaetmea partout une même densité, la valeur de V est de la forme
où l’on désigne par/, une force très peu différente de l’attraction au point O, dont la distance au centre G est par i, une petite fraction qui a pour valeur, environ un 3oo‘; et par U, une fonction donnée de x' , y , zl . La valeur du rayon vecteur r du point Msera donnée par l’equation
Si O est voisin du point de départ du projectile, les coordonnées x' , y , z', seront très petites par rapport à l, dans toute l’étendue de la trajectoire; on pourra alors développer les différences partielles
en séries très convergentes, ordonnée^ suivant les puissances et les produits de et je développement correspondant
de U sera
ü = F H- a/G -f-yH 4- Æ Ç G' -t- H' -H etc. ;
F étant une constante arbitraire, et G, H, etc., des. constantes données.
Ân point O, les composantes de l’attraction, suivant 1^ axes des a^,y, x', ou les valeurs de qui répondent à j/ = o,
y = O, x' O, seront f/G, »/H, — /-t-»/K.. Pour en déduire celles de la pesanteur^ il y faudra ajouter les composantes de la force
DES PftOTBCTlI.B8 DANB L'AIR. I7
centrifuge due à la rotation de la Terre; or, ses trois composante» sont zéro , — nH sin>cos> , nHco&'y, en observant qu’an point O la force centrifuge est égale àn'/co»>j et dirigée suivant le prolongement dé la perpendiculaire à l’axe de rotation , de sorte qne sa direction fait avec les axes des x', ^ , des angles égaux à 90", y. Par
conséquent , si l’on appelle g la pesanténr "en ce points et g', H , k! , les angles compris entré sa direction et les axes des a/, jr' ^ z',- ou 9ura
g cos h! = i/H — nH sin 7 cosy , g cos k — — f -f- ( /K.+ n’Zcos’y ,
pour les valeurs complètes de ses trois composantes. Gis formules doivent co'incider avec les seconds membres des équations (b) , en j supprimant les termes dépendants de la vitesse du mobile, et y faisant .k = O, y = O, x' = o; ce qui a lieu effectivement. On vérifiera de même qneleâ composantes de l’attraction jointe à la force centrifuge, qui répondent au pmnt M, coïncident aussi avec ees sw:onds membres, en J supprimant seulement les termes relatifs à la vitesse du projectile, et quelles que soient les coordonnées x' ,y , z! .
Le rapport de nH à g est une fraction très peu différente de t; si donc on néglige les carrés et le produit de ces deux fractions, et si l’on observe que la force g est une quantité positive, on. déduira des équations précédentes
g = f — »/K — nH cos’ y , cos kf = — t ;
ce qui fiût connaUre l’intensité de la pesaoteur au point Oj et ^ ' montre que celte ibt^e fait avec l’axe Oz' , un angle dont le supplé- , * .
ment est de Pordre de petitesse de f.
Dans le développement de V, je négligerai les termes qui ont /' pour diviseur , et ceux qui ont / pour diviseur et 1 pour- coefficient.
SUR UG MOUVGHGMT
])ÿ e«lte nnaière, on aura
■ V = //— M- tfk -4- •fGx' -h tfSr'+ tfKz\
A^ce d^ré d’approsimatioa , il faudra aussi négliger les termes dys éff^ations (4) qui dépendent de «* eî de l’uoe des variables x^, y', z' ;
car, si l’on fait y = J, le ternie n'x', par esèniple, deviendra- 4'. '•
sera par conséquent du même ordre de petitesse que ceux qui se trouvent négligés dans les différences partielles de V.
