CHAPITRE If

Détermination des équations du groupe A.

14. Nous pouvons évidemment nous borner à rechercher les équations qui ont un invariant du premier ordre pour le système Y et un invariant d'ordre n > 3 pour le système X.

Une équation qui admet, outre les invariants x et y, un invariant du premier ordre pour le système Y est de la forme

px, Y, 2, Q) 2p , 2p (ee & | 9q LE: he — 0 j 0) ou (1) s—=f(x,y,2,p,q) = po(r, y, 2q) + (x, y,2,q) avec 9 p 9p 9 p 92p Se Vogue TANT T'AUR

La condition de compatibilité de ces deux dernières équations nous fournit la relation fondamentale

9 9 (®) terres tose

L'équation (1) doit en outre pour être de la 1‘ classe satisfaire aux conditions {, C, G ou H. Nous allons faire successivement l'étude de ces différentes conditions.

$ 1. Etude des conditions 7; les équations de M. Gosse. 15. La condition #, s'écrit

92 9 92 Of 1——0 1Æ 0).

Dérivons deux fois l'équation (2) par rapport à g; on aura 1 92 72 (es dos et Ep

les accents indiquant des dérivations par rapport à g. Supposons d’abord ç" + 0; on aura

1 ———., Lp+k À et À étant des fonctions des seules variables x, y, 2,; l'équation (2) donne alors

D'ANel DAME CARE PES da

Si À, était nul, on aurait À, + 0, ©” —0. Donc À, n’est pas identiquement nul, et on peut prendre 4, — 1. On a alors, en remplaçant À par sa valeur dans l'équation (2),

0 À 92 ss À E Le ÉER :

et l’équation (1) s'écrit 92 92 An AR Er VD

Prenant enfin une nouvelle fonction inconnue Z (x, y, 2) telle que

12 Der Aer

on est ramené à une équation de la forme

S— p@(x, y, 2,4), pour laquelle © — 0, et la relation (R) donne alors

On obtient done les équations

s— pp(y, 2,9).

Les équations de ce type qui sont de la première classe ont été déterminées et intégrées par M. Gosse 1), 16. Supposons en second lieu @”—0. Comme w”’Æ+0, on devra avoir

et par suite 9log4 9logi De do le

l'équation (1) s'écrit done 92 92

Hess Ci. À w (x, y, ?, q).

Si l’on prend une nouvelle fonction inconnue Z(x, y, 2) telle que

PA ; ne — 2(x, ÿ, 2),

on est ramené à une équation de la forme S— &(r, y, 2,9), pour laquelle o est nul, et la relation (R) donne

On obtient done finalement les équations S— p (x, y, q).

Les équations de ce type qui sont de la première classe ont été également déterminées et intégrées par M. Gosse ?).

$ 2. Etude des conditions C.

17. Nous reprendrons, en la poussant jusqu’au bout, une discussion de M. Gosse3) relative aux équations (1) qui satisfont aux conditions C. M. Gosse établit que ces équations peuvent se rame-

1) Annales de Toulouse, 3° série, t. XVI, 1924, p. 334— 240. ?) Annales de Toulouse, 3° série, t. XVI, 1924, p. 224 —234. 3) Annales de Toulouse, 3° série, t. XVI, 1924, p. 210—211. 92*

ner, par des transformations ponctuelles, à des équations qui satis-

font aux conditions

20 2e 3 À) (3) ALT 26 09 Om CÉDPRR AP RAS

09 , do 9 © 9® , dl CIE

l et m désignant des fonctions de x, y, +, et # l’ordre minimum d’involution pour l’équation (1) relativement au système (X). Ce sont ces conditions que nous allons discuter.

Supposons d’abord que @ soit une fonction linéaire de g,

9 = Got; 7, 2)q + Qi (x, 7,2)

; R E : : 9 o Si @, était nul, il en serait de même de et TT un changement de fonction inconnue permettrait alors de supposer 9 —0, et la condition /, admettrait pour solution une fonction arbitraire de x. On a done @, HU, et l'équation (3) donne en particulier

6 I + @ — 0, (6) a Prenons comme variables indépendantes #, y, 2, @ au lieu de x, y, 2, Q, et posons

Remplaçons dans l'équation (4) qg par sa valeur (3) et dérivons par rapport à 2: nous aurons une équation de la forme

(7) 5e — Go A(xy,2)e + B(x,y, à).

