Nous n'avons done à examiner que l'hypothèse Se

On tire alors de léquation /;

Dem p—+aix,y,2) et, en prenant une nouvelle fonction inconnue Z (x, y, 2) telle que 0PA 97 m0, Or 02 on est ramené à une équation de la forme (4) s = p@(x, y. 2 9),

pour laquelle l'équation F, admet la solution se

L'équation (4) supposée de genre 3 pour le système X admet alors une involution de la forme

Ps + P(x, y, 2, P, Ps) = 0;

on doit done avoir

Péie 01 M 6) Hÿ—p5 + (7) =0 Posons 200 90 pes FARM UT On aura

d emeotpatre

(]=nee + 38p0) + À, p + 4: p° + Asp

avec

LEE =‘ . =. __ 20 9 Le

En dérivant deux fois de suite l'équation (5) par rapport à et appliquant un Lemme de M. Gosse!) on a d’abord p— 2p li + Pi (x, y, 2, p)Ps + Pe (x, Y: 2. p). L'équation (5) fournit alors les deux équations (6) Ep; + (X +2) + p(X +3) —0 (7) A Ps — 0 Ps + P(Q: + PQ) Pi + 41p + 43 p°? + A, ps — 0.

En dérivant deux fois l'équation (6) par rapport à p on a ensuite

Pi = À; Log p + px, y, 2) + px, y, 2),

et l'équation (6) fournit les deux équations

(8) (X + 2)o, + X, e+ + gs = 0 @®) X+Datme+ Ve + qe = 0

1) Annales de Toulouse, t. XII, 1920, p. 139.

On tire de même de l'équation (7), compte tenu de la valeur de w:;,

vu Pa => P(Log p} + (BP + Bp°) Log p + np +Yp +YsP

les 8, et y, étant des fonctions de x, y, 2. L'équation (7) donne alors les équations

(0) Zee + 68 + + a —0 (11) Xe Le L EP + QE — 0 (12) As + ha Ps +2 Le

(3) À nn un LE

p) e) (14) A+hipi+eh+s, ue +950.

Notons en outre que la Le l, donne la relation

; ° Ou (1) A A LAURE mA EE Ch