RAPPEL SUCCINCT DE LA THÉORIE DE L'AILE MONOPLANE D’'ENVERGURE INFINIE
Considérations générales.
La théorie des ailes sustentatrices est basée sur les lois de l’aérodynamique qui supposent un fluide parfait dépourvu de viscosité et de compressibilité.
Un corps solide, immergé dans un fluide parfait et se déplaçant avec une vitesse constante de translation, n’éprouve aucune résistance de la part du
fluide. Ce résultat est contredit par les expériences. C’est ce qu'on appelle paradoxe de D’Alembert.
Pour échapper à ce paradoxe, il est nécessaire d'introduire une circulation dans l’écoulement à potentiel complexe autour du corps immergé, ce qui permet d'expliquer la sustentation des ailes.
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L'étude de l’écoulement plan autour d’un profil quelconque se déduit de l’étude d’un écoulement plan autour d’un cylindre circulaire.
On suppose qu’une aïle cylindrique ‘d'envergure infinie, animée d'un mouvement de translation rectiligne, uniforme et normal à la direction de ses génératrices dans un fluide parfait, continu et indéfini, l'écoulement correspondant est régit par un potentiel complexe continu dans tout le fluide entourant l'aile cylindrique.
Admettons un profil circulaire (fig. 1). Soit V, la vitesse de translation; a, le rayon du cercle C, dont le centre M est situé au point d’affixe p. Soit enfin I la valeur de la circulation autour du cercle C. Le potentiel complexe qui régit l'écoulement autour du cercle C est donné par l'expression :
à 2 à F@=— Vo [G— eùe + D ef + LE Los G— 9.
En un point & quelconque de cet écoulement, la vitesse complexe
WW — U ——IU
aura pour l'expression :
et pour un point sur le cercle :
= y. + a ei on a dF 1 à ses |? + 4ra V, sin @+9)|.
Ce potentiel complexe satisfait aux conditions suivantes :
1° à l'infini, la vitesse doit être égale à celle de l'écoulement général considéré ;
2° sur le contour, la vitesse doit être partout finie et tangente à celui-ci.
Supposons un contour K (fig. 2) dans le plan z superposé au plan &.
Les travaux de MM. RIEMANX et BïIERBERBACH montrent qu'il existe toujours une fonction z—x(€) qui transforme conformément l'aire extérieure du cercle C sur celle extérieure à K et qui fait correspondre, point par point, le cercle C au contour K.
La fonction de transformation conforme, sous sa forme générale, est donnée par :
FT, LR
: : : ; dz Cette fonction impose, pour que la transformation soit conforme, que =
dé dz
soit différent de zéro. Donc, il est nécessaire que de 1e s’annule en aucun point
en dehors du cercle, ce qui revient à dire que tous les points représentatifs des dz
racines de l'équation re. 0 doivent être situés à l’intérieur du cercle C. Chaque
fois que l’on désire obtenir un profil présentant une pointe à l'arrière, il est
; dz nécessaire qu'une racine dr — 0 et une seule soit représentée par un point du
cercle C.'
Le potentiel complexe :
FC = (6,9 +iw (Ex)
dans le plan £, si nous faisons la transformation conforme z—7x (€) ou € =% (2) devient :
fO=F (OI + (2,9) + iv, y)
dans le plan z, de telle sorte que le potentiel des vitesses ® (£,n) est transformé en æ(x,y) et la fonction des lignes de courant W(E£,n) en v(x,y), mais la circulation T autour du cercle C et du contour K conserve sa valeur.
Donc, connaissant le potentiel complexe F (€) autour du cercle C du plan & et la fonction de transformation z—7: (€), il est facile de déterminer l'écoulement autour du contour K.
La vitesse complexe en un point z est donnée par :
df dF & dr 0 dévdz
