Cas: X
Les équations (8), (10), et (11) donnent alors
Xo—=0 ZX—=0 Bb) B—=0 pi =lx) Posons, d’après (15),
°q En dérivant deux fois par rapport à qg l'équation (14), on a (16) LÉ ap" — c’est-à-dire 93m = PrÊ HAS + Em) +E& = 0
On ne peut avoir P'—0, car p serait linéaire en g. Si P"'=0,0ona
u = 00 Log (g + 0)
9 9 lo = mo) — 5 — ET (g + 01) Log (9 + 01)
et l'équation (9) conduit à une impossibilité. On a donc P” + 0; et l’on tire de l’équation (16)
p= Asp (y, 2,9) + Asus (y 2 9), X, et X, désignant deux intégrales distinctes de l'équation
On peut toujours supposer X, + 0; on a alors LE yr= e ABC MEET RUE
Supposons en premier lieu
9 [1 Om
s(xse) +0
ce qui exige ei + 0, et par suite &, + 0. On a dans ce cas
Pa (y, 2) pe = pd (y, 2),
et on en tire aisément
F, — Oo lŸY; 2) P—+ 0 (7, 2)q + Ce (ÿ, 2).
L'équation (15) s'écrit alors n SE + (019 + 0) )# += 0.
En changeant y, on peut prendre 6, = 0, d'où P;' — 0, et
p=m(x,y,2) P(y,2, 4) + 01(y, 2) 9 + os (y: 2). On tire ensuite de l'équation (14)
2m Om
(7) Hz, + éom—0,
dx?
puis
En choisissant une nouvelle fonction inconnue Z{(y,2) telle que
on pourra poser et l'équation (1) prendra alors la forme
(18) S—= MX, y,2) p p(y,Q).
Supposons en second lieu A (& Fe) 0
, X3\' > on à alors ou bien (Ê —0, ou bien /—0, et dans les deux
X; cas on trouve P= À3 O0(y, 29) + 01(y, 8 9) Fe Æ 0. L’équation (1) s'écrit done (19) = P [4 To(Y; ê Q) m5 La (y, 2; g)]:
Il nous reste en définitive à étudier les équations (18) et (19).
33. Occupons-nous d’abord de l'équation (19). On tire de (9), après deux dérivations par rapport à 9, __ Co Xi + G À + ce LE À + cs les c; désignant des fonctions de y et z. L’équation obtenue en remplaçant ensuite y, par sa valeur dans l'équation (ÿ) doit être vérifiée identiquement, ce qui exige oç — 0, hypothèse exclue. Reste donc à étudier l'équation (18). On tire aisément de (9)
(20) pp = Vip + Y:q + Ys.
D'autre part la condition f; admet la solution — et la condi
avec
tion /; s'écrit
ESA 9, 9 log p Om , ir dr rm EP em +
(1) o) | Hp + (Mo + Via + Vs) = 0.
En dérivant par rapport à x et remarquant que —— —{Ù, on a
0x Yi 0 Y=E0 PEU Y,+Y(Y, —Y)—=0 99 9 log p @
En écrivant que Îles équations (21) et (22) sont compatibles, on a ensuite
om MO 900 CE) re + 7, PS =D + 5 = 0
et on en tire, en posant
æ otyie) de. o. ; Co = — Ÿ D 23 HR Y— (a Æ 0), : PR doc [EVA oc" 9) Me ne TE a
L’équation (9) donne d’ailleurs 0m 2Ps 2ps — 2 — — Eure 2 — 7 Tim + mp; = 0 Ep 0 CU 0, d'où l'on tire 9? log m 0 2?
si l’on remplace dans cette équation »# par sa valeur (23), on a
om : ; + — Yan = 0;
LR "YC+v) Portant cette valeur de m dans l'équation (17) on est conduit à une impossibilité.
2° Cas: À +3 — 0.
Supposons d’abord X, —0. Les équations (9), (10) et (11) donnent alors Ps — 0 B, —0 À = 0 Bo — Ëo; et l'équation (8) devient LE r = 7 tt Fe.
L'équation (15) donne ensuite 9m dw (+ > 0x 9g \0y 22]?
F0 uU—U
d’où l’on tire u = jp (y,2) Leg [Q + 1 (y, 2)];
en changeant de fonction inconnue on peut prendre x, —0, et on a
p—a(x, y,2)9 + &(y,2)q Log g.
L'équation (13) conduit alors à une impossibilité. On doit done supposer X, + 0; l'équation (8) donne alors
a PER LE 7 + &iP0 (y, 2, 9) (& +0), et l'on tire de
eo Gifn)+es(on)] (ee)
Mer ET à Si . Ë al 0 on à, après un Changement de fonction
inconnue, — 4 (x, y,2)9 + (x, y, 2)q Log q.
et l’équation (10) donne a, — 0, ce qui est impossible. L'équation (24) doit donc être une identité, ce qui permet de
9 ” Pere prendre 3-0. Choisissant alors une nouvelle fonction inconnue
Z(y, 2) telle que
0 Z par ri
on est ramené à une équation de la forme
S = p Ë; Po (y: Z, 9) (& + 0)
On tire ensuite de (15)
m = É;m(y, 2) + ma (y, 2) Po = M (y, 2) P(y; 9): portant ces valeurs dans l’équation (10) on est encore conduit à une impossibilité.
