Considérons d’abord l'équation
(I) s — & (x, 2, p) LE 2.4]
L'existence d’un invariant d'ordre - pour le système X exige 1) que l'équation
9 P 9 P 9 P 9f 9 P \ ss = D = — = ) CP PEL ET NE ee “al ait une solution non nulle; on aura ici D (x, 2) o) 19 PE = pa D et = — 55 + pan 2) Les équations (4), (5) et (6) ont été formées indépendamment
de toute relation entre ©, : a. Si l'on remplace dans ces équations
æ par ss on aura d’abord ou a 1 °y +- 9 (e y} ON d'où == 2 (2 = ü; (æ, 2, p) puis l da P OPA 1 /[Oa © & À 3 1 el
1) Goursat, Annales de Toulouse, loc. cit. p. 36.
En dérivant l'équation (9) par rapport À y, on aura
1 a (10 2 5p + — Ÿ, (x, 2), avec 1 0p 2% — à sn IE ET ni Pi 3 2 (œ 2) w; D se np CN et l'équation (9) se réduit à OU 2) 3 ] # re () (ete +555) =0 L'équation (6) donne alors du °a à ou 9 &, 9 a 9 PE D ML ous] ge a 2x + (( 0 @ 9 & +p(o5i+a a] + a ot = 0.
Le premier membre est un trinôme du second degré en
. En éga-
lant à zéro le coefficient du terme (2— y) ?, on aura me
= (= +1), et l'équation (10) donne a—2e(o+p) +2e Vo(o+r) (a =+1)
la fonction o(x,z2) étant arbitraire.
Nous mettons à part les cas singuliers
pour lesquels on a respectivement a — 2ep ep
nous reviendrons plus loin sur ces deux cas.
On peut prendre alors
p— es Log[ese + a Vo(o+p)l.
Egalant ensuite à zéro le coefficient du terme (2— y)’ dans l’équation (12), on aura
1 2p CUS OI EC RE (13) lee , 3*
et il en résulte
En remplaçant q par à on voit qu'on peut supposer partout DT Eh
on aura alors
ne zu 9=elosl+abetr+p] =:
et ol (13) s’écrira 9 1 9a PE 9009 1% 20 d'où l'on tire
AP. js eco LE a 92 2Ve(e+p) 2z LE
L'équation (11) donne ensuite
Ua = D (x, 2) + Paie + 8 (x, 2) Vote +»)
Ve + p) avec un OR Re Ita hi Le 7. Mn dre
et, en annulant le terme indépendant de (2— y) * dans l'équation (12), on aura
(5 #e Che 93 4e \92
Si 2€ est nul, on arrive, en prenant comme nouvelles variables
feax y 2+ fes
à une Re de M. Goursat.
si £ a + 0, on a 0 — bo (2 +)";
en prenant comme nouvelles variables
IE dx y 2,
on arrive finalement à l'équation
a {2 [fe + A0 +1 +20 + XX + DIE +
Ce | 1 Er D memes 1 al at EST] où X est une fonction arbitraire de x. Si X se réduit à une constante, on peut prendre X — 0, et le changement de variables
conduit à l'équation
se=2(1+p+ÿ1+9p) (+a+ÿ1+9
qui rentre dans le type IV des équations de M. Goursat. Mais si X ne se réduit pas à une constante, l'équation (14) ne peut, on s’en assure sans peine, admettre un invariant du second ordre pour le système Y. Elle admet pour le système X l'invariant
e É Ep. jte + ENIEE EEE L
2pl Ve+XP+r 1.
G+ A)+2p TT Ve Er
25. Il nous reste à revenir sur les cas singuliers a —€p a—2ep.
Dans le premier cas, on peut prendre p = ed Log p.
L'équation (13) montre que d est indépendant de 2; on peut done
prendre = 1 p = € Log p.
On tire ensuite de (11) = — © p 9 + 9 (2,2 d'où ER had puis, de (12),
Lo +0 Hg
Si X, se réduit à une constante, on a une équation de M. Goursat. Sinon, on peut prendre X, comme variable à la place de x; on
obtient ainsi l'équation al — % 2 — )] :
qui admet pour le système X l'invariant du second ordre ee He 3 | 1 p en nr
et il est facile de voir que cette équation n’admet pas d'invariant du second ordre pour le système Y.
L'hypothèse