Cela jïosé, et en ayant égard aux formules (c),' les équations (i) se réduiront à
tPjc' /df^ • dt* \ / dx*
rfV dx' ■ ji' dV • '
■^. = — an -^siny cosA
• — =9/i-3j-cos>-|-grcosA'H- •
mais alin de les rendre plus immédiatement aj^licables, nous y changerons ^ , ÿ , il-, en d’autres cpordonnées peu diSerentes de celles-là-. •• •
(4). Pour cela, élevons {lar le point O, une verticale Oz dirigée vei-s le zénithy ou en sens contraire de la pesanteur, et dans le plan horizontal, perpendiculaire à Oz, tirons arbitrairement deux axes Ox et Oy, perpendiculaires entre eu». Soient x^y, z, les côôrdonnées de M , rapportées à ces axes Ox, , Gz. On aura *
Z = — x' cosg;' —y cos h' — z'cos h! , '
en observant que Oz fait avec leS axesdesV,y, z', des angles égaux
aux suppléments dé ^ , h! , h' . On aura, ert méniê temps ;
y =» •x'cosx'Oy rlr y'cosyOy -f- z'cosz'Oy ,
X = x' cos x'Ox -f- y cosyOx -y V eoi z'Ox. ■ »
DBS P 1 U»BCTU.BS DANS L’AIR. 19
On pourra supposer que Ox et s’écarlcnt très peu de Ou/ et C^, de sorte que les angles jr'Ox e\,yOy soient de l'ordre de petitesse de * la fraction t. En négligeant leurs carrés, on aura alors
cos yOx = I , co^ y'Çx = » .
Je supposerai de plus, que Taxe Ot^soit compris dans leplaa do méridien; l’axe Oj/ étant perpendiculaire à ce plan , nous aurons
et comme on doit avoir
cos x^x . cosyOx H- cos yOy . cosyO^ -H cos ' côs V = o , il eu résultera aufôi
cosyOx = O, .
en observant que le produit cosg'cos h' est de l’ordre de petitesse des
quantités que üous négligeons. EnGn, à cause des équations
cos x'Ox . cos z'Ox -+• cos . cos z'^Oy cosy cos A' = o , ' cosyOx . cos e'Ox cos yOj . cos z'Oy H- cos h' cos A:' = *o ,
et de cos A' = — i , nous aurons
cosz'Ôx œ cos g', cdsx'O^ = cos A',
et par cCmséqUetit . • r- -
X = x'-ha'cosg', y — y cos h!.
De ces valenrs de x, z, on déduit réciproquement
SUR LB MOUVBMBNT
^ JC — rcosg^, y — y — Z cos A'*, z' = Z r+- X cos y y cos h' f '
en négligeant toujours les cîirrés et le jiroduit de cos g' et cos K, Maioteuant, api’és avoir éliminé des. éq^uatioos {d), on
les changera lacilement on celles-ci :
rf*x /ér ■ 'à* \ /</* J i ày \ dx
d r dx ■ , li V 4r
TF = "■ *" 7< “* ^ V“ V + CO. A CO. » ^ - a ^ ,
d't dx fdy , . dx \ , ax* ‘ dt
■5F *= *“ "S CO* » - U i.D » -, -gj CO. t *.n ^ ^ - f
On pourra, pour plus de simplicité , négliger les termes de ces for-, mules quwnt n cosg^ ou n cqs h' pour facteur, et dont l’influence sur les valeurs de Xyy, z, serait à peu près insensible. On négligera par la même raison , le terme ^ , provenant de la variation de la
pesanteur d^ns le sens de la hauteur, et l’ùn considérera l’angle^, com'me exprimant la latitude du point O.
J’admettrài l’hypothèse ordinaire de la résistance de l’air, pi-oportionnelle au carré de la vitesse; et je ferai, en conséquence.,
c étant un coefficient proportionnel à la densité de l’air au point M , que l’on pourra, en général, considérer comme une quantité constante dans tonte l’étendue de la trajectoire; si l’on appelle ^ la hauteur due à la vitesse ^ de sorte qu’on ait = agÇ et <p = aegÇ, il faudra pour l’homogénéité des quantités <p et g, que aeÇ soit un nombre abstrait, on qYie ^ soit une ligne. L’air étant un fluide pesant, exercera en ou-
DE8 PROISCTILI» DANS L’aIR.
tre, sur le projéctile, une pression hydrostatique; ce qui exigera que l’on fosse subir une diminution à la pesanteur g qui aurait lieu dans le vide'.; de plus cette réduction sera elle-même susceptible dans Je mouvement progressif que nous considérons, d’une modiCcalion semblable à eelle qui répond, d’après la remarque de M. Bessel, au mouvement oscillatoire du pendule; mais nous ne nous occuperons point ici de cette question ; et nous regahierons la valeur de ^comme une donnée de l’expérienoe.