D'ailleurs

3e T3 de

et l'équation (5) donne alors

Hs) 3.

Les équations (7) et (8) montrent que © est une fonction linéaire de @: l'équation (1) est done alors une équation de M. Gau.

18. Nous supposerons donc sh Æ 0; on tire alors de l’équation (3) () q—ez+g(x.y,0) avec sg" +0.

Des équations (3), (4), (5) et (9) on tire ensuite après quelques transformations faciles, en posant

(10) a —l—(n+1)m, 9(a—+m) (a+ m) Om np + (ee + EM EE (+ fe + (1) Om 92m +(ez+ 39) 22 1 Jos l

d’où, en prenant le système de variables x, y, 2, @ et dérivant par ... CE

o?@ dm.

tas = + fe + (12) 98m + (24 pe sa] o2 Ecartons d'abord l'hypothèse x = 0 l'équation (12) ne peut

se réduire à une identité, et on en tire ui haetenne ; A9 + 40 + &

Remplaçant g' par cette valeur dans l’équation (12) on obtient une

équation de la forme (13) Ag +g(Be+O+De+Ee+r—0

Si cette équation n’est pas vérifiée identiquement, on en tire 9, ; 92m et l'équation (12) montre alors que les hypothèses g”’ +40 et Es F0

sont incompatibles. L'équation (13) doit donc être vérifiée identiquement, ce qui donne les conditions

(14) a ee —= (4 2 + bi) D

0 a o2@ am 93m (16) af +ege)= tar +2 +252)

da 2 o3m 03m (7) & PAPA 92? —= (ao 2 + 06) EPEFOR (@2+h)s

24 2 a d2a Om ass tale tes) (men) (18) ; dm 3m + (as 2 + ba) RS +2) da om (19) ds 9y 02 = (@ PA + b:) y 92? :

Supposons d’abord a; H0; on peut prendre a, = 1. On tire alors de (14), (15) et (16)

; om 3m (b, Rd bo) Ë De? + (2 — &:) Fa

si b, — ab, 0, on aura donc

22m Ur == (2, 9) (e— a) *;

portant cette valeur dans (14) et (15) et remarquant que m, n’est pas nul, on est conduit à une impossibilité. On doit donc prendre

b, — a; b, = 0, et les équations (14) et (15) donnent alors om ° @ Da = "(,y) (2 + br)” sn, = 2m (2 + bi).

Portons dans (19) en remarquant qu'on ne peut avoir Do — 3 bo = 0, car on en déduirait g — b,; on aura CESR OM dy °y

et l'équation (17) conduit alors à une impossibilité, On à done nécessairement a — 0. Si b, — 0, on tire de (15) et (16) û) 98m dm

a 0 a Us = (a, 2 + b;) CET 5 =?2(ar+b)s;:

on ne peut avoir a; —(0, donc on peut prendre a, —1 et l’on a

ë = 2m (e + bi) PR Lis,

l'équation (17) donne alors

de?

be — ab, et l’on en tire g —b,. Par suite b, n'est pas nul, et l’on peut prendre b, — 1. L'équation (14) donne done

om 22 ns et les équations (15) et (16) sont incompatibles avec l'hypothèse om 823 sed 19. La seule hypothèse à conserver est donc l’hypothèse 92m oa 22? : de — Posons

m = Mo(x, ÿ)2 + mu (e, y); on aura d’après (10) = (n + 1) [m2 + m, (œ, y)].

