CHAPITRE IV

Etude d’un problème particulier relatif aux équations du groupe C. 28. La détermination des équations

s— f(x, y, 2, pq) qui sont de la première classe est done ramenée à celle des équations du groupe C, c’est-à-dire des équations qui sont de genre n > 3 pour chaque système de caractéristiques.

Cette recherche, comme nous l’avons dit, a pour préliminaire essentiel une étude de la compatibilité des systèmes de conditions F, G, H,C, et [”, G’, H’, C’, étude qui a été abordée par M Gosse dans les deux importants Mémoires déjà cités, mais qui est encore sans doute assez loin à l'heure actuelle de pouvoir être considérée comme terminée.

On est conduit naturellement à distinguer les équations qui sont linéaires par rapport à l’une des dérivées p ou q de celles qui ne le sont pas, ce caractère étant invariant pour toute transformation ponctuelle.

Nous nous proposons, dans ce dernier Chapitre, de rechercher les équations linéaires en p, par exemple, qui sont de genre 3 pour chaque système de caractéristiques. C’est sans doute un problème assez particulier, mais qui nous donnera, chemin faisant, l’occasion d'établir un certain nombre de propositions de portée générale: de plus les conclusions que nous obtiendrons déborderont en maint endroit le problème initial.

Nous aboutirons à un résultat négatif : 1l n'existe donc aucune équation linéaire par rapport à l’une des dérivées p ou q et qui soit de genre x» —3 pour. chaque système de caractéristiques. Il paraît probable, conformément aux vues de M. Gosse, qu'il en est

1) Comptes Rendus, t. 184, 1927, p. 363.

encore ainsi pour » >> 3. Ceci présente d'autant plus d'intérêt qu'il en est tout autrement pour les équations qui ne sont linéaires ni en p, ni en g. J'ai en effet obtenu des équations de la forme

s— Apg+ Bpèq+ Cp + Dp? qi qui sont de genre 3 pour chaque système de caractéristiques; j’en donnerai un exemple en terminant.

Pour éviter des longueurs, je me contenterai le plus souvent, dans les pages qui suivent, d'indiquer la marche générale des calculs. 29. Nous cherchons les équations de la forme

(1) s— f = po(x, y,2q) + w(x,y, 2,9) qui sont de genre 3 pour chaque système de caractéristiques et qui ne sont pas linéaires par rapport à g.

Une telle équation admet nécessairement une involution d'ordre 1: ou 2 pour chaque système de caractéristiques. Il résulte alors des conclusions du chapitre I que la fonction f doit satisfaire d’une part à l’un des systèmes

: CT AL 9 f À A+ ASE = 0 Mass EK=0

, d Ed pe CREME CIN re &9— ax (9) + K 0 pv + (7) =0 d'autre part à l’un des systèmes 9 22 Ah += 0 #@ + & + — A so les 1 nl lus Dr 1 Y 5 + (ar) =0 où l’on a posé 01 r 9f of ro op 2q

On aura done à examiner successivement la compatibilité des systèmes

sel li Free pes 1600 Gi

$ 1. Etude du système [ — [”.

30. Pour l'étude de ce système, comme pour l’étude du système

3) F— G', il est inutile de s'arrêter à l'hypothèse 52 — 0. p

En effet, on peut alors se ramener, par un changement de fonction inconnue, à une équation de la forme (2) s = f(x, y, 2, Q) Nous allons démontrer relativement à ces équations la proposition générale suivante:

Une équation de la forme (2) ne peut être de la première classe que si elle est de genre 2 au plus pour le système X ou de genre 1 pour le système Y.

En effet si So l'équation (2) est de genre 1 pour le sy-

stème Y. Sinon, soit # >>? le genre de l’équation relativement au système X; l'invariant d'ordre » est de la forme p, + q(x, y, 2, p,.. Px), et l’on a

d”f (3) APE Se 0,

d'où l'on tire

P= pi + Pr Pas À Pas 9 et , étant des fonctions de #, y, 2, p1,....p, 2. Le premier membre de l'équation (3) est alors un binôme du 1‘ degré en p,.,, et le coefficient de p,, s'écrit

ba ae

27 ce pue

2 (ps 92 bee fer 92?

$,, ne dépendant que des variables æ, y. 2, p, Ps,..., Ps, q; Ce coefficient ne peut être 1dentiquement nul, ce qui établit notre proposition.