PET (Ë
4 + Mi = 0
L’équation
donne ensuite
Ë1 CHRIS LV à ® æ 38 tata 2. NES M: grise — Pr + Y 4: p un NE +. 0, et, après dérivation par rapport à p,:, 4, p + Mis = 0. La fonction g’ est au moins d'ordre 2; si elle est d'ordre supérieur à 3, on recommencera le raisonnement précédent, et, en
continuant de la sorte, on finira nécessairement par retomber sur une des hypothèses déjà étudiées.
En résumé, si la fonction f n’est pas linéaire en p, elle est assujettie à vérifier l’un des systèmes (13) ou (18), et en outre la relation
qui exprime l'existence d’une involution d’ordre 2. 12. Dans tout ce qui précède nous avons supposé +0.
Voyons ce qui se produit dans le cas où j est linéaire en p.
Soit toujours » l’ordre réel de 9. Si m — 2, on retrouve les conditions (10), et l’on a nécessairement & —0, sans quoi f vérifierait la condition 7”.
Supposons m=— 3. L’équation (11) donne alors les conditions (16) et (17) où l’on fait ee
Dp5 —= 0 et où £&, est arbitraire. On a ainsi
les conditions
Mo, K+E5E—0
pete (26) 0
on peut toujours satisfaire à la première en prenant o—Ë,—£—0. Si m>>3, on voit, comme au n° 11, qu'on peut de proche en proche se ramener à l’hypothèse m< 38.
Il nous reste done à examiner l’hypothèse m << 2 qu’on ne peut plus exclure a priori. Dans ce cas l'équation (9) peut s’écrire
4 QG —
, d of posons .
dy d—(2— — 1) —:
nm o+(n— D il viendra
Ko+K—0.
C’est un cas particulier de la seconde équation (10).
13. Nous pouvons maintenant indiquer une classification des équations (1) qui sont intégrables par la méthode de Darboux, c’est-àdire qui possèdent, outre les invariants x et y, un autre invariant pour chaque système de caractéristiques.
Nous ne considérons pas comme distinctes des équations que
l'on peut ramener l’une à l’autre par une transformation ponctuelle; d'autre part nous laissons de côté:
1° les équations linéaires en p et 9, qui ont été étudiées completement par M Gau;
29 les équations de genre 1 ou 2 au plus pour chaque système de caractéristiques, qui ont été déterminées par M. Goursat.
Nous répartirons “alors les autres équations en trois groupes.
Groupe À. — Ce groupe comprendra les équations qui sont de genre 1 pour l’un des systèmes de caractéristiques, et de genre n > 8 pour l’autre. Nous déterminerons au chapitre II les équations de ce groupe; il comprend trois familles, dont deux ont déjà été obtenues par M. Gosse.
Groupe B. — Ce groupe comprendra les équations qui sont de genre 2 pour l’un des systèmes de caractéristiques, et de genre n>3 pour l’autre. Nous verrons, au chapitre III, que ces équations peuvent se ramener à deux types canoniques dont nous formerons les invariants.
Groupe C. — Ce groupe comprendra les équations qui sont de genre n>8 pour chaque système de caractéristiques.
Considérons, parmi les équations du groupe C, celles dont l’ordre minimum d’involution, relativement au système X par exemple, est égal à 2. Nous venons d'établir qu’elles doivent vérifier l’un ou l’autre des systèmes suivants:
Ga Qu) = Av — Var + lé)
(@) G(@= dia + a 2 Gs(u)= HE É HE E 0) er
(H) H(a)= dia +85 HE E= 0 Es +0 si SZ AS)
On aurait évidemment, pour le système Y, deux systèmes analogues de conditions nécessaires, ((G”) et (H”’\, qu’il est inutile d'écrire. Ceci posé, on voit que l'étude des équations du groupe C' se ramènera, conformément à la méthode indiquée par M. Gosse, à l'étude de la compatibilité de l’un des systèmes ©, f, G et H avec l’un des systèmes C’ /”?, G' et H'. En se bornant aux cas essentiellement distincts, on aura done à faire l'étude successive des dix cas D—F" F—G T—H FT—C G—c G—H G—C H—H H C— C'.
Notons toutefois que si l’on se propose de résoudre le problème B pour les équations (1) qui sont linéaires par rapport à l’une des dérivées partielles du 1° ordre, p par exemple, on ne pourra plus, en raison de la dissymétrie ainsi introduite, considérer comme non distincts deux cas tels que / — G7 et G—[”. Le nombre des cas
réellement distincts est alors porté à seize.