Les équations différentielles du mouvement apparent du projectile,se réduiront donc finalement à
tz
a/»(^sin7-5,cos>)-c£*^, — ct^.
dx •
— a/i^siny
dl ' dt dl'
2 n^cosy — g- cj^;.
Elles sufEront pour déterminer au degré d’approximation que l’on peut désirer, l’influence de la rotation du globe sur.ee mouvement* on n’oubliera pas que les axes des x et des jk sont les intersections du plau horizontal , avec Ips plans du parallèle' et du méridien , et qu’à partir du point O, les x positives- sont portées du côté de Vest, les x négatives du côté de Vouest, les j positives vers Je nord, les y négatives vers le midi\ L’axe des z positives est vertical et dirigé de bas en haut. .
On'appliquera tout-à-l’heure ces équations à divers exemples; auparavant il y a quelques remarques qu’il ne sera pas inutile de faire.
(5). Les équations (e) s’étendront fecilement au cas d’un point matériel , assujetti à se mouvoir sur une courbe donnée et attachée à 1» surface de la Terre.
Pour cela ; représentons par
aa sua LE MOUVEMENT-
les deux àjuations de celle courbe; L et L' ^lant des ronclions données àc X, y y Z. Il suffira, comme on sali, d’ajouter aux seconds membres des trois équations-(e) , les quanlilés correspondantes
JL , dV ‘ dl. ,
dl.
/rfL'
“ dz >
dans lesquelles » el »' sent des coedlcient» inconnus. On éUmlnqra ensuite ces deux nouvelles inconnues, en ajoutant les trois équations après les avoir inultipliés respectivement par dx, dy, dz \ les termes dépendants de n disparaissent en même temps, et il vient
en observant qu’on a
dxd^x -I- dyd'y. -t- dzd*z — ^ d.ds‘ = dsd‘s,
On pourra tirer des équations de la courbe donnée, des valeurs de x, y , Z, en fonctions de s ; en les substituant dans l^nation (/) , on aura donc, entre les variables’ s et t, l’éqnatiôn différentielle du mouvement sur cette courbe. Il en résulte qu’abstraction faite de la partie de g qui dépend de la rotation de la Terre , cette rotation n’a aucune autre influence sur lé mouvement dont il’s’agit. Ainsi, par exemple, en chaque point de la Surface du globe, et pour une valeur donnée de g, les oscillations du pendule sont indépendantes du mouvement diurne, et les mêmes dans tous les nz/muts .autour de la verticale; ce qu’il était bon de faire voir, vu le degré de précision que l’on ap()orte mamtenant dans les mesures du pendule à secondes, en différens lieux de la Terre.
La pression exercée par un point matériel sur la courbe qn’il est
DES PROJECTILES DANS i/aVB. ù 5
forcé de décrire, n’est pas, comme sa vitesse, indépendante delà rotation du globe; c’est ce que l’on verra en effet, en la déterminant de la manière suivante.
