E SR AA

En dérivant trois fois de suite Péquation (11) par rapport à p; on aura

Ke +2 te 0 4p" + gi +28 D 0f

&p'" - ue, — 0

et par suite

p = Es Log (ps + Y) + ps © (x, y. 2, p) + 0, (x, y, 2, p).

La première équation (12), où l’on remplace p’ et @, par leurs valeurs, donne alors

9f 93f 20 Amen BR ET ND 9f

dia +o(n) +8 ++ D (ES) +

tire en

Posant enfin 028 a a = ea +28 au + (6 +15 on aura les deux conditions Le La HE +EK—

Les conditions (10) sont un cas particulier des conditions (13). Il est clair, d'ailleurs, qu’on peut toujours satisfaire à la seconde condition (13) en prenant £ — & — a, — 0.

Supposons en second lieu

n — 1 1- = 0 ce L’équation (11) donne alors | Ô (14) Bip — PS + œr + 0

et on en tire, en dérivant deux fois par rapport à p, et appliquant le Lemme,

p— &(Ps + W) Log (pr + W) + Pa 00, Y, 2, P) + Où (&, y 2, D). En portant cette valeur dans l'équation (14) on aura

Ô Li 00 + Eu SE + 60 = 0 por a +a (ne lj+avs + Q = 0.

Posons dans la première équation (15)

ane + (+) on

elle s’écrira (16) Bo+2(i + £ vs (+1 2x4 89 ire

posons de même, dans la ne équation (15),

De

elle s’écrira

Eee FÉES IE

Ha) =0

Remplaçant dans les équations (16) et (17) &, par 1 — n, © par

> et &, par [— 28 finalement les conditions Ha+ES+E—0

ne ee NE