Prenant alors le système de variables #, y, 2, ç, on tire des équations (4), (5) et (9),

= ae 9m © — 29 + (e+ 9 je - — molez + 5)| moe + Pt mes +9] —@— 0%

La condition de compatibilité de ces deux dernières équations détermine w, et on arrive finalement à la conclusion suivante:

Les équations (1) qui vérifient les conditions (C) sont telles que l’on ait

(9) qg—=02—+9(x 7,0) eo e= + [tue "2 —0+04+m]e +9

g(æ, y, 0), u(x, y) et m(x,y) désignant des fonctions arbitraires. 20. Si ces équations sont de genre 1 pour le système Ÿ, on doit en outre avoir la relation fondamentale

0 © 9w 0@ 9e Ce nt ue Ge Aie Avec le système de variables x, y, 2, @, on a d'ailleurs 20 2w 1 (a .

A no Sa — de Se +0 ” ed 0x]?

et la relation (A) s’éerit;: compte tenu ù (20), —2ne (+ ne) +9 (GE tue) An) — (2 +1)u9 + ou ’ = (SE +ue) 6 —n2) — (nr + 1)ug +,

ce qui exige u—0. Les fonctions @ et w sont donc définies par les relations

g=2o+gye = + (ep) 9)

Si l’on prend une nouvelle fonction inconnue Z = w (x, y)2 telle que 2? log % a == 0; 0x dy A Us j on aura une équation de même forme avec w — 0. En définitive, les équations cherchées peuvent se mettre, compte tenu de l’équation (9), sous la forme

20 2 DES (1) tasse 0:

Les équations (21) admettent visiblement l'intégrale intermédiaire du premier ordre

g== Ye +g(x y Y), où YŸ désigne une fonction arbitraire.

Proposons - nous maintenant de déterminer toutes les équations (21) qui sont de la 1°* classe. D'après ce que nous venons de voir, ces équations peuvent s'écrire indifféremment sous l’une ou l'autre des formes

s=f(aynean d=pe+ ST avec g=02+ (x 0) ou

On aura d'abord

df 93 ®g de 9?

dx =me+ri+ êx Ton dt DL 7TE et d’une façon générale d'=! vi 9" g dur P:Q Ai ce

Soit P + 4 (@, y, 2, p,... pr) = 0

linvolution d'ordre minimum pour le système X; on aura 92 92 92 , df 92 d'1f. 04 RE À of à LAN = 0 nl APE D +. LP PC ET TEE (5) = dp

0y 92 9p | dx 9p, ou encore, en prenant g comme variable indépendante à la place de 9,

op! À er +n 5 + (er) ++

(22) Can 1 92 n ° CAE 10— 0 ne Dérivons l'équation (22) par rapport à p, ,, en posant Fe PE n—1 on aura

on où 2g) ON D HG + DR ++ font Et) ER = 0

équation qui exprime que \ est un invariant; on a donc

\ = É0 d'où À = 0 Pa + À (x, Ÿ; 2. P; os Ph-2)- L'équation (22) s'écrit alors

D +++ +(ens+ 2)

"= 1q 9" CT

En recommençant sur l'équation (23) le calcul que nous venons de faire sur l'équation (22), nous aurons

2h (23) Pers

Mi = E Pas + As (2, Y, 2,p,..., pus), avec

Det es+D +. +(ers+:

9" q ma + A 9 = + FE À = U,

et ainsi de suite. On arrivera de la sorte à l'équation

D ÉD ue —

NP DE St 2 + Le

avec

Les (24) ns nr da OA, = 0.

a aura donc en définitive

NE 6 BNP ÉPISODE ET EX, (x, 0)

les &, désignant des fonctions de la seule variable x. On tire alors de l'équation (24), en désignant par des accents les dérivées par due à Q.

: Canne 1 (25) .. 9x" EN …+é, 9" + À,.

Soit v,(æ), w(x),...,v,(æ) un système fondamental de l'équation linéaire

d'v dv Faso Em Es 0— 0;

on aura, en désignant par 0,(x,y) une intégrale particulière de l'équation (25) indépendante de 0,

g'=w(0,y) (x) +... + u, (0, y) v, (x) + oo (x, y) d’où (26) J= WU +... + uv, + 00 (%, y) 0 + où (x, y).

Portons cette valeur dans are (24); elle s’écrira