Je représente par X , Y , Z, les seconds membres des équation^ (<?), • abstraction faite des termes provenant de la résistance <lc l’air; on aura . ,
Y ifx •
Z = ^n^cosy — gr - '
et ces quantités exprimeront les composantes horizontale et verticale «le la force qui agit sur un peint matériel pesant^ en mouveuient dans le vide, prés de la surface du globe. Par le point quelconque M de sa trajectoire. Je mène trois axes i rectangulaires, savoir, le rayon de courjture , la tangente dans le sens du mouvement, une des deux parties de la perpendiculaire au plan osculateur.SoientP, Q, R, lescomposan* tès de la même force, suivant ces trois demi-axes ; la force Q diminuée de la résistance dé l’air, fera varier la vitesse dmmobile sur la courbe donnée; la force R multipliée par la masse de ce corps , sera une composante de Impression exercée sur la courbe; l’autre composante aura pour valeur le produit de celle masse et de l’excès de la force
centrifuge sur la force P ; excès qui sera égal à ^ — P, en désignant
par f le rayon de courbure au point M. Or, on voit que la résultante de ces deux dernières forces, ou la pression totale que la trajectoire éprouvera en chàcun de ses pbtnts', dépeiUlT^, à raison des forces Pet
R, dd mouvement diurnè ^ 'gfoÉèj üé* li.'Biréction ' par rapport à
celle de la vitesse du mbbilç, et de là latilüdé dù point O.
Supposons, pàrexemple, qu’on n’ait pointégardàlarésistancedc l’air, et que le mobile décrive uniformément, dans un plan horizontal, un cercle' du rayon A, avec une vitesse angulaire m. Eu plaçant l’oiigine O des coordonnées .au centre de ce cercle, et comptant le temps / à
partir d’ua passage du mobile dans l’axe des x , on aura
X = hcosmt, y = Asinmt, z = o;
d’où il résultera , pour ce cas particulier,
X = awinAsin 7 cosmt,
Y =?= a/nnAsin^ sin m/,
Z = — a/nnAcosysiomt — g.
Celle dernière force, prise avec un signe contraire et multipliée par la masse du mobile , exprimera la pression variable que la trajectoire éprouvera dans le sens de la pesanteur. La résultante des forces X et Y sera égale à imraAsinT', et dirigée suivant le prolongement de A( elle s’ajoutera à la force centrifuge /n*A, et il en résultera pour la pression horizontale, une valeur constante, égale «ù produit de amnA sin y + m*A , et de la masse du mobile.
Si ron*considère,deméme, le mouvement du pendule simple daps un plan vertical, que 6 soit l’angle compris entre ce plan et celui des x et x, que l’on désigne par A la longueur constante de ce pendnle, et, à un instant quelconque, par $ l’angle qu’il fait avec la verticale dirigée dans le .sens de la pesanteur, on aura
x = Acosfisin0, J' >= A sin é sin 9, « = — . Acosfi, ds =
Sans qu’on soit obligé de négliger la résistance de l’air, l’équation (/) fera connaître soiis forme finie, la valeur de ^ en fonction de S, et l’on en conclura sans difficulté la tension variable du fil, ainsi que la force Q perpendiculaire QU plan des oscillations. En calculant. cette dernière force, on trouve qu’elle est trop petite pour écarter sensiblement le pendule de son plan, èt avoir auctine influence appréciable sur sou mouvement.
