Considérons maintenant l’équation
l 4 (in) —atep | +oisyenal En raisonnant comme pour PAT (D), on obtient in (te) - 19, 24,(x.2) = -————— CALE Ye eve | À
ôp p (x, ?, D) L'équation (12) est alors remplacée par une équation dont le
premier membre est un trinôme du second degré en -——; un
x =y" calcul simple d'identification montre qu'on devrait avoir
UN, hypothèse exclue.
On étudie de la même façon l'équation (III). On a iei successi-
vement
nr EPS
a —: po (x, 2) + D, (x, 2):
un nouveau caleul d'identification, à partir des équations (9) et (12), conduit alors à l'équation
nee nn RS 5H)
En prenant comme nouvelles variables
fE@ dx y f+ d2
on aboutit à l'équation
gŸ Pan tam LU
qui est une équation de M. Goursat. Elle admet en effet un invariant d'ordre 1 pour le système Y (n° 16).
On voit pareillement que l'équation (IV) se ramène à des équations de M. Goursat.
Enfin l'équation (V) se ramène par des calculs simples soit à des équations de M. Goursat, soit à l’équation (12).
En résumé, toutes les équations (1) qui sont de genre 2 pour le système À et qui se sont pas linéaires par rapport à qg se ramènent, par des transformations ponctuelles, soit aux équations de M. Goursat, soit à l’une des équations (14) ou (15).
27. Les équations (14) et (15) sont elles-mêmes de la première classe, J'ai établi en effet qu’elles sont de genre 3 pour le système Y. Particularité curieuse: ces deux équations, si différentes de forme, admettent pour le système Y le même invariant,
dd 14569 +4q 29-298 —6Ggt— 1095 —4g° RÉTRNET CET
Ar Rat
| Pour le vérifier, il suffit de montrer qu'en égalant à zéro le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente, on obtient deux équations en involution avec chacune des équations (14) et (15). Cette vérification ne présente pas d'autre difficulté que la longueur des calculs.
J'ai pu d'autre part obtenir l'intégrale explicite de l'équation (15). L'intégration de cette équation se ramène à celle de l'équation différentielle
Qe
Ep L.: Bai tué (16) 2H +) trade) X désignant une fonction arbitraire. Posons (7) p=u(e—x)(e— y) X=T; on tire de l’équation d6)
ou E"”
LR VA Ne ne
2 —u(x—y)=2u-, d’où 2 £"
Y, désignant une fonction arbitraire de y.
Posant maintenant
2—y = v[ê— (x — y) + Yi, on tire de (17) = XtP—2E Tr —E,
Y, désignant une nouvelle fonction arbitraire de y, et X, une fonction de æ telle que
(18) Ka = 26"(E x — 6).
On a donc ainsi
(Sas Cv E
