CHAPITRE II

Détermination des équations du groupe B.

22. Nous nous proposons, dans ce chapitre, la détermination des équations (1) SRE N Sn qui sont de genre 2 pour le système X, et de genre » > 3 pour le système }.

Notre étude fera ressortir une différence essentielle entre le cas où / est linéaire par rapport à g et le cas où il n’en est pas ainsi. Dans le premier cas une équation (1) qui est de genre 2 pour le système X n'admet pas nécessairement un invariant pour le système Y, donc n’est pas nécessairement de la première classe. Au contraire une équation (1) non linéaire par rapport à qg et qui est de genre 2 pour le système X est toujours de la première classe: elle admet en effet pour le système Y un invariant qui est au plus d'ordre 3.

23. Supposons done en premier lieu que léquation (1), qui admet un invariant d’ordre 2 pour le système X, soit linéaire par rapport à g, et considérons la fonction a(x, y, 2, p) définie par la relation

où (x, y, a) est une fonction arbitraire. M. Gosse a montré ‘) que les équations cherchées peuvent se ramener par des transformations ponctuelles à l'équation

(2) er uMe UEn

qui admet l’invariant du second ordre da

Fear p(æx, y, a).

La transformation de Bäüäcklund

Z=a{x, y,2, 3) conduit alors de l'équation (2) à léquation

4 n9plx y À) , 9

1) Annales de Toulouse, t. XII, 1920, p. 117.

et il reste à déterminer la fonction y de telle sorte que l’équation en Z soit de la première classe.

Appliquant à cette équation les conclusions des recherches de M. Gau1), j'ai obtenu les résultats suivants:

1°. Si p est linéaire en a, l'équation (2) est une équation linéaire; on sait déterminer les équations linéaires de la première classe qui sont de genre 2 pour le système X.

20, Si p n'est pas linéaire en a, il n’y a que trois formes possibles pour la fonction œ:

a — ou bien

paraet Eu

X{(x), Ë(x) et u(xr, y) désignant des fonctions arbitraires; dans ce cas l'équation (2) se ramène par une transformation (7) à l'équation 8 —pE

qui est une équation de M. Goursat;

6 — ou bien

p — À este+u) + 2 e-Eta+u) A £ (a + u) es

Ou 0x” X, (x), X, (x), é(x) et u(x, y) désignant des fonctions arbitraires; dans

ce cas l’équation (2) se ramène par une transformation (7°) à l'équation s — €" PE =

qui est une équation de M. Goursat.

y — ou bien

Ë(x) et y(x,y) désignant des fonctions arbitraires, et g(x, y) une fonction telle que l'équation de Moutard d s— 2 [ex y)e] soit de la première classe, ce qui exige que @ soit de la forme

o = E (x) m (y) + a (x) Me (y) +... + E(œ) 7, (y);

l'équation (2) se ramène dans ce cas, par une transformation (7), à une équation de M. Gau.

1) Thèse, n° 50, et Annales de Grenoble, loc. cit.

Pour la démonstration de ces résultats, nous nous contenterons de renvoyer aux conclusions de M. Gau, dont ils sont des conséquences quasi-immédiates.

En résumé, l'équation (2), qui est toujours de genre 2 pour le système X, n'est pas toujours de la première classe; quand elle est de la première classe, elle se ramène, par une transformation ponctuelle, à un type déjà obtenu.

23. Examinons maintenant le cas où l'équation (1), supposée toujours de genre 2 pour le système X, n'est pas linéaire par rapport à g. M. Gosse a montré!) que la fonction f doit alors être de la forme

a or

b(æ. y, 2. Qq) . Es

SA da(x, Y,2, p) 7 9p

et il résulte de son analyse?) que le seul cas qui puisse conduire à des équations distinctes de celles de M. Goursat est le cas où l’on a

on est ainsi conduit à chercher les équations

e sf = a(x,2, p) [o(x, y, 2)q° + w,(x. y, 2, p)q], où l’on a 0&; l da

Op a? 902)

qui sont de genre 2 pour le système X, autrement dit à déterminer les fonctions a, w et &, de telle sorte que l'équation

: of (df\ (3) aa + (0) =0 ait une solution (x, y, 2, p) indépendante de 4.

Nous supposerons essentiellement 4 0, © +0 puisque f n'est pas linéaire par rapport à q, enfin w, +0, l'hypothèse w, — 0 ramenant d'après les calculs de M. Gosse aux équations de M. Goursat.

Si l'on fait le changement de variable

1) Annales de Toulouse, loc. cit. p. 113—114. ?) Annales de Toulouse, loc. cit. p. 120. Voir aussi Comptes Rendus, t. 187, 1926, p. 1127.

on voit que l'équation (3) est équivalente au système

(4) test —0 (6) taste Seb | Ra RE ep Les tint nel +n(9 264130) uma En posant 1 A ee

et intégrant l'équation (5), on a 926 226 98 9 log w ( 98. 2lgo ali 9p0z Op dx 15 s) 92 nà

1 9 + pp + nn)

On tire alors de l'équation (4)

(D gge = AP + B(pF — 8) + Cp+ D

les accents des dérivées par rapport à p, avec

4 1112? logo p— 1%l8go ass 1 dy o? 0xcy | @? 0y 02 &0y 1 2%

Dérivons l'équation (7) par rapport à y, puis par rapport à p; on aura

0 À 9 B 9C 8 | — (8) ER E Supposons d’abord

y = 0; on aura

d'où, en posant [Q] Li ep)

et désignant par #(y) une fonction arbitraire de y, 2p\* 2 (5) To = VIS Ÿ;

VY'G@ 8 (2) d,(&,2) —Y ?

Y, 3%, et 9, désignant des fonctions arbitraires. On pourra alors écrire l'équation proposée sous la forme VYa

s — a(x, 2,p) EE + & (x, y, pal:

et par suite

les fonctions & et &w, ne satistaisant plus à aucune relation.

en prenant comme nouvelles variables

x, Ÿ, et : ES

(1) sr, 24 D) ÉPENCr 2, p)4|; LEA 0

si 7 — Si A 5 + 0, on aura, en prenant 4, et Y comme variables indépendantes, l’équation

D scan] +ot ss nl enfin si Ÿ, est constant, on aura ro g?

Supposons en second lieu

Ends l'équation (8) donne