CHAPITRE V

Obscurcissement des disques.

1. — D'après Agnor, l'intensité lumineuse J d'un point du disque solaire s'exprime par la formule empirique [9] [32] :

> CE J = JU x Lx cos y)

où J, est l'intensité du centre ; x le coefficient d'extinction : et y l’angle avec le rayon visuel du rayon mené du centre de la sphère au point J. Pour le Soleil, x a une valeur voisine de 0,6 variable avec la longueur d'onde. Nous partirons de l'hypothèse qu'une étoile étant comparable au Soleil obéit à une loi pouvant s'exprimer par (1). Les cas limite sont ceux où x—0 (disques uniformément lumineux) et où x=1 (disques parlaitement obscurcis aux bords). Nous nous proposons de calculer pour la phase donnée

- d’une éclipse d’un système double à éclipses la quantité de lumière perdue, en tenant compte de (1).

On a établi précédemment que les disques elliptiques de composantes ellipsoïdales sont équivalents à des disques circulaires de rayons variables d; d; de rapport constant d:/d; = k ; nous traiterons le cas général en ne considérant que des disques circulaires. La distance des centres 8 est donnée par :

& — di + dÿ — 2 di di cos (y—x) Divisons chaque terme par d\° :

— = 1+k—2k cos (y—X)

PE

Nous retombons sur une formule semblable à celle de deux sphères en remplaçant la distance des centres 8 par une valeur à, = 5/d, qui en est numériquement très approchée puisque d, est conventionnellement très voisin de l'unité. !! nous sera donc permis de procéder comme dans le cas de deux disques circulaires constants en remplaçant à par à.

A pet

La perte d'intensité lumineuse E est donnée par l'expression :

E — [fus + vs nain cosrar as

qui peut s’écrire sous la forme :

” æ RE) je (2) E: = fu (2 (1— x + » cos y) sin y cos ie dy * 9 P er |

en prenant pour origine O, le centre du disque éclipsé et pour ligue'des abscisses celle qui comprend les deux centres. Pour un angle quelconque, 4, est la distance entre le centre O, et le bord du disque éclipsant (fig. 8).

Fig. 3

Le rayon du disque brillant étant égal à 1 par hypothèse, nous aurons à = siny, ou : (3) Y: = arc sin pi Pour calculer 4, le triangle O,:0; nous donne :

KE =: pi + 57 — 9 ,, 6, cos w

d'où l’on tire la limite s: :

(4) pi = à cos p + Vk?— 5,7 sin le signe — devant le radical étant le seul géométriquement acceptable. L'égalité (3) devient :

(5) | nm = arc sin[ô cos — VI? — à? sin’œ]

L'expression (2) pourra s'écrire :

r me É T Ti/2 G a 2faf (x + x cos +) sin y cos + dy £ o are sin [}, 08 ©— /K7—= 37 sin?29]

Après avoir posé :

COSy = 1 — [ô, cos g — VI — 5° sin’p]”

$ 7 TH ) COS [1 — [ô, cos p— V7 — 57 sin°]* |

- nous obtiendrons finalement :

Êr 4 Tes | (8) E — 4 f ( 5 s COS? y1 + & COS "y ) de

Cette dernière formule s'applique au cas le plus général où + a une valeur quelconque comprise entre 0 et 1. Dans le cas limite des bords parfaitement obscurcis où x = 1,

(8) deviendra

2 Ha 3/2 (9) EE a sf É — [à cos p — VF — 5 sis | do

Dans l’autre cas limite où x—0, c’est-à-dire lorsque les disques sont uniformes, (8) de-

vient :

AU0: Fi Je LÉ |: — [à cos p — VIF — 5? sin’y]” | de

Le disque étant uniforme, la quantité FE, ne peut être que le produit de l'intensité lumineuse J, par l'aire éclipsée. Si nous calculons cette dernière par la voie des intégrales,

nous obtenons bien :

TC S — 1 [ii cos — vessie | dep

RD RE qui est une confirmation de (10). Nous pourrons faire usage de la formule plus simple,

précédemment élablie (chapitre 1, paragraphe 3).

1 1 ee Gr sin a RE (x — y EDR sin ? y)

(10) devient alors :

(10°) RARE) [ : sin x) + | po pa 2-00] (LC 2 2 T U Dit U L

La formule générale pour une valeur quelconque de x comprise entre 0 et 1 pourra se mettre sous la forme :

(11) E = (—x)E+uE ou en posant E=JT : (11°) LR (PR Sr SE

I étant fourni par des tables obtenues par intégration de (9), faisant varier x pour diverses valeurs de k. |