OX

9x" + or + ad O1 — Tr Hot on à d’ailleurs . [9 7) OLA as OX, 0x" (5) + +és (Se “hé M net

et par suite

0 6, 3 A+3, = ut ut. +

En changeant les #, dans l'équation (26) on pourra prendre PP... Jill

et alors, en changeant de fonction inconnue, on pourra poser

M — 4,07 et écrira

(27) J = U HU 0e +... Hu.

L'équation (21) admet alors l'intégrale intermédiaire

g=—2+u EMICEe a [— y>9)a

d'où l’on tire v, (x)

HU fu) vd +5, X et Y désignant des fonctions arbitraires.

En résumé quand l'équation (21) admet pour le système X une involution elle est nécessairement de la 1°* classe. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la fonction g soit de la forme (27); l'intégrale générale s'exprime alors au moyen de la formule (28).

$ 3. Etude des conditions G& et H.

21. Si l'on fait dans la formule (27) # — 2, on obtient des équations de genre 1 pour le système Y ayant une involution d'ordre 2 pour le système X. Comme elles sont de la 1* classe, elles satisfont aux conditions G& ou H. Nous allons voir qu'il n’en existe pas d’autres.

Les équations (1) cherchées doivent satisfaire d’une part à la relation fondamentale (A), d'autre part à l'équation (29) 4 y vs +(7)

qui exprime l'existence d’une involution d'ordre 2, étant entendu

d’ailleurs que l'équation HN ap 1 9p RL n’admet que la solution À = 0.

Dérivons l'équation (29) par rapport à p, en remarquant qu'on a ici

dx on en déduira

AÆd—=0, p"—=0, v—/fp bp kb,

les 8; désignant des fonctions de x, y, 2. L'’équation (29) fournit alors

(D) = p(Ê0 + 020) + 20 (28 + 050) + 20 + oc.

les trois équations

(30) + Ein Les

(81) m4, a. rene 6. 7 ee

(32) 2y el AR O1 — Q be Re. = 0.

Si Bo 0, nous prendrons une nouvelle fonction inconnue Z(x, y, 2) telle que

2 Le Dr er

on passe ainsi de l'équation (1) à une équation de même forme pour laquelle on a

L’équation (30) donne alors fe (done 0,0:

On peut done toujours supposer & —0; les équations (30) et (31) sont alors remplacées par l'équation (33) et l'équation 9h: 98 D 9Q 9 =Ss (34) 2 age tél tose)=0 On tire de (33) g=02+9(@%,e) puis de (34) eee 9 1 / 96; NE: TN 56 +9 + (6:

La relation (À) donne alors Es

; al v <

— 0, et on est ramené aux équa-

tions étudiées au précédent paragraphe.

Nous avons ainsi achevé la détermination des équations de la première classe qui sont de genre 1 pour l’un des Rues de caractéristiques.