Cas AL

Les équations (8), (10) et (11) donnent d'abord

X5 = À, —=0 Bo = Ëe Bi = 0 Pa = Eu et l'on tire de (14)

(28) 0 De 2pu He d x? 24 ox oP eu *

Nous désignerons par X, et X, deux intégrales distinctes de l'équation

d? w nd!

do EE RASE Si l’on pose dans l'équation (25)

y (Y,2Q) 9u D mot béde on aura

p u' h (x, CE ar h (x, #» 2) + Po (Y; 2; q) De TP °q 0.

Nous écarterons provisoirement les deux hypothèses ete (5 k u On a alors, d’après (20), k L£4 Î { à à L (29) DÉRAPELETEN Supposons d’abord £, + 0. On tire de (29), en changeant w,

h—= X,l (y, 2) + X3l:(9, 2) h, = Xi nu (y, 2) + Xs ms (9, 2)

Bo == 0); L 1 | ph 5h Ho 219 + M (y 2)

L'équation (14) montre alors qu’en changeant de fonction inconnue on peut prendre À, = À, — 0; nous écrirons done pe — À, 0, (9, 2, 9) + Xs Os (y. 2 g).

Les équations (26) et (27) sont alors des équations du second degré en X, et X,. Elles sont indécomposables, car l’existence d’une relation linéaire entre X, et X, est incompatible avec l'hypothèse £, +0. Elles doivent donc être identiques à un facteur près. On

en déduit successivement 2 oo Q = 0(72)0s;, 2R ee 0 = = 0; par suite on peut écrire p= Xi Q (y, 2, qg) et l'équation (26) couduit à une impossibilité.

Supposons ensuite & — 0. On peut prendre X, — 1, et l’on tire de (29)

l'équation (26) conduit encore à une impossibilité. 38. 2° Cas: X+2+EÙ.

Nous continuerons d’exelure les hypothèses

y 1 1] \ n n On a alors comme précédemment

© y ou :

(30) Te x GP = ph(æ, y, 2) + hi (x, y, 2).

Si X, — 0, on a, d’après (8), SF =0, ce qui est impossible. Si X, + 0, l'équation (8) donne fo ; ; PERD to +EneD EH

et l'on tire de (30) * FF GE Pre LE 1 0h 1 9h,

Sp SRE EPA

équation qui doit se réduire à une identité. On peut donc prendre

0 et, en changeant de fonction inconnue, on est ramené

à une équation

8 — Ep po (y, 2, 9):

l'équation (26) conduit alors à une impossibilité. 39. Il ne reste donc à examiner que les hypothèses

ge (ya ui li

qui donnent pour uw l’une des valeurs suivantes pet p=Log(Q+f) u=(g+BŸ.

Soit d'abord y = ef; on tire de (30)

eu, Et ge

Il est facile de voir que l’équation s— pp ne peut alors admettre

n--1 d'invariant W(x, y, 2, p, Pa, .…, p,) pour le système X: en effet . ei

contient un terme en e "#2 de coefficient (= 17 pt hr 8 (n — 1), terme qui est multiplié, dans le premier membre de l'équation 4 y = 0

0 y ; par IR + 0 et qui ne peut se réduire avec aucun autre: on devrait done avoir h; —0 ou 8—0 ce qui est impossible.

Soit en second lieu y — Log (g + 8). En changeant de fonc-:

tion inconnue on est ramené à une équation de la forme

s— p(hg Log 9 + hi q) équation qui ne peut admettre d’invariant pour le système X. Soit enfin u—{g—+ #8). On peut d'abord, au moyen d'un changement de fonction inconnue, supposer 8, — 0; on a ensuite

Log 18.

q a+ gat'aat

et l’on s'assure, par un raisonnement analogue à celui qui vient d’être fait, que l'équation s — pp ne peut avoir un invariant d'ordre #

; 1 Ne À hs :

que si l’on a 8— -, x désignant un entier positif au plus égal à n. pr

; nous examinerons successivement

On a donc ici ê=—; (UD — ces deux hypothèses.