FH

On peut alors dans (3) prendre

Pa + Y = 0 est en involution avec (1), et il n’y a aucune involution d'ordre "» tel que 1m <n pour le système X.

20 L’équation (4) n’a que la solution À —0!). Dans ce cas on a A=[p,+0( y, 2, pepe) ARE 2 —2);

les équations

l'équation

Pr + Ÿ = 0 Pa + Y =0

1) Nous ne tiendrons pas compte désormais des involutions d'ordre 1 qui pourraient exister sans que l'équation (4) ait des solutions non nulles.

sont en involution avec (1), et la première est: la seule involution: d'ordre inférieur à n pour le système X.

M. Gau a établi!) que si l’équation

(D) E;(?) = 0 n’a aucune solution non nulle pour k 2, et si m est l'ordre mi-

nimum d'involution pour le système X (m>3), la fonction f doit vérifier les deux conditions

SR Ha + CR DE 1 SF o #+595=0,

a et &, désignant des fonctions des seules variables x, y, 2, p. Posons encore

E,(u) = Hp + us.

Si l'équation En(u) = 0 &< 2) n’a que la solution w — 0, et si »’ est l’ordre minimum d’involution

pour le système Y, la fonction f doit de même vérifier les deux conditions

C (6 ho HART + SA 0 Co + f Me of + Æ (Gel

of of . Has

B et B, désignant des fonctions de x, y, &, q.

Supposons maintenant que l’équation (5) ait, pour l’une des valeurs 4 — 0, 1 ou 2 une solution non nulle, et observons d’abord que de cette équation on tire

1) Thèse, p. 37.

ce qui montre que l'équation

est en involution avec (1) (n° 5).

Si Pon a #—0 ou “as 1, M. Gosse a établi!) que la fonction f devait vérifier les conditions

À sé .

age trés +5

HO y

| D Ta ofof FE = , , (9) eo ee 2X (x) uns age 0

On a évidemment des conditions analogues pour le système Y.

Si l'on a Æ— 2, l’équation (1) admet une involution d'ordre 2; réciproquement, ce qui wa pas lieu pour # << 2, si l'équation (1) admet une involution d'ordre 2

Pe + d = 0,

on voit aisément que l'on a

On est done amené naturellement à répartir les équations qui sont de genre n > 3 pour le système X en trois catégories:

19 Celles qui satisfont aux conditions 7’ de M. Gosse; elles ont une involution d'ordre 0 ou 1.

29 Celles qui admettent une involution d’ordre minimum égal ou supérieur à 8: elles doivent satisfaire aux conditions C de M. Grau.

3° Celles qui admettent une involution d’ordre minimum égal à 2.

Nous allons maintenant chercher, pour ces dernières équations, un système de conditions nécessaires.

7. Supposons done que l’équation (1) admette 1° une involution et une seule d'ordre 2

(6) Pa + Y(e, y, 2, p)= 0; 20 une involution d'ordre n > 2 (7) Pa + À (&, Y; 2, P, +. Pas) = 0,

étant entendu qu'il n'existe aucune autre involution d’ordre compris entre 2 et n, et que l'équation

1) Annales de Toulouse, t. XII, 1920, p. 148.

: age 4 À + À nes 0 n’a que la solution À — 0.

Lemme. — Soit u(x, y, 2, p,..…..,p,) une solution de l'équation

Hub 0,

où k désigne une et et m un entier positif compris entre Î et n. La fonction # est nécessairement de la forme

E(æ) (pe + D).

En effet, posons # — v*; on aura, si v +0 et si = est l’ordre réel de *,

æ of æ EE AVE ou HS Sr soit # — Log v; dérivons la dernière équation par rapport à p,: on

9 w aura, en remarquant que -— + 0, m

op 0w , OwoOf Oow , Of OR ER SE # Log — + —=0 * PAUR TE O ou 4%, Log Due VE ; donc

"= Ë0 [Pa + PE Y 2 P, +.) Pu 1)l et enfin

= 6" = E(p, + gp)

à L pue | s ë D'ailleurs l’équation : — 0 est en involution avec (1). On « donc

m = 2, pP= y, uv" = Ë(x) (ps +) ce qui démontre notre proposition.

8. Ecrivons maintenant que l'équation (7) est en involution avec (1),