Quoique d’après les valeurs générales dés forces X, Y, Z, la formule • X</j: -i- Ydy -i- 7j(Iz se réduise à — gdz, ou n’en doit jxis conclure
DBS nMHW»TfIiB& DANS k’AIB. ^
f U im. liquida boOHi^nB, soR^i^ à CM forces, ooolcaa dans vase, et teuraaot unilbrmëmeiit eatoar de l’e^ Qx,, pcr^iqulrait à une iiguce peroMoente, aiosi queceia a UeU) lorsqu'on a seulemenV egerd à la pesanteur Maux forces centrifuges des points du fluide, résultantes. 4 o sa rotation. En eSk, pckur cet équiliVo des forces centrifuges et des forces X, Y, Z, U faudrait que celles-ci, étant réduites à des fooctiona de x , ji' , X , Mtisâsseot identiquement aux conditions 4 ’inté^raliilité. de U fon^ule Xdx -^Ydy 4 - ^yqir :
<fX iî il' iix <ri (il
- ^ 'S ^ dx ^ ■■■ '• ■
Or, eu déstgnaat par ni ia vitesse angulaire, et; constante du fluide.,
en aurait., daaa kt mouaeanent dont U s’agit,-
... . ' * dx — dr y dx ^
et par conséquent
X = + an/»xsiny , Y = -î- ^nmy sin y, Z = ^2nmycoe7 — g',
ce qui ne satisfait pas aux équations précédentes, excepté au pdle, où l’on a > = 90°. Bu tout antre point de la Terre, la 6gure permanente d’un liquide touruant dans un vXse, autour d’un axe vertical, est donc rigoupeuaetnent irapossitde, à raisondu mouvemimt di.qrne-de la Terre ^ mais la vitesse angulaire n de ce mouvement étant une très petite fraction , moindre qu’un millième , quand on prend la seconde pour unité, il s’ensuit que cette, impossibilité ne saurait être reconnue par l’expérience. ‘
(6). Reprenons actuellement les équations (e) du niouvement apparant d’un point tna^rûd entièrcji^en^ Ubtre ; et supposons d’abord que la direction de la trajectoire s’écarte très peu de la verticale; en
sorte que les cosinus angles que fût la tangente an point
' SUR I.B HOUVBltRirf "
quelc«nqne M,«v«c fe»> axes borisoo taux des x et ées j , soient de très petites fractioDS, doaf on'n^Hgeri les carfés'et le |lnHhiît. Les expressions de x,j, t, en fonctions de t, seront diflërentes, selon qfue le moQvetnent'aura iiëii dans le sens de là pessntenr oa en^ sem coniraire; noos considëreronà ces dent cas snceeesivetneOt en cdmniençant par le premier. ' • ’ •
^ Soit doncD un point de la verticale Os, où le mobile était situé à .Torigine du mouvement et d'où il a été abandonné | sans vîlesae initiale, à l’action de la pesanteur. J’appelle k la hauteur DO de ce point de départ au-dessus du sol; puis, sans changer .les directions des æ et des jr , je mets A — z à la place de z dans les équations (c) èt (/) ; de manfèae qne’Ia nouvelle -ordonnée z soit comptée .à partir du point D et dans le sens de la pesanteur. St l'on compte aussi l'arc s à partir de ce point et dans le même sens que z , on aura
dz
ds = * = z
en négligent et L’équation (/) deviendra
tti ^4*’
if)
on pourra l’employer au lieu de l^nne des trois équatioas (e), dont elle est une conséquence; én conservant les denr premières, oh aura, en même témps,’
' ' /df • d» ' \ d* tbe
^.= s.n7 + ^cos>)-C3T
tfr dx • dt dr
dF = -=‘»-S®'“>-‘'-S 1*
Je' multiplie l’équation {f) par sefe, fm^re ses deux membres et je fais
Jc^,de = u, ^
I db
DES PROJeCTtt,n DA^S b’AIR.
il eo resttUe*
I du '
équation linéaire et <lu premier ordre, dont l’intégrale complète est
et oii l’on pourrait supposer que g et c fussent des functioas quelcouques de z : on désigne ici, et l’oa eontlimera de-.représenter dans tout ' ce Mémoire, par e la base* des k^rttkmes népériens'.
En remettant pour u l’intég^le qœ cette lettre représente , et différentiant ensuite par rapport à z il vient
c ^. = 2 c/gdz — 4ce~ dz ;
d’où l’on tirera une ^fonction de z multipliée par </z, pour la valeur de c/t, puis une expression de t en fonction dez. Ainsi l’équation (/'), du second ordre , à coefficients variables et non linéaire, .est néanmoins intégrable sous forme finie, quels qne soient les coefficients g et c. Comme ils sont dans la question présente, des quantités constantes, on aura simpleitisnt,. par les règles ordinaires,
— e''*^Vg
dt ~~ -f. \/l ’
en observant qu’on doit avoir jj, o et .z^p, quand f — o.
Je substitue cette expression de ^ da« la» éqnatioM ^ , et j’y fais, en outre , , .
Elles deviennent
aUR LC MOUVBMBNT
<fi> ... (y^^-e-^^Wgc •
