CHAPITRE IV

Éléments d’un système double spectroscopique. Méthode de Schlesinger simplifiée.

Méthode de Carpenter.

1. — Calcul des éléments d’une étoile double spectroscopique par le procédé des moindres carrés.

Cette méthode fut proposée par R. Lenmaxn-Firnès [21]; puis complétée par SCHLESINGER [22].

Nous partons de la formule classique :

(1) V = y; + Kcosu + Kecosw

V est la vitesse radiale d'une composante à une longitude u, l'origine étant au nœud ascendant ; w est la longitude du périastre ; e l’excentricité de l'orbite ; + est la vitesse radiale du centre de gravité du système double ; et K la vitesse de translation moyenne de la composante observée, autour du centre de gravité commun. Pour obtenir une équation de condition, ScHLESINGER différencie (1), considérant comme variables +, K, e, w, u. La vitesse angulaire moyenne y, et l'époque origine de passage au périastre 7, s’'introduisent dans l'équation de condition par l'intermédiaire de l'équation de KEPLER.

Dans le cas particulier d'un système double à éclipses, la période étant déterminée avec plus de précision par la photométrie que par la spectroscopie, nous ne voyons pas la nécessité de corriger u. Les statistiques montrent que l'excentricité d’un système double à éclipses est souvent voisine de zéro. Nous proposons d'adopter pour première approximation e = 0, avec une longitude de périastre w choisie d’après la courbe des vitesses

radiales. L'équation de condition de ScuLEsINGER, dans laquelle v est l'anomalie vraie, se présentera sous la forme simplifiée :

(2) En — >y + cosu oK — K sinu 2w + K(cosw —2sinu sinv)de + Kysinu 2T,

Pour abréger les écritures dans notre cas particulier, nous posons :

a — 0,904 sin v F — 0, + K cosuwuode

» — oK

(3) x = —Kow Oo ae Che HU dl,

Les inconnues + et x auront le même coefficient sin u ; le système de 5 équations finales à 5 inconnues sera donc irrésoluble. Pour éviter cet inconvénient, nous rempiacons x et + par une seule inconnue (r+7). L'équation de condition (2) deviendra :

(4) Pr = | + cosu x + sinu(rx+r) + asinue

d'où nous déduirons un système de 4 équations finales à 4 inconnues.

[p] T+[p cos u] x + [p sin u] (x+7) + [p a sin u] e = [paV]

[p cosu] + | [p] — [p si] [a+ 1 [psin2u](x+r)+ + [pasin 2u] s = [p cosuoV] (5) [p sinu] F+ 4 [psinu] x+[p sin°u] (x++)+[p a sin’u] s = [p sin uaV] -

[pa sin u]T + 1 {p « sin 2 u]x+'[p à sinu] (x+7)+ [p & sin’u] e = [p a sinuaV)

où p est le poids de chaque vitesse radiale déduite d'observations.

2. — Détermination de longitude du périastre et de l’époque de passage au périastre.

L'inconnue (r+7:) contient la correction de longitude du périastre, et celle de l’époque de passage au périastre. Nous ne pouvons déterminer l’un sans connaître l’autre. Faisant varier w et e, BAKER {23; cherche dans quel cas on obtient l'erreur moyenne quadratique de vitesse radiale {p v vu] la plus faible. Avant obtenu de dans les calculs

Rp

précédents, nous nous permettons de ne faire varier que o. Désignons par w, la pre-

mière approximation adoptée pour les premiers calculs et w, la seconde approximation cherchée. On a :

dE — Q2 — O1

w élant oblenu graphiquement après plusieurs essais numériques. Les égalités (3) donnent :

(6) | > Co K [u2T, — 20]

avec une seule inconnue à 7.

Faisons l'importante remarque que w et T, seront déterminés avec d'autant plus d’incertitude que l’excentricité e sera plus faible.

3. — Essai d’un raccordement entre les documents spectroscopiques et les documents photométriques. :

Les éléments spectroscopiques et les éléments photométriques, calculés indépendamment, ont souvent montré un décalage entre l’époque du minimum photométrique et celle où l’argument de latitude u = x/2 calculé d’après les vitesses radiales. Des discussions ont porté à croire que ce décalage était réel, causé par des effets physiques [24]. De plus récents travaux ont montré qu'à mesure que l'on était mieux documenté, ce décalage diminuait, puis disparaissait. Citons le travail de Praskerr [25] sur 21 Cassiopeiae. Les premiers éléments spectroscopiques donnaient une excentricité e = 0,0200 + 0,0057 et un décalage + 0,017 + 0,004 (Epoque photométrique — Epoque spectroscopique). Plus tard, les observations photométriques de Srepsns portaient à adopter e = 0 ; d’où le décalage — 0,003 + 0,003. Praskerr conclut que les décalages sont causés par des erreurs d'excentricité et de longitude du périastre ; il n'y a donc pas lieu de chercher l'hypothèse d'un phénomène physique.

Afin qu'il soit possible d'utiliser, pratiquement les documents spectroscopiques et photométriques, pour la détermination des éléments du système, nous proposons une méthode de calcul basée sur l'hypothèse fondamentale suivante : Le lemps du minimum pholomélrique principal coincidant avec le milieu de l'éclipse principale coïncide nécessairement avec le temps où l'argument de latitude u est égal à x/2.

Un travail de E. F. CaRPenTER [26] basé sur cette hypothèse est une modification de l'équation de ScaLescrr. Une telle méthode oblige à refaire les calculs numériques dès le commencement. Nous proposons de la modifier afin qu'il soit possible d'utiliser les résultats numériques obtenus séparément par spectroscopie et par photométrie.

Nous désignons par {, une époque déduite d'éléments photométriques, et. f, la même déduite d'éléments spectroscopiques ; puis nous posons :

(7) ; Ne bp — la

Tous les indices , désigneront des données spectroscopiques. CARPENTER démontre la formule suivante :

(8) de = pFT,—(1—e) Gow—pFAT après avoir posé :